1、浙江高考数学一轮复习 对数与对数函数第七节对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质ylogaxa10a1图象性质定义域为(0，)值域为R过定点(1,0)，即x1时，y0当x1时，y0；
2、当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在区间(0，)上是增函数在区间(0，)上是减函数3反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称小题体验1函数f(x)loga(x2)2(a0，且a1)的图象必过定点_答案：(1，2)2函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案：3(2015浙江高考)计算：log2_，2log23log43_.解析：log2log2log221；2log23log432log232log4332log4332log23.答案：31在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M 0的条
3、件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围小题纠偏1函数y的定义域为_答案：2函数f(x)log(x1)(2x1)的单调递增区间是_答案：题组练透1(易错题)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablogacDloga(bc)logablogac解析：选B利用对数的换底公式进行验证，logablogcalogcalogcb.2(2018台州模拟)lg2lglg等于()Alg 2B
4、lg 3C4Dlg 5解析：选Alg2lglglglglglglg 2，故选A.3计算100_.解析：原式(lg 22lg 52)100lg 10lg 1021021020.答案：204已知函数f(x)则f(f(1)f的值是_解析：因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为log30，所以f3log313log321213.所以f(f(1)f235.答案：5谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用典例引领设方程10x|lg(x
5、)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x20Cx1x21 D0x1x21解析：选D作出y10x与y|lg(x)|的大致图象，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D.由题悟法应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解即时应用1
6、函数f(x)ln|x1|的图象大致是()解析：选B当x1时，f(x)ln(x1)，又f(x)的图象关于x1对称，故选B.2(2018温州适应性训练)若x1满足2x2x5，x2满足2x2log2(x1)5，则x1x2()A. B3C. D4 解析：选C2x52x,2log2(x1)52x，即2x1x，log2(x1)x，作出y2x1，yx，ylog2(x1)的图象(如图)由图知y2x1与ylog2(x1)的图象关于yx1对称，它们与yx的交点A，B的中点为yx与yx1的交点C，xC，x1x2，故选C.锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有常
7、见的命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)简单对数不等式的解法；(3)对数函数的综合问题 题点全练角度一：比较对数值的大小1设alog3，blog2，clog3，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：选A因为alog3log331，blog2log221，所以ab；又(log23)21，c0，所以bc.故abc.角度二：简单对数不等式的解法2设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析：选C由题意得或解得a1或1a0.故选C.角度三：对数函数的综合问题3已知
8、函数f(x3)loga(a0，a1)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当0a1时，求函数f(x)的单调区间解：令x3u，则xu3，于是f(u)loga(a0，a1，3u3)，所以f(x)loga(a0，a1，3x3)(1)因为f(x)f(x)logalogaloga10，所以f(x)f(x)，又定义域(3,3)关于原点对称所以f(x)是奇函数(2)令t1，则t在(3,3)上是增函数，当0a1时，函数ylogat是减函数，所以f(x)loga(0a1)在(3,3)上是减函数，即函数f(x)的单调递减区间是(3,3)通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的
9、方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较演练冲关1(2019杭州模拟)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当a1时，f(x)1等价于8axa在1,2上恒成立，即amin，解得1a.当0a1时，f(x)1等价于08axa在1,2上恒成立，即amax且amin，解得a4且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围为.答案：2已知函数f(x
10、)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a，使f(x)的最
11、小值为0. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018金华温州台州高三开学联考)若2a3b6，则()A. B.C. D.解析：选A令2a3b6k，则a，b，c，则.2(2019舟山模拟)设alog50.5，blog20.3，clog0.32，则a，b，c的大小关系是()Abac BbcaCcba Dabc解析：选Balog50.5log50.21，blog20.3log20.51，clog0.32log0.31，log0.32，log50.5.1lg 0.2lg 0.30，即ca，故bca.故选B.3(2018金华名校联考)已知函数f(x)，若实数a满足2f(log4a)f(loga)f(1)
12、0，则a的取值范围是()A(0,4 BC D1,4解析：选Bf(x)1，定义域为R，f(x)f(x)，f(x)是单调递增的奇函数，又f(loga)f(log4a)f(log4a)，则不等式2f(log4a)f(loga)f(1)0化为f(log4a)f(1)0，即f(log4a)f(1)f(1)，则log4a1log4，得0a.4(2016浙江高考)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析：logablogbalogab，logab2或.ab1，logablogaa1，logab，ab2.abba，(b2)bbb2，即b2bbb2，2bb2，b2，a4.答案：425(2
13、018杭州模拟)已知函数ylog在区间(2，)上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：令tx2axa，则函数f(x)在区间(2，)上是减函数，可得函数t在区间(2，)上是增函数，且t(2)0，所以解得a4，所以实数a的取值范围是(，4答案：(，4 二保高考，全练题型做到高考达标1已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为()A4 B4C6 D6解析：选B函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即30m0，解得m1，f(log35)3log3514，f(log35)f(log35)4.2(2018丽水月考)函数f(x)lg(4x2x11
14、1)的最小值是()A10 B1C11 Dlg 11解析：选B令2xt，t0，则4x2x111t22t11(t1)21010，所以lg(4x2x111)1，即所求函数的最小值为1.故选B.3(2019丽水模拟)已知对数函数f(x)logax是增函数，则函数f(|x|1)的图象大致是()解析：选B由函数f(x)logax是增函数知，a1.f(|x|1)loga(|x|1)由对数函数性质知选B.4(2018金华模拟)已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)()A2 B2C. D解析：选Df(x)lg的定义域为1x1，f(x)lglgf(x)，f(x)为奇函数，f(a)f(a).5(2016浙江高
15、考)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析：选Da，b0且a1，b1，当a1，即a10时，不等式logab1可化为alogaba1，即ba1，(a1)(ab)0，(b1)(a1)0，(b1)(ba)0.当0a1，即a10时，不等式logab1可化为alogaba1，即0ba1，(a1)(ab)0，(b1)(a1)0，(b1)(ba)0.综上可知，选D.6(2018杭二月考)已知2x72yA，且2，则A的值是_解析：由2x72yA得xlog2A，ylog7A，则logA22logA7logA982，
16、A298.又A0，故A7.答案：77若方程2log2xlog2(x1)m1有两个不同的解，则实数m的取值范围是_解析：由题意知即x1，方程化简为log2m1，故2m1，即x22m1x2m10，当x1时，此方程有两个不同的解，所以解得m1.答案：(1，)8已知函数f(x)|log 3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析：因为f(x)|log3x|所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得则所以0m2m1，则f(x)在m2,1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，
17、则f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.答案：99已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)loga(x1)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若1f(1)1，求实数a的取值范围解：(1)当x0时，x0，由题意知f(x)loga(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)loga(x1)，函数f(x)的解析式为f(x)(2)1f(1)1，1loga21，logaloga2logaa.当a1时，原不等式等价于解得a2；当0a1时，原不等式等价于解得0a.综上，实数a的取值范围为(2，)10设f(
18、x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018杭州五校联考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x)，当x(0,1)时，f(x)则f(x)在区间内是()A增函数且f(x)0 B增函数且f(x)0C减函数且f(x)0 D减函数且f(x)0解析：选D由f(x)为奇函数，f(x1)f(x)得，f(x)f(x1)f(x2)；f(x)f(x2)，f(x)是周期为2的周期函数根据条件，x时，f(x)log，x2，(x2)，f(x)f(x2)f(2x)log.设2xt，t，x2t，f(t)log，f(t)log，f(x)log，x，可以看出x增大时，x减小，log增大，f(x)减小，在区间内，f(x)是减函数，而由1x得0x，
