1、）外角和为，任意一个外角等于不相邻的内角和，外角大于不相邻的内角。8.三角形的三线：中线、高线、角平分线均为线段，且同类三线所在的直线相交于一点。9.几个常见的规律性结论：平面内n条直线最多交点个数，n个点最多画直线条数，n边形的对角线为条，n条直线分平面最多为部分，n条直线交于一点，对顶角有n（n-1）对。二、易混易错结论平行线 垂线过一点作已知直线的0或1条同一平面内，有且仅有一条两条直线和第三条直线的关系则两条直线平行在同一平面内，这两条直线平行一个角的两边和另一个角的两边关系两角相等或互补在同一平面内，相等或互补三、三个经典图形（M型、子弹头型、飞鸟型）1.已知AB|CD，根据平行线的
2、性质易知图（1）的1+2=180；过E作EF|AB,可知图（2）中的1+2+3=360根据上述方法则图（3）中的1+2+3+4= ，图（4）中的1+2+n= 。2.直线AC|BD,连结AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连结PA、PB构成PAC、PBD 、APB三个角。（1）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD;（2）当动点P落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD是否成立？请画出图形，说明理由;（3）当动点P落在第、部分时，且在直线AB右侧时，直接回答PAB、PAC、PBD的关系;3.直线L1|L2,直线L
3、3和直线L1,L2分别交于点C和D,P为直线L3上的一点,E,F分别是直线L1,L2上的定点.（1）若点P在线段AB（A,B两点除外）上运动时,问1,2,3之间是什么关系?这种关系是否发生变化?（2）若点P在线段AB之外时,1,2,3的关系又怎样?说明理由四、与角有关的考题例1.（1）（浙江）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的1= 度 （2）右上图，A+B+C+D+E+F= 练习1三角形的一个内角大于另外两个内角的和，则此三角形的形状是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 无法确定 练习2 A+B+C+D+E+F= （3）已知：图（1）是五角星形，求A+B+C+D+E的
4、度数； 例2（绵阳）如图，AC|BD,AB与CD相交于O，AO=AC,A=480，D= 【练习】1.（内江）将一副直角三角板如图1放置，使含30角的三角板的直角边和含45角的三角板一条直角边在同一条直线上，则1的度数为（ ） A.75 B.65 C.45 D.302.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC8，BD6，OEBC，垂足为点E，则OE_. 3.（达州）如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（） A. 2 B3 C4 D54.（2019成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片叠放在一起
5、，若1=300，则2的度数为（ ）A 100 B 150 C 200 D 300（4小题） （5小题）5.（2019年绵阳）如图，AB|CD，ABD的平分线和BDC的平分线交于点E，则1+2= 五、三角形的角平分线常见结论1.已知在三角形中，ABC与ACB的平分线相交于点D，求BDC与A的关系。2.如图所示，ABC的平分线和ACB的外角平分线交于点E，求E与A的关系。3.如图所示，ABC和ACB的两角外角平分线相交于点P，求P与A的关系。4.如图所示,已知1=2,3=4,C=32,D=28,求P的度数.【练习】1.、如图，在ABC中，AD为BAC的角平分线，CB，E为AD上一点，且EFBC于F
6、。（1）试探索DEF与B，C的大小关系；（2）当带你E在AD的延长线上时，其他条件不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？并说明理由。2. 如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为_【例题1】问题引入：【练习】1.如图，已知MON=90，点A、B分别在射线ON、OM上运动，OAB的角平分线与OBA的外角ABM的平分线交于点C，试问：ACB的大小是否变动？说明你的结论。2.ABC中，ACB90，AE平分BAC，ADBC交BC的延长线于D
7、点，则DAE，ACB，B之间存在某种等量关系，试写出这种等量关系，并说明理由.六、 三角形常见四大辅助线和动态问题1.等腰三角形“三线合一” 2.角平分线-对称做线 3.中线-倍长中线法 4.线段和差截长补短1、中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。2.如图，在ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE=EF求证：AC=BF3.如图，已知在ABC中，A=90，AB=AC,D为AC的中点，AEBD于点E，延长AE交BC于点F.求证：ADB=CDF.4.如图所示，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以点D为顶点作一个角度为60的MDN，角
8、的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC长度之间的关系，并加以证明。5. 如图，在ABC中，AB=AC，BEAC于E，D为BC中点，过D作DFAC，DGAB。（1）证明：BE=DF+DG；（2）如图，若D点在BC上滑动（不与B、C重合），上述结论成立吗？（3）若D在BC的延长线上，如图，结论成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，探究BE、DF、DG之间有什么关系？【例题】问题背景：如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=120,B=ADC=90.E,F分别是BC,CD上的点。且EAF=60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。小王同学探究此问
9、题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明ABEADG,再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180.E,F分别是BC,CD上的点,且EAF=1/2BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之
10、间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离。【练习】如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。 （1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。
11、七三角形中的分类讨论和拓展【试一试】1.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是 .2.等腰三角形的一个角是800，则它的顶角度数是（ ）A 800 B 800或200 C 800或500 D 2003.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为（ ）（A）60o （B）120o （C）60o或150o （D）60o或120o例1.直角三角形三边长分别为x,x+1,5,则ABC的周长是 。练习（1）直角三角形中，已知两边的长分别为3和4，则第三边的平方为 （2）已知9,a,15为一组勾股数,则a= 例2.（2017绵阳）
12、【练习】（2018绵阳）A2 B 3-2 C3-1 D 3-3例3.（2019绵阳）如图，ABC,BDE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=22，将BDE绕点B逆时针方向旋转后得BD,E,当点E，恰好落在线段AD,上时，则CE,= 【练习1】（达州）练习2（2016年绵阳）.如图，点O是边长为4的等边ABC的内心，将OBC绕点O逆时针旋转30得到OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=.例4.（2016绵阳）如图，ABC中AB=AC=4，C=72，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（） A. B. C. D.【练习】1.2.（
13、内江）如图所示，已知点C（1，0），直线yx7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则CDE周长的最小值是_. 3.（2018年绵阳）八、平面和立体图中的最短路径【1.平面图形中设计最短路径】1.一束光线与水平面成的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角的度数是（ ）A B C D 2.如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A6B8
14、C10D12【2.立体图形中的最短路线】例1.（圆柱体中的最短路径）有一圆柱形的油罐，如图，要从点A起环绕油罐一圈建梯子，正好到A点的正上方B点，若油罐底面周长是12m，高是5m，问梯子最短是多少米？2.（长方体中的最短路线）一蚂蚁如果要沿长方体的表面积从A到C，那么沿那条路线走最近，请画出图形，并求出最短路线长，长方体的长为2cm,1cm，4cm.【当堂训练】1.（绵阳，3分）如图，在ABC中，B、C的平分线BE，CD相交于点F，ABC=42，A=60，则BFC=（） A.118 B.119 C.120 D1212.（绵阳，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，CBD=
15、90，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为 3.（绵阳，3分）如图，AB/CD，CDE=119，GF交DEB的平分线EF于F，AGF=130则F=。 （4题） （5题） 4.（成都，4分）如下图，直线mn，ABC为等腰三角形，BAC=90，则1= 45度5.（成都，4分）如图，在ABCD中，AB=，AD=4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为2.（2017绵阳）6.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：1.如图2，在ABC中，ACB是直角，B=,AD,CE分别是的平分线，AD,CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；2.如图3，在中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
