1、x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7 x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3,（2） -23x1+11x2+1x3=0,x1+2x2+2x3=-1;（2） 解：A=11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1% 消元过程n-1nepsn+1）=returnend% 回代过程x（n）=A（n,n+1）/A（n,n）;else1x（i）=（A（i,n+1）-A（i,i+1:xA = 11 -3 -2 3-23 11 1 01 2 2 -1x = 0.2124 0.5492-1.15544、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5
2、2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7 解： .A=3 2 3;2 2 0;3 0 12;b=5 3 7;lambda=eig（A）;if lambdaeps&isequal（A,A） n,n=size（A）;R=chol（A）;%解Ry=b y（1）=b（1）/R（1,1）;if nfor i=2:y（i）=（b（i）-R（1:i-1,i）*y（1:i-1）/R（i,i）;%解Rx=yx（n）=y（n）/R（n,n）;x（i）=（y（i）-R（i,i+1:n）x=x;x=;disp（该方法只适用于对称正定的系数矩阵!）;R= 1.7321 1.1547 1.7321 0 0.8165
3、-2.4495 0 0 1.7321y= 2.8868 -0.4082 0.5774x= 1.0000 0.5000 0.33335. 用列主元Doolittle分解法解方程组A=3 4 5; -1 3 4; -2 3 -5; 3 4 5 X1 2b=2,-2 6 -1 3 4 X2 -2L,U,pv=luex（A）; -2 3 -5 X3 6y = Lb（pv）;x = Uy结果如下：x = 1 1 -114.已知，计算.A=100 99;99 98;cond（A,inf）ans =3.9601e+04cond（A,2）ans =3.9206e+0427.编写LU分解法，改进平方根法，追赶法
4、的Matlab程序，并进行相关数值试验。LU分解法程序Function L,U=lup（A）%lup: LU factorization%Synopsis:L,U=lup（A）%Input: A=coefficient matrix%Output: L:lower triangular matrix% U upper triangular matrixFormat short m,n=size（A）;If m=n,error（A matrix needs to be square）;EndPv=（1:n）;%LU factorization For i=1:Pivot=A（i,i）;For k
5、=i+1;A（k,i）=A（k,i）/pivot;A（k,i+1;n）=A（k,i+1;n）-A（k,i）*A（i,i+1;n）;L=eye（size（A）+tril（A,-1）;%extract L and UU=triu（A）改进平方根法程序Functionx=ave（A,b,n）L=zeros（n,n）;D=diag（n,0）;S=L*D;L（i;i）=1;For i=1;For j=1;If （eig（A）=0）|（A（i,j）=A（j,i）disp（wrong）;Break;D（1,1）=A（1,1）；For i=2;i-1S（i,j）=A（i,j）-sum（S（i,1;i-1）*L
6、（j,1;j-1）;L（i,1;i-1）=S（i,1;i-1）/D（1;i-1, 1;i-1）;D（i,i）=A（i,i）-sum（L（i,1;i-1）*L（i,1;i-1）;D（i,i）=A（i,i）-sum（S（i,1;i-1）*D（1;i-1）*y（1;i-1）/D（i,i）;Y=zeros（n,1）;X=zero（n,1）;Y（i）=（b（i）-sum（L（i,1;For i=n;-1;X（i）=y（i）-sum（L（i+1;n,i）*x（i+1;n）;追赶法程序Functionx,L,U=Thomas（a,b,c,f）N=length（b）;%对A进行分解U（1）=b（1）;If（u
7、（i-1）=0）L（i-1）=a（i-1）/u（i-1）;U（i）=b（i）-l（i-1）*c（i-1）;ElseL=eye（n）+diag（1,-1）;U=diag（u）+diag（c,1）;X=zeros（n,1）;Y=x;%?求解ly=b?Y（1）=f（1）;Y（i）=f（i）-l（i-1）*y（i-1）;求解Ux=y?If（u（n）=0）X（n）=y（n）/u（n）;For i=n-1;X（i）=（y（i）-c（i）*x（i+1）/u（i）；第三章1、设节点x0=0,x1=/8,x2=/4,x3=3/8,x4=/2,适当选取上述节点用Lagrange插值法分别构造cosx在区间0, /
8、2上的一次，二次和四次插值多项式P1（x）P2（x）和P4（x）,并分别计算P1（x）,P2（x）,P4（x）其中X取/3。A=fliplr（A）; Returnx = /8,3/8; y = cos（x）; x0 = /3;A,Y = lagrange（x,y,x0）; P1 = vpa（poly2sym（A）,3） YP1 =1.19x - 0.689 Y =0.4729 x0 = /3; P2=vpa（poly2sym（A）,3） YP2 = x2 - 0.109x - 0.336 Y =0.5174x = 0,/8,/4,3/8,/2; y= cos（x）;A,Y=lagrange（x
9、,y,x0）; P4=vpa（poly2sym（A）,3） YP4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 Y =0.50017.根据列表函数0.01.02.03.04.0f（x）0.501.252.753.50选取适当的节点，用逐次线性插值法给出三次多项式在2.8处的值。答：Matlab 程序 functionT,y0=aitken（x,y,x0,T0） if nargin=3 T0=; endn0=size（T0,1）;m=max（size（x）; n=n0+m;T=zeros（n,n+1）;T（1:n0,1:n0+1）=T0; T（n0+
10、1:n,1）=x;T（n0+1:n,2）=y; if n0=0 i0=2; elsei0=n0+1;for i=i0:for j=3:i+1T（i,j）=fun（T（j-2,1）,T（i,1）,T（j-2,j-1）,T（i,j-1）,x0）; end y0=T（n,n+1）; returnfunction y=fun（x1,x2,y1,y2,x） y=y1+（y2-y1）*（x-x1）/（x2-x1）;%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=0,1,3,4;y=0.5,1.25,3.5,2.75; x0=2.8;T,y0=aitken（x,y,x0）y0 =3.4190000000
11、000008.根据上题中的列表函数，写出差商表，并写出Newton插值多项式N2（x）和N4（x）。差商表：0.50.751.1250.3750.125-0.250.5625-0.0625-0.218750.03125由Nn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+an（x-x0）（x-x1）（x-xn-1）得N2（x） =0.5+0.75（x-0.00） + 0.375（x-0.0）（x-1.0）=0.375x2+0.375x+0.5N4（x） =0.5+0.75（x-0.00） + 0.375（x-0.0）（x-1.0） - 0.25（x-0.0）（x-1.0）（x-2
12、.0） + 0.03125（x-0.0）（x-2.0）（x-1.0）（x-3.0）=0.03125x4-0.4375x3+1.46875x2-0.3125x+0.516、选取适当的函数y=f（x）和插值节点，编写Matlab程序,分别利用Lagrange插值方法,Newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f（x）的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。C,D,Y=newpoly（x0,y0,x）%检验输入参数if nargin 3 error（Incorrect Number of Inputsif length（x0）=length（y0） err
13、or（The length of x0 must be equal to it of y0n=length（x0）;D=zeros（n,n）;D（:,1）=y0%计算差商表for j=2:n for k=j:if abs（x0（k）-x0（k-j+1）eps error（Divided by Zero,there are two nodes are the sameD（k,j）=（D（k,j-1）-D（k-1,j-1）/（x0（k）-x0（k-j+1）; end end%计算Newton插值多项式的系数 C=D（n,n）;for k=（n-1）:C=conv（C,poly（x0（k）; m=l
14、ength（C）;C（m）=C（m）+D（k,k）;if nargin=3Y=polyval（C,x）;x = 0 1 2 3 4 ;y = 0.5,1.25,2.75,3.5,2.75; x0 = 0 1 2 3 4 ;y0 = 0.5,1.25,2.75,3.5,2.75; %用lagrang插值法计算 A,Y=lagrange（x,y,x0）Lx=vpa（poly2sym（A）,4） %用newton插值法计算 C,D,X=newpoly（x0,y0,x） Nx=vpa（poly2sym（C）,4） %绘制两者图像 plot（x,Y,b*,x0,X,r-）A=0.5000 -0.3125
15、 1.4687 -0.4375 0.0313Y=0.5000 1.2500 2.7500 3.5000 2.7500Lx=0.5x4 - 0.3125x3 + 1.469x2 - 0.4375x + 0.03125C=0.5000 -0.3125 1.4688 -0.4375 0.0313D=0.5000 0 0 0 01.2500 0.7500 0 0 02.7500 1.5000 0.3750 0 03.5000 0.7500 -0.3750 -0.2500 02.7500 -0.7500 -0.7500 -0.1250 0.0313X= 0.5000 1.2500 2.7500 3.50
16、00 2.7500Nx=0.5x4 - 0.3125x3 + 1.469x2 - 0.4375x + 0.0312第四章6、已知列表函数 x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0y 1.222 2.984 5.466 8.902 13.592用最小二乘法求形如y=axebx的拟合函数。Matlab程序 function a,b=ec（x,y） Y=log（y）A=zeros（5,3）;for i=1:5 A（i,1）=1;A（i,2）=log（x（i）; A（i,3）=i;c=inv（A*A）*（A*Y）; a=exp（c（1）;b=c（3）;5 y=a*x.*exp（b*x）;end re
17、turn x=1 2 3 4 5;y=1.222 2.984 5.466 8.902 13.592;a,b=ec（x,y） 输出结果为：a = 1.000202219673205 b = 0.200293860504786 8、学习Matlab内部的函数lsqcurvefit，并设计数值实验使用lsqcurvefit。Matlab内部函数lsqcurvefit是用来解决非线性拟合的最小二乘问题的。其调用格式为：x= lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata） x=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata,lb,ub） x=lsqcurvefit（fun,
18、x0,xdata,ydata,lb,ub,options） x,resnorm = lsqcurvefit（）x,resnorm,residual=lsqcurvefit（） x,resnorm,residual,exitflag= lsqcurvefit（） x,resnorm,residual,exitflag,output = lsqcurvefit（） x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda = lsqcurvefit（） x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian =lsqcurve
19、fit（） 输入参数：fun为待拟合函数，计算x处拟合函数值，其定义为function F=myfun（x,xdata） x0为初始解向量，即拟合参数的初始解； xdata，ydata为满足关系ydata=F（x, xdata）的数据；lb、ub为解向量的下界和上界lbxub，若没有指定界，则lb= ，ub= ； options为指定的优化参数； 输出参数：x为迭代得出解向量，即拟合出的参数； resnorm=sum （fun（x,xdata）-ydata）.2），即x处残差平方和,最小二乘式值;residual=fun（x,xdata）-ydata，即在x处的残差；exitflag为终止迭代
20、的条件； output为输出的优化信息；lambda为解x处的Lagrange乘子；jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。function F = myfun（x,xdata） F=（x（1）.*xdata）.*（exp（x（2）.*xdata）;xdata=1,2,3,4,5;ydata=1.222,2.984,5.466,8.902,13.592; x0=0,0;x,resnorm=lsqcurvefit（myfun,x0,xdata,ydata） 输出结果为：Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the default value of the function tolerance. x = 0.999958348976391 0.200014132812834 resnorm = 8.067930437509675e-7
