1、三角形的初步知识1一、三角形的基本概念：1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形ABC记作：ABC。2、相关概念：三角形的边：组成三角形的三条线段。记作： AB、AC、BC。三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。记作：A 、B、 C 3、三角形的分类： 二、三角形三边关系：1、三角形任何两边的和大于第三边。aa几何语言：若a、b、c为ABC的三边，则a+bc,a+cb, b+ca.？这个在实际解题中该怎样应用？2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。三、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于1800。 几何语言：ABC中，
2、A+B+C=1800。四、三角形的三线： 问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？问题3、三角形的中线有什么应用？例题与练习例1、如图，在ABC中，D、E是BC、AC上的两点，连接BE、AD交于点F。问：（1）、图中有多少个三角形？把它们表示出来。（2）、AEF的三条边是什么？三个角是什么？练习：右图中有几个三角形例2、已知线段a b c满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b、 c 为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。练习1、四组线段的长度分别为2，3，
3、4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。其中能摆成三角形的有（ ） A一组 B二组 C三组 D四组2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，那么第三边长应是多少厘米？3、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？例3、在ABC中，A：B：C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。练习：1、在ABC中，若AB=C，则此三角形是（ ）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、无法确定2、如图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若A=50，则BPC=( )A、150 B、10
4、0C、120 D、1303、在ABC中，如果ABC=224，则这个三角形中最大的角_度；按角分，这是一个_三角形；按边分，这是一个_三角形； 例4、如图，AE、AH分别为ABC 的角平分线和高，B=BAC， C=360。 求BAE和HAE的度数。练习：1、如图，在ABC中，BAC=600，C=400，AD是ABC的一条角平分线，求ADC的度数。2、如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在ABC的边AB和BC上，则下列说法中ABC中，AC是BC边上的高；BCD中，DE是BC边上的高。 DBE中，DE是BE边上的高；ACD中，AD是CD边上的高。其中正确的为 。强化
5、提升题：1、判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。（单位：cm）k+1； k+2 2k+2 （k2）2、若abc为三角形的三条边长，化简= 3、已知三角形的三条边长分别为3，x，9，化简4、如图，AD是ABC的中线E是AD的中点，则图中面积相等的三角形共有 对。5、已知：如图，在ABC，BAC=80，ADBC于D，AE平分DAC，B=60，求AEC的度数6、如图（1）如图（1），在ABC中，OB、OC分别是ABC、ACB的平分线若A为x， 则BOC为多少？（2）如图（2），BO、CO为ABC两外角DBC、BCE的平分线，若A为x，则BOC为多少？（3）如图（3），BO、CO为ABC
6、一内角ABC与外角ACD的平分线，若A为x，则BOC为多少？ 八年级上册第二章特殊三角形复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾1等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_；等腰三角形两底角_(即在同一个三角形中，等边对_)；等腰三角形三线合一，这三线是指_、_、_，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是_图形，它的对称轴有_条。2等腰三角形的判定：有_边相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_）。注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗
7、？3等边三角形的性质：等边三角形各条边_，各内角_，且都等于_；等边三角形是_图形，它有_条对称轴。4等边三角形的判定：有_边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是_的三角形是等边三角形；有两个角都是_的三角形是等边三角形；有一个角是_的_ 三角形是等边三角形。5直角三角形的性质：直角三角形两锐角_；直角三角形斜边上的中线等于_；直角三角形两直角边的平方和等于_（即勾股定理）。30角所对的直角边等于斜边的_6直角三角形的判定：有一个角是_的三角形是直角三角形；有两个角_的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不
8、能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。7直角三角形全等的判定：斜边和_ 对应相等的两个直角三角形全等。8角平分线的性质：在角内部到角两边_在这个角的平分线上。三、重点解读1学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角
9、三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；5“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。切记! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做
10、。本章解题时用到的主要数学思想方法： 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例题） 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面的例题） 等面积法四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在ABC中，三内角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。过O点作EF, 使EFBC。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,过O点作EF，使EFBC，且EBO=30。若BE=5，ABC的周长为_。（二）、角平分
11、线+垂线3、如图：AB=AC，1=2，AECD于F交BC于点E，求证：AB=CE。4、如图，ABC是等腰直角三角形，其中A=90，BD平分ABC交AC于点D，CEBD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE (三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线F5、如图，在ABC中，ACB=90，AE平分CAB，CDAB于D，它们交于点F，CFE是等腰三角形吗？试说明理由.（四）、等边三角形的几个基本图形：6、等边三角形ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。AFE=_。7、如图点A、C、E在同一直线上，ABC和CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点。说明： CMN是等边三角形。
12、8、已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，ABC的高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点P在ABC内（图2）和点P在ABC外（图3）这两种情况时，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由 （五）、等腰直角三角形的几个基本应用9、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEM于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，说明ADCCEB的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，说明DE=ADBE的理由；ABCDEMN图2
13、ABCDMN图3(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问DE、 AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.ABCDEMN图110、如图，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。求证：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a，b，c，其中a，b，c为正整数，且abc （1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：当a
14、=21时，求b，c的值12、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ。（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由ABCD13、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积分析：对于没有图形的大题（指需要过程的题目），最好自己画图，与人方便，与己方便。解：设这个等腰三角形为ABC，高为AD，设BD为x，则AB为（16-x）， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/
15、2=2 6 8/2=4814、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。EGCDBA（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）有一个角等于50，另一个角等于_的三角形是等腰三角形。有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为_ 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。（八）作图题如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到AOB两边的距离相等，并说明你的理由作图题的基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所
16、求。【考点精练】一、基础训练1如图1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_ （1） （2） （3）2如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_3如图3，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=_度4如图4，在等腰直角ABC中，B=90，将ABC绕顶点A逆时针方向旋转60后得到ABC，则BAC等于_ （4） （5） 5如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC上的一点B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点
17、E离D的距离约为_米（精确到1米）6等腰ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_7如图7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，则CDE=_ （7） （8） （9）8如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（ ） A44 B68 C46 D229如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用
18、拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如图10，在ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD则A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （10） （11）11同学们都玩过跷跷板的游戏如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D13012、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. += 如图所示，在ABC中，AB=6，AC=
19、9，ADBC于点D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于 二、能力提升13如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长14（计算型说理题）已知如图ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由。15如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形三、应用与探究16如图，ABC是等
20、边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 （1）若AD=BE=CF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论 （2）若DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论一元一次不等式重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1) 不等号的类型: “”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；“”读作“大于”，它表示左边
21、的数比右边的数大；“”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；“”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；“”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若
22、该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。3不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x41的解集是x5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有
23、的数值都在解集中。知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“”，
24、那么变化后仍是“”；如果原来是“”，那么变化后仍是“”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“”，那么变化后将成为“”；如果原来是“”，那么变化后将成为“”；(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。知识点三：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。要点诠释：(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解： 左右两边都是整式(单项式或多项式)； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数为1。(2)一
25、元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“”、“”、“”、“”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“”连接)。知识点四：一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用（2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（
