1、届高考数学大二轮复习专题题型1选填题练熟练稳少丢分第7讲三角恒等变换与解三角形练习文第7讲 三角恒等变换与解三角形考情分析三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幕公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： (1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关边、角的范围问题；(5)实际应用问题.热点题型分析热点1三角恒等变换及求值三角恒等变换“四大策略”：(1) 常值代换：特别是“1”的代换，1 = sin 2 0 + cos2 0 = tan45 等；(
2、2) 项的分拆与角的配凑，如： 2 a 2 z . 2 2 、 2sin a + 2cos a = (Sin a + cos a ) + COS a ,a = ( a 卩)+卩等；(3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4) 弦、切互化：一般是切化弦.1. 若sin n a = 1，则cos 亍+ 2 a的值为（B.答案 B答案 A解析又 逛又COS a = 厂，52石Sin a = -1,5n n都是锐角，二 a 3 0，得 sin A= 2sin B.根据正弦定理，得 a= 2b.故选A.3. (2019 全国卷n ) AABC的内角A, B, C的对边分别为 a,
3、b, c.若b= 6, a = 2c, B则厶ABC的面积为 .答案 6 3解析 由余弦定理得 b2 = a2+ c2 2accosB., n 2 2 2 1又 b= 6, a = 2c, B= 36 = 4c + c 2 X2 c x -,3 2 c = 2 3, a= 4 3,-Saabc pa B= 2x43 X2 3 x = 6 . 3.4. (2017 浙江高考)已知 ABC AB= AC= 4, BC= 2.点D为AB延长线上一点，BD= 2 ,连接D则厶BDC勺面积是 , cos / BD( .答案乎严解析 解法一：依题意作出图形，如图所示，/ DB( sin / ABC由题意知
4、 AB= AC= 4 , BC= BD= 2 ,由余弦定理得aB+bC aC cos / AB(= 2AB- BC2 2 2=4 + 2 4 = 1 =2X4X2 =4,则 sin / DBG sin / AB(= ,1所以 &bdc= BC- BD- sin / DBC1 15 152X 2X =.厂, 1因为 cos / DBC= cos / ABC= 一4bD + bC- cD_ 8-cD =2BD- BC = -8所以CD= 10.4+ 10- 4 F0由余弦定理，得 cos / BD(= =-.2X 2X10 4解法二：同解法一得 cos/ ABC= 4, Sbdc= 2.cos /
5、 BDC=1因为BD= BC= 2，所以/ BDC=咕 ABC贝V1 + cos / ABC 10 4 .专题作业、选择题1.下列各式中，值为2 n . 2 nB.乜-sin 乜tan22 .51 2 n4，排除 A cos - sin2 n n 3乜=cos =三，排除B;s 2：驾 5。= 1 知1 -tan 22.51，排除C;由tan45 D.1 - tan 222.5的图象如图，若f (Xi) = f (X2)，且XlM X2，则f(Xl+ X2)的值为( )A. _3 B. .2C. 1 D. 0答案 C3T 2 n n 2 n解析 由图象得 = 12，二 T=n, 3 =t =
6、2,_,2n 2 n 4 n 4 n 3 n图象过点 -3，一 2 , - 2sin x 2+ 0 = 2sin + 0 = 2,得 + 0 =+ 2k n( k Z),n0 = + 2kn( k Z),n n f (x) = 2sin 2x +石+ 2kn = 2sin 2x +百，由图象可知，函数f (X)的一条对称轴为n T n n nx=石+ 46，又f(X1)=f(X2)，由 X1+yx2=，得 f(X1+X2) =fn n _ ,4.(2019 晋城一模)若|sin0 | + |cos则 sin 4 0 + cos4 0 =(2sin 2x7 +石=1，故选 C.17C.82D.3
7、答案 B解析 将|sin 0 | + |cos 0 | =甘两边平方得,1 + |sin2 0 | = 4,a |sin2 0 | =1,17sin 40 +cos40 = 1 -2sin 20 cos20= 1-2sin 2 0 =冠故选 B.5. 函数f(x) = (1 cos2x) cos2x, x R,设f(x)的最大值是 A,最小正周期为 T,则f (AT)的值等于(C. 1D. 0答案 B解析 T f (x) = (1 cos2x)cos 2x= (1 cos2x)1 + cos2x = 2(1 cos22x)1 + cos4x 1 11 = ： cos4x+二.2 4 4当 co
8、s4x = 1 时，A= f(x)max= 2, T=普=.:.f(AT) = f = cos n + 4 = 2.故选 b.4 4 4 26. BC= 1, AG= 5,则 AB=(2018 全国卷 n )在厶 ABC中, cosC=-B. 30A.4 2D. 2 5答案A.1 B答案答案a= 1,asin An A= 3, b= 1,F ABC为等边三角形, S= 2absin 0-4?.故选 b.n9.(2019 重庆巴蜀中学期中 )已知f(x) = sin( x+B )其中 0, 0,三n n召-x，将f(x)的图象向左平移石个nf ( X1)= f ( X2)= 0, |xi X2|
9、 的最小值为,f (x) = f单位长度得g(x)，则g( x)的单调递减区间是(k nk n+ -2 (k .Z)n2nk n+石,kn1 3(k Z)n5 nk n+3,kn+ 6(k Z)n7nk n+12 ,kn1 12(k Z)7tA.B.C.D.答案 A解析 t f (x) = sin( 3x+ 9 )其中 co 0,由f( Xi) = f(X2) = 0可得xi, X2是函数的极值点,n 1 n nT | X1 X2| 的最小值为 ,-T= =t,2 2 2- = 2, f( x) = sin(2 x+ 9 ),n又 f(x) = f 亍x ,n f (X)的图象的对称轴为 X
10、= _6 ,n n 亠 n 2X 6 +9= kn + 2, k Z,又 9 0,n , 小 n 9 = , f (x) = sin 2x + 石.将f(x)的图象向左平移n个单位长度得6n n 亠g(x) = sin 2 x+ +石 =cos2x 的图象，n令 2k nW2xW2kn + n, k Z , kn X,=迹5/ sin( cos(5 n4 ,10百0 ,310 一 10n2 ,又 3 n,3n2 ,且 3一 a cos(5 -5=cos2 a + ( 3 a ) = cos2 a 3 .10 - 5 ,10 .2z- X = _ .103)-cos(3 a ) sin2a si
11、n( 3 a )5 10nT 2 a ,7t7n3=故选A.11. ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,卄 衣2c ,右 cos C= , bcosA+ acos B= 2 ,则厶ABC的外接圆面积为（A.4 nD . 36 n答案解析T bcosA+ acos B= 2,由余弦定理可得,2 2+ c a + a 2bc整理得c= 2,又T2 2 . 2a + c b = 2 ,c 22 cosC= 3 , sin C= . 1 cos 2C=1 ,3设厶ABC的外接圆的半径为 R,则2R= 、=丁= 6,. R= 3. :, ABC勺外接圆面积 S=sin C 13n R = 9 n
12、 .故选 C.12. （2019 南关区校级期末）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一一蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷某数学兼艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 A, C处作圆弧的切线，两条切线交于 B点，测得如下数据： AB= 6.9 cm ,BC= 7.1 cm , AC= 12.6 cm，根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间 （ ）nB.D.n 5 nC.亍乜答案 B解析 取 AB= BO7,设/ ABC= 2 0 ,n 3 n 2 n
13、 3 n3，三，20 T，7设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 a ,则a + 2 0 = n,二an n ,3 .故选b.二、填空题13. （2019 陕西四校联考 ）已知sin a = 2cos a，贝U cos2 a3答案352 22 2cos a sin a2 . 2 =sin a + cos a21 tan a 1 42 tan a +1 4 + 1解析 由已知得 tan a = 2, cos2 a = cos a sin a14. （2018 全国卷 n ）已知 sin a + cos 卩=1, cos a + sin （3 0，贝U sin（ a + 卩）解析 解法一
14、：因为 sin a + cos卩=1, cos a + sin卩=0,2 2所以(1 Sin a ) + ( cos a ) = 1 ,1 1所以 sin a = 2，cos 卩=2,15.在厶 ABC中, AD是 BC边上的中线，/ ABD=-6.若 AB=(3BD 则/ CAD= 若AC= 2AD= 2，则厶ABC的面积为 答案才3解析 设 BD= m 则 AB=Q3m BC= 2m 根据余弦定理， aD= aB + bD 2AB- BDcos/ ABD= m，aC= aB + bC 2AB- Bos / ABD= mi，二 AD= DC= AC= m 即厶 ACD是正三角形，二n 1/
15、CAD=.记厶ABC的三内角/ BAC / ABC / ACB所对的三条边分别为 a，b, c，贝U BD= -a，3 2由余弦定理可得， AD= AB+ bD 2AB- BOios / ABD： 1 = c2+ *a 2 ac,即卩 4= 4c2+ a2 23ac，又 aC= aB + bC 2AB BCbos / ABC 4 = c + a 3ac,于是，4c + a 3ac =c2 + a2 3ac，: a= ,3c,代入 c2 + a2 , 3ac= 4 可得 c= 2, a = 2 , 3,： Sbc= acsin /ABC= 3.16.（2019 潍坊模拟）校运动会开幕式上举行升旗
16、仪式， 旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和30,第一排和最后一排的距离为 10 ,6 m（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s ,升旗手应以 m/s的速度匀速升旗.答案 0.6解析 依题意可知/ AE(= 45, / ACE= 180 60 15= 105, ：/ EAC= 18045 105= 30由正弦定理可知CE = ACsin Z EAC sin Z CEAAG=CEsin / EAC Sin在 Rt ABC中, AB= AC- sin/ ACB= 20 3X=30 m.国歌时长为50 s ,30升旗速度为百=0.6 m/s.50
