1、秋季新版沪科版九年级数学上学期221比例线段教案7第22章相似形22.1比例线段第1课时相似多边形教学目标【知识与技能】知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.【过程与方法】经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.【情感、态度与价值观】在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.重点难点【重点】知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.【难点】能运用相似图形的性质解决问题.教学过程一、问题引入活动1:观察图片,体会开关相同的图
2、形.(多媒体出示)师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么?你能对观察到图片特点进行归纳吗?生:这些图形的开关相同,而大小不同.二、新课教授活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗?生:形状不同.师生活动.教师出示图片,提出问题.学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,
3、对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.活动3:探究.如图(1)的两个正方形,应有A=A1,B=B1,C=C1,D=D1;=.如图(2)的两个等边三角形,应有A=A1,B=B1,C=C1;=.(1)(2)一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;(3)当相似比为1时,两个多边形全等.三、
4、例题讲解【例1】如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角和的大小以及EH的长度x.师生活动.教师出示例题,提出问题.学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角和的大小以及EH的长度x.解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得=C=83,A=E=118,在四边形ABCD中,=360-(78+83+118)=81.四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得=,即=.解得:x=28(cm).【例2】已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1B1C1C1D1D1A1=781114.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的
5、长.分析:因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.解:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,ABBCCDDA=A1B1B1C1C1D1D1A1.A1B1B1C1C1D1D1A1=781114,ABBCCDDA=781114.设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.四边形ABCD的周长为40,7m+8m+11m+14m=40,m=1,AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.四、巩固练习1.在比例尺为110 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离,【答案】3 000 km2.如图所示的两个直角三角形相似吗?为什
6、么?【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.【答案】a=3,b=,c=4,d=6.五、课堂小结本节课主要学习了以下内容:1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.教学反思本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察比较猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大
7、胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.第2课时成比例线段(1)教学目标【知识与技能】从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.【过程与方法】在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察比较猜想”的方法分析问题.【情感、态度与价值观】在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.重点难点【重点】认识成比例的线段.【难点】理解成比例线段的概念.教学过程一、复习回顾,引入新课师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗?生:学习了相似多边形.师:是的,你能说说什么是相似多边形吗?生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,
8、对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.二、讲授新课如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即ABCD=mn,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=kCD,两条线段的比实际上就是两个数的比.活动:如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?师生活动.教师出示图片,提出问题.学生考虑如何求得这两条线段的比.学生求出的值不唯一,只
9、要方法恰当,教师都要给予肯定.1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.注意:(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;(2)线段的比是一个没有单位的正数;(3)四条线段a、b、c、d成比例,记作=或ab=cd;(4)若四条线段满足=,则有ad=bc;(5)如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么=.三、例题讲解【例
10、1】如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是()解:C【例2】一张桌面长a=1.25 m,宽b=0.75 m,那么长与宽的比是多少?解:=小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.【例3】已知:一张地图的比例尺是132 000 000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5 cm,北京到上海的实际距离大约是多少km?分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.解:设北京到上海的实际距离大约是x cm.则=,得x=112 000 000(cm).又112 000 000 c
11、m=1 120 km.答:北京到上海的实际距离大约是1 120 km.【例4】如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的一面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m.由=,得=,即a2=1,a2=3.开平方,得a=(a=-舍去).四、课堂小结本节课主要学习了:成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比
12、例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.教学反思本节课是在上节课的基础上认识成比例线段,理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察比较猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证,让学生在研究过程中渗透数学思想,有意识地培养学生的解题能力.第3课时成比例线段(2)教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】
13、1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生
14、作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或ab.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或ab=cd),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:
15、现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.62和2.71.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b20,你能否证明=呢
16、?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)b1=(b1+b2)a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设=k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎
17、样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:=(已知),两边同乘以得=.=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设=k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得=k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,=成立,且b1+b2+b3+bn0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的
18、比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果=,且b1+b2+b3+bn0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体
19、订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为15 000的图纸上,量得一个ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际ABC的周长是多少?解:根据题意,得=.即=.又AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),AB+BC+AC=125 000=60 000(cm)=600(m).答:实际ABC的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使ABAP=APPB.求线段AP的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得ax=x(a-x),即
20、x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是=0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则xy=.【答案】2.已知ab=cd,则=.【答案】3.若=,则=.【答案】4.已知x=,则x的值是.解析:x=,a2+ab=bc+c2.b2+bc=a2+ac.ac+c2=ab+b2将式减去式得ab-bc=c2-a2.将式减去式得ac-ab=b2-c2.将式减去式得b2-a2=ac-bc.由式都可得出a+b+c=0.
21、a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.x=-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=ABPB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,x2=(x+4)4,x2-4x-16=0.x=22.又x0,AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM),则下列各式中不正确的是()A.AMBM=ABAMB.AM=ABC.BM=AB D.AM0.618AB【答案】C7.已知xy=35,yz=47,求xyz.【答案】xy=35,x=y.又yz=47,z=y.xyz=yyy=122035.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,
22、从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.第4课时平行线分线段成比例教学目标【知识与技能】1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.【过程与
23、方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感、态度与价值观】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.重点难点【重点】平行线分线段成比例定理和推论及其应用.【难点】平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.教学过程一、复习引入教师多媒体课件出示:1.求下列各式中xy的值.(1)3x=7y;(2)y=x;(3)yx=47.2.已知x2=y3=z6,求(x+y-z)(4x+6y+z).教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.
24、二、共同探究,获取新知师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?生:教师多媒体课件出示:已知:如图,过ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC于点E,求证:=.师:你能证明这个问题吗?学生思考、讨论.教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB上的垂线段h.师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?学生思考后回答:能,可以转化为ADE和BDE的面积之比.师:你是怎样得到的呢?生:ADE的面积等于AD与h乘积的一半,BDE的面积等于BD与h乘积一半,所以=.师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形
25、的面积之比.再证出什么就能得到结论了?学生思考后回答:再证出=.师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢?生:过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.师:很好!这样我们就证出=.由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?还有哪些比例式也是成立的呢?学生思考,教师提示.生甲:=.生乙:=.师:对!上面的图形,也可看作是直线BC平行于ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理.教师提示大家读出书上的推论,并板书:定理平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.师:这个定理可推广成一般的形式.教师多媒体课件出示:已知:如图,直线l1l2l3
26、,直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F,求证:=.师:直线AC、DF被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢?学生思考、讨论.生甲:AC与DF平行.生乙:AC与DF不平行,但它们在l1与l2间不相交.生丙:AC与DF相交在l1或l3上.生丁:AC与DF相交在两条平行线间.师:下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢?生:根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF,所以ABBC=DEEF.师:很好!如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时,又该如何证明呢?学生
27、思考,讨论后教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:过点A作DF的平行线,分别交l2、l3于点E、F.这时有=,而四边形AEED和四边形EFFE都是平行四边形,所以AE=DE,EF=EF,因而可得=.其余两种情况类似可证.师:于是我们得到如下定理:(教师板书)平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.三、继续探究,层层推进师:在这个定理中,当=1时,有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论?学生口述,教师板书:平行线等分线段定理两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.四、例题讲解【例
28、】如图,在ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EFBC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?解:(1)EFBC,=,AE=7,EB=5,FC=4,AF=.(2)EFBC,=.AB=10,AE=6,AF=5,AC=,FC=AC-AF=-5=.五、巩固练习师:同学们,我们今天学习了不少知识,你们都掌握了吗?现在我来出几道题目帮助大家消化一下.1.如图,已知ABCDEF,那么下列结论正确的是()A.=B.=C.=D.=【答案】A2.如图,DEBC,ABDB=31,则AEAC=.【答案】23第2题图第3题图3.如图,DEBC,若AB=8,AEEC=23,则AD=.【答案】4.如图,DE是ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AHHE=.【答案】21第4题图第5题图5.如图,在ABC中,DEBC,AD=4,DB=8,AE=3.(1)求的值;(2)求AC的长.【答案】(1)=;(2)DEBC,=.又AE=3,AC=9.六、课堂小结师:今天你学习了哪些定理?学生口述定理.
