1、平面几何有关三角形五心的经典试题及证明剖析平面几何:有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰ABC 底边BC 上一点P 引PM CA 交AB 于M ;引PN BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P .试证:P 点在ABC 外接圆上. (杭州大学中学数学竞赛习题分析:由已知可得MP =MP =MB ,NP =NP=NC ,故点M 是P BP 的外心,点N 是P PC 的外心.有BP P =21BMP =21BAC , PP C =21PNC =21
2、BAC .BP C =BP P +P PC =BAC .从而,P 点与A ,B ,C 共圆、即P 在ABC 外接圆上. 由于P P 平分BP C ,显然还有 P B :P C =BP :PC .例2.在ABC 的边AB ,BC ,CA 上分别取点P ,Q ,S .证明以APS ,BQP ,CSQ 的外心为顶点的三角形与ABC 相似. (B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克分析:设O 1,O 2,O 3是APS ,BQP ,CSQ 的外心,作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 PO 1S =2A , QO 2P =2B , SO 3Q =2C .PO 1S +QO 2P +SO 3
3、Q =360.从而又知O 1PO 2+O 2QO 3+O 3SO 1=360将O 2QO 3绕着O 3点旋转到KSO 3,易判断KSO 1O 2PO 1,同时可得O 1O 2O 3O 1KO 3.O 2O 1O 3=KO 1O 3=21O 2O 1K=21(O 2O 1S +SO 1K =21(O 2O 1S +PO 1O 2=21PO 1S =A ;同理有O 1O 2O 3=B .故O 1O 2O 3ABC .A B C P P MN A B C QK P O O O .S 123二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.例
4、3.AD ,BE ,CF 是ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在PAD ,PBE ,PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克分析:设G 为ABC 重心,直线PG 与AB,BC 相交.从A ,C ,D ,E ,F 分别 作该直线的垂线,垂足为A ,C , D ,E ,F . 易证AA =2DD ,CC =2FF ,2EE =AA +CC ,EE =DD +FF . 有S PGE =S PGD +S PGF .两边各扩大3倍,有S PBE =S PAD +S PCF .例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.
5、其逆亦真.分析:将ABC 简记为,由三中线AD ,BE ,CF 围成的三角形简记为.G为重心,连DE 到H ,使EH =DE ,连HC ,HF ,则就是HCF . (1a 2,b 2,c 2成等差数列. 若ABC 为正三角形,易证. 不妨设a b c ,有CF =2222221c b a -+, BE =2222221b ac -+, AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2,分别代入以上三式,得 CF =a 23,BE =b 23,AD =c 23. CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有.(2a 2,b 2,c 2成等差数列.
6、 当中a b c 时, 中CF BE AD . , S S =(a CF 2.AA F F GE E D C P C B D据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”,有S S =43. 22aCF =433a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.例5.设A 1A 2A 3A 4为O 内接四边形,H 1,H 2,H 3,H 4依次为A 2A 3A 4,A 3A 4A 1,A 4A 1A 2,A 1A 2A 3的垂心.求证:H 1,
7、H 2,H 3,H 4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置. (1992,全国高中联赛 分析:连接A 2H 1,A 1H 2,H 1H 2,记圆半径为R .由A 2A 3A 4知13212sin H A A H A =2R A 2H 1=2R cos A 3A 2A 4;由A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos A 3A 1A 4.但A 3A 2A 4=A 3A 1A 4,故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1A 1A 2,于是,A 2H 1 A 1H 2, 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ,故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称
8、. 同理,H 2H 3与A 2A 3,H 3H 4与A 3A 4,H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称,两者是全等四边形,H 1,H 2,H 3,H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ,Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ,M 两点,Q 点就不难确定了.例6.H 为ABC 的垂心,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中心.一个以H 为圆心的H 交直线EF ,FD ,DE 于A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2. 求证:AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2
9、. (1989,加拿大数学奥林匹克训练题 分析:只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a , CA =b ,AB =c ,ABC 外接圆半径为R ,H 的半径为r . 连HA 1,AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2, 又AM 2-HM 2=(21AH 12-(AH -21AH 12=.OA A A A 1234H H12H H HM A B BA ABC CC F12111222D E=AH AH 1-AH 2=AH 2AB -AH 2=cos A bc -AH 2, 而ABH AHsin =2
10、R AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R a 2=4R 2sin 2A . AH 2+a 2=4R 2,AH 2=4R 2-a 2. 由、有A 21A =r 2+bca cb 2222-+bc -(4R 2-a 2=21(a 2+b 2+c 2-4R 2+r 2. 同理,21BB =21(a 2+b 2+c 2-4R 2+r 2,21CC =21(a 2+b 2+c 2-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1. 四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I 为ABC 的内心,射线AI 交ABC 外接圆于A
11、 ,则有A I =A B =A C .换言之,点A 必是IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用.例7.ABCD 为圆内接凸四边形,取DAB ,ABC ,BCD , CDA 的内心O 1, O 2,O 3, O 4.求证:O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986,中国数学奥林匹克集训题证明见中等数学1992;4例8.已知O 内接ABC ,Q 切AB ,AC 于E ,F 且与O 内切.试证:EF中点P 是ABC 之内心.(B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克分析:在第20届IMO 中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB =AC .当AB AC ,怎样证明呢?如图,显然EF
12、中点P 、圆心Q ,BC 中点K 都在BAC 平分线上.易知AQ =sin r .QK AQ =MQ QN ,QK =AQQNMQ =sin /2(r rr R -=2(sin r R -.由Rt EPQ 知PQ =r sin .A B C D O O O 234O1A MBCKNER OQF rPPK =PQ +QK =r sin +2(sin r R -=R 2sin . PK =BK .利用内心等量关系之逆定理,即知P 是ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密
13、切.例9.在直角三角形中,求证:r +r a +r b +r c =2p .式中r ,r a ,r b ,r c 分别表示内切圆半径及与a ,b ,c 相切的旁切圆半径,p 表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题分析:设Rt ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性:p (p -c =(p -a (p -b .p (p -c =21(a +b +c 21(a +b -c =41(a +b 2-c 2=21ab ; (p -a (p -b =21(-a +b +c 21(a -b +c =41c 2-(a -b 2=21ab .p (p -c =(p -a (p -b . 观察图形,可得 r a
14、=AF -AC =p -b , r b =BG -BC =p -a , r c =CK =p .而r =21(a +b -c =p -c . r +r a +r b +r c=(p -c +(p -b +(p -a +p =4p -(a +b +c =2p . 由及图形易证.例10.M 是ABC 边AB 上的任意一点.r 1,r 2,r 分别是AMC ,BMC ,ABC 内切圆的半径,q 1,q 2,q 分别是上述三角形在ACB 内部的旁切圆半径.证明:11q r 22q r =qr . (IMO -12分析:对任意A B C ,由正弦定理可知Kr r r r O O O 213A OE C
15、B a b cOD=OA sin A 2 C O A . E O D . B B A 2 =AB sin sin A O B 2 A B sin sin 2 2 ， =AB A+ B sin 2 A B cos cos 2 2 . OE= AB A+ B sin 2 OD A B = tg tg . O E 2 2 亦即有 sin r1 r A CMA CNB B tg tg 2 = tg tg q1 q2 2 2 2 2 = tg A B r tg = . 2 2 q 六、众心共圆 这有两种情况：(1同一点却是不同三角形的不同的心；(2同一图形出现了 同一三角形的几个心. 例 11 设在圆内
16、接凸六边形 ABCDFE 中， =BC， =DE， =FA.试证： AD， AB CD EF (1 BE，CF 三条对角线交于一点； (2AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题 分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF，EB 是ACE 的三条内角平分 线，I 为ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF， 易证 BP， ， 是它的三条高， 是它的垂心， DQ FS I 利用 不 . 等式有： Erdos A BI+DI+FI2(IP+IQ+IS. F 不难证明 IE=2IP，I
17、A=2IQ，IC=2IS. B Q BI+DI+FIIA+IE+IC. I P E AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2(BI+DI+FI C (IA+IE+IC+(BI+DI+FI D =AD+BE+CF. I 就是一点两心. 例 12ABC 的外心为 O，AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明 OE 丄 CD. (加拿大数学奥林匹克训练题 A 分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点 F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 E F D CD 交 AM 于 G，G 必为ABC 重心. G 连 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易证： O K 1 1
18、 1 B C DG:GK= DC:( DC=2:1. 3 2 3 DG:GK=DE:EF GEMF. OD 丄 AB，MFAB， OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD. 例 13ABC 中C=30，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题 分析：辅助线如图所示，作DAO 平分线交 BC 于 K. 易证AIDAIBEIB， AID=AIB=EIB. D A C 30 利用内心张角公式，有 O K I 1 F E
19、AIB=90+ C=105， 2 B DIE=360-1053=45. 1 AKB=30+ DAO 2 1 =30+ (BAC-BAO 2 1 =30+ (BAC-60 2 1 = BAC=BAI=BEI. 2 AKIE. 由等腰AOD 可知 DO 丄 AK， DO 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高. 同理 EO 是DIE 之垂心，OI 丄 DE. 由DIE=IDO，易知 OI=DE. 例 14锐角ABC 中，O，G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离 和为 d 外，重心到三边距 A 离和为 d 重，垂心到三边距离和为 d 垂. H3 求证：1d 垂+2d 外=3d 重. G3
20、 O2 O3 G2 分析：这里用三角法.设ABC 外接圆 H2 O G 半径为 1，三个内角记为 A，B， I B C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 C O1 G 1 H 1 =cosA+cosB+cosC， 2d 外=2(cosA+cosB+cosC. AH1=sinBAB=sinB(2sinC=2sinBsinC， 同样可得 BH2CH3. 3d 重=ABC 三条高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB BH =2， sin BCH HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同样可得 HH2，HH3. d 垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosBco
21、sC+cosCcosA+cosAcosB 欲证结论，观察、， 须 证 (cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB+( cosA+ cosC=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可. cosB+ 练 习 题 1.I 为ABC 之内心，射线 AI，BI，CI 交ABC 外接圆于 A， B，C .则 AA+BB+CCABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克 2.T的三边分别等于T 的三条中线， 且两个三角形有一组角相等.求证这两 个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克 3.I 为ABC 的内心.取IBC， ICA， IAB 的外心 O1， 2， 3.
22、求证： O1O2O3 O O 与ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克 4.AD 为ABC 内角平分线.取ABC，ABD，ADC 的外心 O，O1，O2.则 OO1O2 是等腰三角形. 5.ABC 中C90，从 AB 上 M 点作 CA，CB 的垂线 MP，MQ.H 是CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.(IMO-7 1 6.ABC 的边 BC= (AB+AC，取 AB，AC 中点 M，N，G 为重心，I 为内心. 2 试证：过 A，M，N 三点的圆与直线 GI 相切.(第 27 届莫斯科数学奥林匹克 7.锐角ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3， 求作ABC.(第 7 届莫斯科数学奥林匹克 8.已知ABC 的三个旁心为 I1，I2，I3.求证：I1I2I3 是锐角三角形. 9.AB，AC 切O 于 B，C，过 OA 与 BC 的交点 M 任作O 的弦 EF.求证：(1 AEF 与ABC 有公共的内心；(2AEF 与ABC 有一个旁心重合.
