1、的直线（x1 x2, y1 y2）x y a是直线的横截距截距式 1a bb 是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式 Ax By C 0当 B 0 时，直线的横截距（2 B2A0）为C当 B 0 时，所有直线BC C, , 分别为直线 A B的斜率、横截距，纵截距能力提升斜率应用细节决定成败，规范铸就辉煌。 第 1 页 共 8 页例 1.已知函数 f （x） log2 （x 1） 且 a b c 0，则f （a） f （b） f （c） , ,a b c的大小关系2 x x例 2.已知实数 x, y满足 y x 2 2（ 1 1） ，试求3的最大值和最小值两直线位置关系两条直线
2、的位置关系位置关系l: :k xbA xB y平行 k1 k2，且 b1 b2（A1B2-A2B1=0）重合k1 k ，且 b1 b2相交 k1 k2垂直 k1 k 1 A1A2 B1B2 0设两直线的方程分别为： 2或；当k1 k 或 A1B2 A2 B1 时它们相交，交点坐标为方程组直线间的夹角：若 为l 到 l2 的角，tankk kA B1 2B B若 为l 和 l2 的夹角 ，则当 1 0k1k 或 A1 A2 B1B2 0 时，o90 ；直线 l1 到l 2 的角 与l1 和l 2 的夹角 ： ） 第 2 页 共 8 页或 （ ） ；距离问题4. 平面上两点间的距离公式 P1 （x
3、 , y ）, P （x ,y ） 则 P1P2 （x2 x1） （ y2 y1）1 1 2 2 25. 点到直线距离公式点 P（ x0 ,y ） 到直线 l : Ax By C 0的距离为：dAxBy6. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l 和l2 的一般式方程为 l1： Ax By C1 0，l ： Ax By C2 0，则 l1 与 l2 的距离为7. 直线系方程 : 若两条直线 A1 x B1 y C1 0，l 2 ： A2 x B2 y C2 0 有交点，则过 l1与 l2 交点的直线系方程为 （A1x B y C ） （A2x B2 y C2 ） 0或（A2 x B2 y C
4、2 + （ A1x B1 y C1） 0 （ 为常数 ）对称问题1. 中点坐标公式：已知点 （x1,y ）, B（x , y ）A ，则 A,B 中点 H （x, y） 的坐标公式为1 2 2点 P（ x0 ,y ） 关于 A（ a, b） 的对称点为 Q（ 2a x0,2b y0） ，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2. 轴 对 称 ： 点 P（a,b） 关 于 直 线 Ax By c 0（B 0） 的 对 称 点 为 P（m, n） ， 则 有nm-a，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。a m b n B C 02 2（1）中心对称：点关于点的对称： 第 3 页
5、 共 8 页该点是两个对称点的中点， 用中点坐标公式求解， 点 A（a,b） 关于 C （c,d） 的对称点 （2c a,2d b）直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用l1 / l 由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线 l1 : 2x 3y 6 0 关于点 P（1, 1） 对称的直线 l 2 的方程。点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，
6、在利用中点坐标公式求解。求点 A（ 3,5） 关于直线 l : 3x 4y 4 0 对称的坐标。直线关于直线对称： （设 a,b 关于 l 对称）、若 a,b相交，则 a到l 的角等于 b 到l 的角；若 a / l ，则 b/ l ，且 a,b 与l 的距离相等。、求出 a上两个点 A, B 关于 l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设 P（ x, y） 为所求直线直线上的任意一点，则 P 关于 l 的对称点 P 的坐标适合 a 的方程。求直线 a : 2x y 4 0关于 l : 3x 4y 1 0 对称的直线 b 的方程。例 1. 点 P（ 2,1） 到直线 mx y 3 0（m
7、R） 的最大距离为例 2. 已知点 A （3,1） ，在直线 y x 和 y 0上各找一点 M 和 N ，使 AMN 的周长最短，并求出周长。线性规划问题：（1）设点 P（ 0 , y ） 和直线 l : Ax By C 0 ，若点 P在直线 l 上，则 Ax0 By C 0；若点 P 在直线 l 的上方，则 B（ Ax0 By0 C） 0；若点 P在直线 l 的下方，则 B（ Ax0 By0 C） 0；（2）二元一次不等式表示平面区域： 第 4 页 共 8 页对于任意的二元一次不等式 Ax By C 0（ 0） ，当 B 0时，则 Ax By C 0表示直线 l : Ax By C 0 上方
8、的区域；Ax By C 0表示直线 l : Ax By C 0下方的区域；当 B 0时，则 Ax By C 0表示直线 l : Ax By C 0 下方的区域； Ax By C 0上方的区域；注意： 通常情况下将原点 （ 0,0） 代入直线 Ax By C 中， 根据 0 或 0 来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 （x, y）叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。当 B 0时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax B
9、y 的值越来越大；直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越小；当 B 0时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越小；直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越大；在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界） ，目标函数z x ay 取得最小值的最优解有无数个，则 a为 ；C（4,2）（1）设点 P（x , ） 和直线 l :0 yO A（1,1） B（5,1） x若点 P在直线 l 上，则 Ax0 By0 C 0；若点 P 在直线 l 的上方，则 （ ） 0B Ax0 By C ；若点 P在直线 l 的下方，则 B（
10、 Ax0 By C） 0； 第 5 页 共 8 页O A（1,1） B（5,1） x圆与方程8. 圆的标准方程：（x a y b r 圆心 C（a, b） ，半径 r） 2 （ ）2 22 （ ）2 2特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是：2 y r 2x .9. 点与圆的位置关系：3. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：（1）点在圆上 d=r ；（2）点在圆外 dr ；（3） 点在圆内 dr 4.给定点 M （x0, y0 ） 及圆2 2 2C : （x a） （ y b） r . M 在圆 C 内（x0 a） （y b） r M 在圆 C 上0 a） （ y b） r M
11、在圆 C 外（x0 a） （y b） r 第 6 页 共 8 页2 y Dx Ey F10. 圆的一般方程： x 0 .2 E F当 D 4 0时，方程表示一个圆，其中圆心D EC , ，半径 2 2D 4 2 E 2 F2 E 2 Fr .当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点D,E.当 D 4 0时，方程无图形（称虚圆） .注：（1）方程 Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是： B 0 且 A C 0 且 4 02 E2 AFD .圆的直径系方程：已知 AB是圆的直径A（ x1,y1） B（x2 ,y2 ） （x x1）（ x x2 ） （ y y1）（
12、 y y2） 011. 直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C 0 与圆（x a） y b r 的位置关系有三种， d 是圆心到直线的距离， （AaBb（1） d r 相离 0；（2） d r 相切 0；（3） d r 相交 012. 两圆的位置关系设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， O O d1 。（1） 1 r 外离 4条公切线d r ；（2）d r1 r2 外切 3条公切线 ；（3） r 相交 2条公切线 ；（4） 内切 1条公切线1 r d r r d 1 r ；2 1 2 2r（5） 内含 无公切线 0 d r r ； 1 2外离 外切 相交 内切 内含圆的切
13、线方程 ：5.直线与圆相切： （1）圆心到直线距离等于半径 r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）6.圆2 y r2 y2 Dx Ey Fx 的斜率为 k 的切线方程是 y kx 1 k r 过圆 x 0 上一点 P（x0, y0 ） 的切线方x x y y0 0程为： x0 y y D E F 0 .2. 一般方程若点 （x0 ,y0）在圆上，则 （x a）（x0 a）+（y b）（y0 b）=R 第 7 页 共 8 页特别地，过圆2 y2 r 2x 上一点 P（x 0,y0 ） 的切线方程为x0 x y y r .y k（x若点（x0 ,y0）不在圆上，圆心为 （a,b）则Rk（ax ），联立求出 k 切线方程 .13.圆的弦长问题： 1.半弦L、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2、弦长公式（设而不求） ：2 2 2 2AB （x1 x ） （ y y ） （1 k ）（ x x ） 4x1x22 1 2 1 2 第 8 页 共 8 页
