1、二项式定理讲义二项式定理二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质知识内容、 定义：0 1 4 2 r n *（a 亠 b）n _c n a - c n _b - c n _ -亠亠-亠 Cn （nWN ），这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做 （a - b）n的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数=0,1,2，“）叫做二项式系数，第r 项叫做二项展开式的通项，用 T“表示；T+ =C ；a丄匕叫做二项展开式的通项公式.- 二项展开式的特点与功能1.二项展开式的特点项数：二项展开式共 n1 （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母 a
2、依次降幕（其幕指数等于相应二项式系数的下标与上标的 差），第二字母b依次升幕（其幕指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和 均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数； 上标等于该项的项数减去 1 （或等于第二字母b的幕指数；2.二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予 a, b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的 母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据.又注意到在（a b）b的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等
3、比数列因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据.二项式系数的性质例题练习1.二项式定理及其展开式【例1】1求（X ）的展开式.x【例2】0. 9915的近似值（精确到 0.001 ）是【解析】5 5 20. 991 =(1-0 . 009) =1-5 0. 009+10 X0.009)-0.045+0 . 00081 056【例3】求证：(1 ) n n_1 能被(n -1)2 整除(n N , n _ 3);【证明】为利用二项式定理，对 nn丄中的底数n变形为两数之和（或差）.n _3，且 nN , 二 =1 亠(n1)丄于是有 n n 1 =1
4、 - (n 1) n 丄-1+Cn 丄(n 1 ) + C 丄(n 2 ) +. +Cn 亠(n 1= C(n 1 丄(n 2 j +. +仁(1=nCn_1n 1CnJ n注意至U n _3 ，且n三N，故1 C n丄 C n丄n 一1 亠M )因此由()式知nn 1 _1能被(n _1)2整除;2.二项式系数【例4】 在(x_1)(x.1)8的展开式中X5的系数是( )B. 14 C. -8D. 28的系数为C 84 5 4 3原展开式中X的系数为C 8 -C 8二C 8C 8 =14，应选B .【例5】 设k =1,2, 3,4, 5，则(x 2)5的展开式中xk的系数不可能是( )A.
5、 10 B. 40 C. 50 D. 80【分析】立足于二项展开式的通项公式： T =C；x5丄2(r =0,1,2，5)当 k=1 时，r=4, x1 的系数为 C 5 24 =80 ;当 k=2 时，r=3, x2 的系数为 C 5 -2 3 = 80 ；当k=3时，r=2, x3的系数为c 5 2 2 =40 ；当k=4时，r=1, x4的系数为c5 21 .综上可知应选C.【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式.【例6】 在(1 -X)5 (x)6 (1 X)7 (1 X)8的展开式中，x 3的项的系数为( )D. -21A. 74 B. 121又(1-X
6、)5的展开式中x4系数为c 5 , (1-X)9的展开式中x4系数为c 94 4原展开式中X3项的系数为C5_C9=：121，应选D . (1 )二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项； (3)系数最大的项.【解析】由题意得 +C 2+C 十=2n丄=512n n n n =1030 _5 r二项展开式的通项公式为 Tr八=c ；丄-1) 2丄.x 6 (r =0,1,2,10 )(1 ) I n =10 ,二项展开式共11项二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大5-_C 10 210 !r! (10 _r)!10 !r! (10 r)!第4项系数的绝对值最大所求系数绝对值最大
7、的项为T4 二一15 x 2点评：(1)解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数二者在特殊情况下方为同一 数值.项，必要时可适时转化.1展开式中各二项式系数的和;2展开式中各项系数的和;3a1 -.-a3亠 亠玄佃的值 a 2 -“4亠 亠a 200的值d| “|a2|十200的值展开式中各项系数的和 a0 a1 a2 200：|l，a 200 二 f (1) = 3.f _ f ( _1) =2 a3 亠-亠)82 7八一2 200 =：1( 3 200 - 5 200 ) 一12a1 a2 _
8、a3 - a4- -a 199 a200 f ( _1) - 1200二 5 -1点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根3.二项式展开式的通项公式1【例9】求（x_ ）9的二项展开式中x3的系数.x【解析】展开式的通项为m 9 m 1 mTm 1 =C 9 % _ ()根据题意，有9 _2m =3 ,解得m=3因此，x3 的系数为（_1）3 C3 =（_D3 34 =_84【例10】求（1 2x）7的二项展开式中，第 4项的系数和第4项的二项式系数. 【解析】（1 .2x）7的二项展开式的第4项为3 7 3 3T3 1 心1 -（2x）3所
9、以第4项的二项式系数为 C7 =353第4项的系数为C 7 8 =280【例11】求（低+亠）10的二项展开式的第6项.x【解析】口二丁：十二。!振I亠厂=C； =252 .1 R【例12】二项式（x +）的展开式中常数项的值为 x1【解析】展开式的通项为 J 1.=C；x6（）r =C；x6由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项x的值为C 6 =20 .55 =6 x5依题意，5 r =0，即r =6 .6所以展开式的常数项是T7 =（-1）6c； =210【例14】（2010江西卷理6）（2.x）8展开式中不含x4项的系数的和为（A. -1【答案】B【解析】考查对二项式定理和二
10、项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反采用赋8值法，令x =1得：系数和为1，减去x4项系数C 8 2 0(_1)8 =1即为所求，答案为 0.4.二项式定理在解决整除性问题中的应用【例15】今天是星期一，再过8n天后的那一天是星期几？【解析】8n =(7+=C：7n+Cn7n+C：7n，+Cn1+Cn因为Cn前面各项都是7的倍数，故【例16】91 92除以100的余数是( )【解析】转化为二项式的展开式求解.91上式中只有最后两项不能被 100整除C 90 .1 =92 90 -1 =828192928281除以100的余数为81，所以91 除以100的余数为81.5.信息
11、迁移 ZrM , ,t - 2004 2 2004【例 17】右(1_2x) a0 亠 亠 a2x 亠亠a 2004 x (x 三 R) , (a0 亠 aj 亠(a0 亠 a2)亠亠(a0 亠 a 2004 )= .(用数字作答)【解析】 设 f (x) =(1- a0 a 1x a2x 亠-a 2004 x 24贝V f (0) =a0 , f (1) =a0 亠a、a2 亠亠 a 2004 = 1 .原式= 2004 a0 - (a1 a 2 2004 ) = 2003 a0 f(1) =2004 应填 2004.2【例18】已知函数f (x)2n【证明】要证 f (n) (n N ,且
12、n启3，只要证 -_ ，即证2n 2n +1(n兰3).n +1 2 n +1 n +1n n 0 1 2而 2 =(1 J) =C C Cn n nn 0 1 n _1C n C n C n C n =2n 1，故原命题显然成立.【例 19】求证：2 ：(1 - )n : 3( n _ 2, n 三 N * )n【证明】n1(1 * )n)3 1火 nI n 1孑+亠+ C 、& 3 n nn nn (n .1)( n .2)X- + +n (n 1)叮 、：.2 1X-1 1 1 2+ + + + 2! 3! 4!1 1 1 1+ 2+ + + + n!232心11 n 1口 一(一)_
13、122 1：3=2+ 2 =3-()2显然(1 l)nn-1:(1.丄)n ： 3(n _2, n 三 Nn课堂总结1.在使用通项公式Tr i =C nanbr时，要注意：1通项公式是表示第r+1项，而不是第r项2展开式中第r+1项的二项式系数 C n与第r+1项的系数不同3通项公式中含有 a，b，n，r，Tr 1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素 在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组） 这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r q2.证明组合恒等式常用赋值法3.二项式定理
14、应用通常有以下几类题型：1通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题2系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数3系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和4利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式5在概率等方面的应用课后检测【习题1】（2010全国I卷理5） （1 2, x）3（1 _3,x）5的展开式中x的系数是（B. -2A. -4【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用,及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【答案】B一坂）5【解析】
15、(1 2 . x)3 (1 _3. x)5 =(1 6.x - 12 x 8x. x)(1故（1 2.x）3（1 一3. x）5的展开式中含 X的项为1 c5(-3、x)3-2x，所以x的系数为-2.【习题2】（2x 、x）4的展开式中的系数是（【答案】C【答案】A【解析】设（2x3 厂的展开式中的第r+1项是Tr 1 ：./x二c7（2x3）7 丄7 2 7 - ( -1 )r3(7_)2x121 2 - 146 6C 7( _1)【习题4】（2010陕西卷理x - - （xR）展开式中x3的系数为x10,则实数a等于（-1B. 0. 5【答案】D【解析】/ T1 =Ccra55 _2r x
16、,又令5 -2r =3得r二 10 = a 二 2 .【习题5】若3(x1xx)n的展开式中的常数项为84,则 n=【答案】9r r - r 3n _r【解析】T r i n(X )n -(X ) r 二 Cn X入 9令 3n r=0, 2n=3r2 n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9, r=6时，c - C -84【习题6】已知（xlgX -i）n展开式中，末三项的二项式系数和等于 22,二项式系数最大项为 20000,求x的值【解析】由题意C n C n C n =22 ,n n n2 1 0即 C n C n C 22， n=6 第4项的二项式系数最大,、 1 x=10 或 x=10【习题7】（2010安徽卷理12)x y 6 f( ) 展开式中,.y xx3的系数等于【解析】c：（4）4（$）2Jy x= 15x3，所以x3的系数等于r当一3（7 _r） =0，即r=6时，它为常数项,2
