1、 人教版八年级数学全等三角形解题能力提升 八年级数学全等三角形解题能力提升 1判定全等三角形的方法 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来。 全等三角形的性质 （1）全等三角形中，对应边相等，对应角相等。 （2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。 （3）全等三角形的周长相等，面积相等。 全等三角形的五种判定公理： （1）三边对应相等的两个三角形全等，“边边边”（SSS）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，“边角
2、边”（SAS）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，“角边角”（ASA）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”（AAS）； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，“斜边，直角边”（HL）。 SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边） HL(斜边，直角边) 注意几点：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）以下情况两个三角形不一定全等: 三个角对应相等的两个三角形不一定全等 （AAA）。AAASSA 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等（SSA）。 如图AAA，ABC和ADE中，A=
3、A，1=3，2=4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；又如图SSA，ABC和ABD中，AB=AB，AC=AD，B=B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。AAA 寻找对应元素的规律 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边是对应边 (4)有公共角的，公共角是对应角 (5)有对顶角的，对顶角是对应角 (6)如右图中，两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或
4、最小角)是对应边(或对应角) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。旋转平移翻折 【提示】 一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。 判定全等三角形的思路 判定全等三角形的方法： 一、挖掘“隐含条件”判全等 【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件 1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则ABCDCB吗?说说理由 2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若B=20,CD=5cm，则C=
5、20 ,BE=5cm .说说理由.3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，A=C，若AB=3cm，则CD= 3cm . 说说理由. 二、添条件判全等【提示】：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.4、如图，已知AD平分BAC， 要使ABDACD， 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ；根据“ASA”需要添加条件 BDA=CDA ；根据“AAS”需要添加条件 B=C ；5、已知：BDEF，BCEF，现要证明ABCDEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件 AB=DE；若要以“ASA”为依据，还缺条件 ACB=F；若要以“AAS”为依
6、据，还缺条件 一A=D，并说明理由。三、熟练转化“间接条件”判全等6.如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？解：AE=CF(已知）AEFE=CFEF(等量减等量，差相等)即AF=CE在AFD和CEB中，AFD=CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证) AFDCEB(SAS)7. 如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与ADE全等吗？为什么？解： CAE=BAD(已知) CAE+BAE=BAD+BAE (等量减等量，差相等)即BAC=DAE在ABC和ADE中，BAC=DAE(已证)AC=AE(已知)B=D(已知)ABC ADE(
7、AAS)8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。解: 连接AC BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD(已知)在ABC和ADC中，图3ADCABC(SSS) ABC=ADC(全等三角形的对应角相等) 四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线如图3，AB=AC，1=2求证：AO平分BAC分析：要证AO平分BAC，即证BAO=BCO，要证BAO=BCO，只需证BAO和BCO所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可证明：连结BC因为AB=AC，所以ABCACB因为1=2，所
8、以ABC-1ACB-2 即3=4，所以BO=CO因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC五、条件中没有现成的全等三角形时，通过构造全等三角形来判定图4 例4 已知：如图4，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF证明：过B作BGBC交CF延长线于G，所以BGAC所以G=ACE因为ACBC，CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC因为AC=BC，ACDCBG=90，所以 ACDCBG所以BG=CD=BD因为CBF=GBF=45，BF=BF，所以GBFDBF所以G=BDF所
9、以ADCBDF所以ADCBDF 2 构造全等三角形的主要方法常见的构造三角形全等的方法有以下三种：涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；（1）利用中点（中线）构造全等若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例1：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知
10、识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。【提示】：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（2）利用角平分线构造全等 遇到角平分线，可以自角平分线上的
11、某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例2：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。（3）用“截长补短”法构造全等
12、证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例3：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。 思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化
13、问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 FCEBCE（SAS）， 2=1。 又ADBC， ADC+BCD=180 DCE+CDE=90， 2+3=90，1+4=90， 3=4。 在FDE与ADE中， FDEADE（ASA）， DF=DA， CD=DF+CF，CD=AD+BC。 【提示】：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边
14、、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。 3全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 在证题过程中涉及到的有关基础知识：（1） 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三
15、顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 （2）证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分
16、顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等 （3）证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余
17、，或等腰三角形“三线合一”来证。 3.1全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC. 证明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF
18、，AF=CE.求证：ABCD 分析：要证ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ABFCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF与CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连
19、接CD和CE证：CD=2CE分析： ()折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=18
20、0o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证
21、明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC 3.2应用三角形全等解决实际问题 【思想方法】：把实际问题转化为数学问题，抽象概括出基本的几何图形，并充分利用所学知识构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题. 【例1】 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？ 一位战士的测量方法是
22、:面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.DABFEBC将实际问题转换成数学问题为：已知：在ABC与DEF中，AB=DE，B= E，A= D求证：BC=EF证明：在ABC与DEF中 A=D（已知） AB=DE（已知） B=E（已知）ABCDEF (ASA) BC=EF (全等三角形对应边相等) 【例2】 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你
23、们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”（如图），你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？（假定太阳光线是平行的）太阳光线DAFECB 将实际问题转换成数学问题为：已知：在ABC和DEF中，C= F，B= E，BC=EF 求证：AB=DE ABCED 【例3】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你有办法测量A，B两点的距离吗？有人这样测量：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，
24、DE的长度就是A，B间的距离。ABCDABE 还有其它测量方法吗？F ABADCEF 【例4】 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明EDCABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长判定EDCABC的理由是 ( B )FDCB A、SSS B、ASA C、AAS D、SASODCBADDDDD ADA 【例5】如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中， 要使DC=AB，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ） A、AO=CO O B、BO=DOO C、AC=BD C
25、 C D、AO=CO且BO=DOBBB A BEC 【例6】如图是挂在墙上的一面大镜子，上面有两点A、B。小丽想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直接测量，旁边又没有梯子，只有一根长度比圆的直径稍长点的竹竿和一把卷尺。小丽做了如下操作：在她够的着的圆上找到一点C ，接下去小丽却忘了应该怎么做？你能帮助她完成吗？【例7】如图，要计算这个花瓶的容积，需要测量其内直径. 由于瓶颈较小，无法直接测量，你能想出一种测量方案吗？ C ABDCOABE DD ODCD 【例8】某城市搞亮化工程，如图，在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.已知A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部，如果两盏灯的
26、光线与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼的高度是乙楼的2倍？说说你的看法. 甲乙A B把线段AB延长到C使BC=AB，这个C点如何确定？如果用直尺和圆规画图是很容易找到C点的.现在小亮手中只有圆规，没有直尺，并且也不准用其它东西代替直尺，怎样在AB延长线方向上找一点C，使BC=AB？小亮忙了半天也没有解决，你能帮他想一想，该怎么作？ 4全等三角形难度提升 41巧添辅助线证全等（1）由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边
27、的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线1）截取构全等 如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。如图1-2，AB/CD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段
