1、函数概念学习的形成性评价函数概念学习的形成性评价蒋婵1 李泽衣2(1广西师范大学数学与计算机科学学院，广西 桂林541004)(2广西梧州师范高等专科学校 数学系，广西 贺州 542800) 摘要以学生获得数学概念的认知发展理论为依据，设计函数概念学习的形成性评价，为数学学习评价提供一种基于APOS理论的评价模式。 关键词APOS理论；函数概念学习；形成性评价 中图分类号G42 文献标识码A新一轮课程改革，强调“反璞归真”，对于概念的教学“应通过揭示数学知识发生、发展的过程，尽量帮助学生理解所学知识的数学本质”，让学生主动建构知识从而获得概念。在很多研究中都将数学概念的获得分为概念形成和概念同
2、化两种不同形式。然而，这两种形式更多的是从教学的角度描述概念教学的形式。其实，数学概念的获得还可以从学生数学概念的心理建构这一重要角度去阐述概念形成的认知过程，并由此以函数概念学习为例设计形成性评价模式。1中学生函数概念认知发展研究中学数学教材分两个循环引入函数概念，函数概念的教学主要采用概念形成的组织方式，从实例中抽象出概念。其“概念结构”1包括以蕴涵式表述的定义、定义域、值域、对应法则、抽象符号f(x)、表示形式、性质、以及和集合等概念之间的关系等等。首先对学生函数概念认知发展的一些特点和函数概念在中学学习中的特殊性进行分析，从中确定反映学生函数概念形成的若干指标，再通过数学学习评价的方法
3、对其进行诊断评价。总的来说，函数概念的认知发展具有其特殊性，不仅和函数概念本身的特殊性和函数思想在整个中学数学学习以至以后的数学学习中的特殊作用有关，还与学生的认知特点和思维跨越发展的特殊时期相联系，使得评价的维度更广、内容更丰富。对学生而言，函数概念从描述数量依赖关系的一种方法，逐步演化为一般化的抽象数学结构，而且有很多复杂的层次和许多相关的下层概念，特别是到了高中阶段的学习，更需要高度抽象概括思维能力，必须对函数概念的本质属性有较强的逻辑判断、对函数的抽象符号表示有独立的认识和变化的观念、对各种非本质属性：如集合、定义域、值域等有整体把握的意识等，使得函数概念的形成障碍重重，学生在认识和理
4、解上感觉困难，因此被视为中学数学中最难教、最难学的概念之一。函数概念难形成的另一个原因是学生的认知准备不足。在学习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识，而函数研究的是变量，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念的相互联系之中的，学生的思维要经历一个飞跃过程到辨证思维形态，而此时学生的辨证思维发展还处于很不成熟的时期，“这个矛盾正是概念学习中一切认知障碍的根源”2。因此，评价学生从常量到变量的学习迁移是顺利教学的关键起步。同时还指出，函数概念学习前，学生对“数”与“形”的学习基本上是分代数和几何进行的，函数要求“数形结合”的思维运算，要求在符号语言与图形语言间进行灵活
5、的转换，不断协调不同表示间的关系。对此，数学气质类型为几何型和分析型的学生的差异在此表现得尤为显著。这也是考察函数概念形成水平的重要指标。函数概念学习的难点主要是函数概念的数学定义即学生所了解的定义与学生解决问题时实际所使用的概念意象之间的差异，、用图像形象地表示函数和对图像表示的函数做出解释两方面所存在的难点，甚至定义域、值域以及对函数实行运算（特别是对函数的复合运算）等。基于以上特征，学生获得函数概念的过程就是一个迁移、变化、运动、综合、发展的过程，充分体现了学生在概念学习过程中认知发展的特点，因此对函数概念学习的形成性评价无疑可为概念教学提供可据的研究素材，由此为我们进行其它概念形成的学
6、习评价提供范例，其意义重大。2概念学习的本质从建构主义理论，数学概念是通过学生的主动心理建构而形成的。实践表明，学生数学概念的认知过程由浅入深具有不同的层次3，概念学习从一个阶段向另一个阶段过渡，学生的认知层次也从一个层次向另一个层次转化，两者并不一定是同步发展的，会出现认知滞后或超前现象，这样就形成了数学概念认知发展的不平衡。近年来，一些新的研究更多地尝试从认知发展的角度揭示概念学习的本质。心理学的现代研究已经表明，数学概念的心理对应物在大多数情况下并非相应的形式定义，学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与概念意向相联系，在判定给定的对象是否为这个概念的例子时，也并不一定会用到给定义，在大
7、多数情况下学生依赖于概念意向，“也就是在学生头脑中和概念名称相联系的思维图像以及描述它们特征的所有性质，是有关概念的例子和反例在头脑中作用的结果 ”1。除了原始概念之外，所有数学概念都有形式的定义，但学生通过概念的例子来认识的数学对象和定义表示的数学对象不一定一致。在相当多情况下学生在利用他们现有的概念意向时还是成功的，比如用一次函数、二次函数的特例来识记函数的概念等。但由于概念意向的包含较多的无关特征，具有直观性、变化性、模糊性，学生的看法往往会狭隘和排外，如在理解函数单调性时仅用一两个例子就难以概括概念的外延。因此当面临概念意向不能胜任的情况时，它们就变成一种思维障碍，而认知冲突的解决需要
8、改变对概念的看法，概念意向处在经常的变化之中，逐渐扩展为同一水平的不同层次的多向意向表征或不同水平意向的综合表征，“学生就是这样在克服认知障碍的条件下通过一系列概念意向的演变辨证地建构起知识的。”2 基于这样的划分，可以用学生的概念意向表征作为评价其概念获得的其中一个指标。4Vinner用表象的形成和发展过程来描述概念的形成过程，他认为，数学概念的学习过程分为4个阶段：（1）使用单个表象；（2）在同一水平上使用多个表象；（3）在同一水平的表象之间建立并产生联系；（4）综合表象，并在表象之间可以转换。当学生主动建构概念的心理特征是以概念意向的形成和发展为主线的或在概念获得的过程有所反映，那么对概
9、念意向表征的考查就可以从某个角度评价学生对概念的掌握程度。比如，让学生列举五个不同类型的函数，则呈现的结果可以了解学生的认知情况。当然，学生的概念意向表征阶段并不是很明显的，而且其发展也并不一定遵循某种特定的规律，它可以是掺杂交错的，这使得评价的区分度不大，另外单用概念意向评价学生对概念的获得也是不完整和不可靠的。5美国的杜宾斯基等人通过分析概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”，发展起来一种APOS理论，认为学生学习数学概念的建构过程要经历以下四个阶段：第一阶段-操作阶段：在现实背景和具体的数学表达之间构造某种对应; 第二阶段-过程阶段：对操作活动进行理解、反思和综合，抽象出概念所特有的
10、性质，进行具体条件下的过程的运算; 第三阶段-对象阶段：对抽象概念赋予形式化的定义，使其成为一个独立的、具体的对象，以其特有的规则参与数学活动，达到概念的思维运算; 第四阶段-概型阶段：这是概念意向、抽象过程、完整的定义、运用规则以及在概念体系中的联系等的综合心理图式。概型阶段的形成需要经过长期的学习活动来完善。比如，此时函数概念被看成动态的过程或静态的对象。这四个阶段为我们建立评价指标体系提供了理论支持。所有研究都表明数学概念学习具有阶段性、层次性，包括两个思维飞跃过程：从感知到概括的飞跃和从概括到运用的飞跃，而且同一认知水平上存在知觉的深度和广度之分，还有学习速度的快慢不同。由于认知过程的
11、复杂性和多样性，学生在学习过程中的概念形成方式和掌握程度及速度都不尽相同，具有个体差异和不同知识认知行为的差异，这正是我们所想要了解和评价的重要方面。在以上的理论支持下，可以进行函数概念的形成性评价。3函数概念的形成性评价设计以高中学生函数概念（对应说）的形成性评价为例，提供一般数学概念形成性评价的基本模式以供参考。首先，形成性评价需要确定参照性（如课程标准）或发展性（学生自身相比较）目标。以参照性目标为例，根据函数概念形成的特殊性设计参照基准。期望能对学生函数概念的形成过程作出一定的评价，但试图将其从整个数学学习过程中分离出来考察，严格地说是不可能的，其中包含之前学习的各种迁移以及概念本身的
12、发展和它与其它概念之间的联系、相互作用等，因此将整个函数概念结构的形成作为评价的对象，评价学生的认知层次和概念形成过程之间的相对性。对概念学习的形成性评价主要关注从对过去知识的承袭到概念定义形成的过程，而概念获得对以后知识的发展功能则是另一个概念或知识节点学习的起点，函数概念学习的深入和发展会在后继内容的学习中得到体现，这虽然还是属于函数概念结构的一部分，但归在后继内容的评价中更为适宜。形成阶段主 要内 容认 知 层 次评价意见(包括正确性和反应速度)备注（测试情况）A操作阶段在具体例子与函数定义之间建立对应在丰富实例的基础上，初步了解用集合与对应关系给出的函数定义，区分简单的“变量说”，即函
13、数是反映y随x变化的关系式； 了解函数三要素的关系，能使用某个具体函数如一次函数等表象记住定义，能判断函数和非函数 把握函数的本质属性，能辨别相同和不同的函数，区分函数与等式、方程或多项式等相似表现的概念。 P活动阶段抽象出函数概念的性质会求一些简单函数的定义域和值域，能明晰和表述函数自变量和因变量在不同对应法则（包括非解析式）下的对应关系； 了解函数的不同表示方法（图像法、列表法、解析法），每种表示法都有认知代表, 并且可以通过简单算法在三种方式之间进行转换；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的表示法表示函数，相同特征的函数表象之间建立了相关联系。 O对象阶段函数概念成为独立、具体的对象
14、在体验函数的x、y、f三者协调变化的过程中，能领会函数是一个表示变化过程的概念，反映在表述函数与其图像的关系上； 对各种常用类型的函数（另外，如常数函数、简单的分段函数等）都有所认识，能分辨和求解函数解析式，进行简单应用； 对抽象函数符号f(x)有独立的认识，从具体和抽象的对比中体会其在表示和解决函数问题中的作用，能分解抽象函数的三要素；掌握抽象函数、复合函数的基本运算，综合运用不同层次的概念表象。S概型阶段发挥函数概念在概念体系中的综合作用通过已学过的函数特别是二次函数，初步理解函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等性质的含义以及其几何意义；区别和联系相关概念（如方程，曲线等）的共性和特性，能
15、运用一定的直觉思维整体把握函数概念； 能综合理解函数概念作为动态过程和静态的对象，考虑多种可能性； 灵活参与函数概念的综合应用，特别是函数或函数图像的交替应用。发展记录间隔时间的考查情况在函数概念教学任务完成之后，函数概念的认知发展随特殊函数（如指数函数、三角函数等）的学习而不断深入和发展。 如果按照概念形成的发展，经过几个阶段的学习，学生应该已经经过由概念意向到抽象概括理解并掌握了函数概念，并且能进行简单的应用，为以后阶段的函数学习奠定了良好的基础。从认知的观点看，学生可能无法从一个阶段跨入另一个阶段，也不是总能确定某位学生处于哪个阶段，但基本思想是可以确定的：学生对于函数概念的最初理解是程
16、序性的，由“由对应关系找出对应x的是什么”发展到他们可以建立不同情境下函数表象之间的联系，最后，部分学生达到对概念的抽象理解阶段。根据这样的划分，可以作为评价学生的函数概念形成过程的参照标准，同时考虑学生的情感、态度与合作、交流、创造性学习等方面表现，在此基础上运用恰当的评价手段，评价意见可以以等级评定为该认知层次达到清楚、不足和严重不足等。评价方式主要是设计认知层次逐渐递增的测试题组，穿插到课堂评价、形成性测验及其他多元评价方式中去。测试的形式可以多样化，将测试内容与教学内容有机结合，将形成性试题以不同形式展现给学生，在适宜的时间做出及时有效的评价。可以针对某一类知识或就某一个概念进行问题设
17、计，建立形成性测试题库，再按照教学任务安排抽样考查。形成性评价结果的呈现与表述可以分为三个层次：简单评定等级、详尽叙述、定性和定量评价相结合。我们可以根据教学需要选择。4形成性测试题针对评价参照标准，设计如下形成性测试题（部分类型）：（一）列举题1. 写出5个函数，尽可能有不同特征；（反映学生的概念意向）2. 什么是函数的三要素？定义域和值域是一一对应的吗？请举例说明；3. 对应法则一定是运算式子吗？请举例说明；4. 描述函数、等式、多项式的区别，举例说明；（反映学生的迁移情况）（二）选择题 1.判断下列哪些是函数，不是的请说明原因:（题略） 2.判断下列哪些是函数图像，为你的判断做出解释：(
18、图略) （三）判断下列每组两个函数是不是相同的函数：(题略) （四）求下列函数的定义域（或值域）： （五）简答题 1.与是同一函数吗？ 为什么？ 2. 你能说明为什么二次函数的图象是光滑曲线吗？ 3是不是所有函数都有图像，所有函数都能写出解析式？ 参考文献1唐瑞芬.李士琦等译. 国际展望:数学教育评价研究M.上海：上海教育出版社.1995.2朱文芳.函数概念学习的心理分析J.数学教育学报,1999,11. 3沈亚军.谈差生对数学概念的认知J.数学教育学报,1999,11. 4曾国光.中学生函数概念认知发展研究J.数学教育学报,2002,5. 5李莉.学生学习数学概念的层次分析J.数学教育学报,2002,8.
