1、圆 常考题集 切线的判定选择题1、下列说法正确的是（）A、与圆有公共点的直线是圆的切线B、过三点一定能作一个圆C、垂直于弦的直径一定平分这条弦D、三角形的外心到三边的距离相等2、（2001陕西）给出下列命题：任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、（2010兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）A、2B、C、D、34、（2009乐山）如图，在RtA
2、BC中，C=90，AC=6，BC=8，O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODA=（）A、B、C、D、25、（2007成都）如图，O内切于ABC，切点为D、E、F，若B=50，C=60，连接OE，OF，DE，DF，EDF等于（）A、45B、55C、65D、706、（2006宜昌）如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（）A、130B、100C、50D、657、（2005宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）A、1：5B、2：5C、3：5D、4：58、如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（）A、3B、C、2D、39、如
3、图，在ABC中，已知C=90，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是（）A、B、C、2D、110、如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（）S1=S2；S3=S4；在S1，S2，S3，S4中，S2最小A、B、C、D、11、下列说法正确的是（）A、垂直于半径的直线是圆的切线B、圆的切线只有
4、一条C、圆的切线垂直于圆的半径D、每个三角形都有一个内切圆12、ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆，那么ABC一定是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、钝角三角形13、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A、B、C、D、填空题14、（2008湖州）如图，O的半径为3cm，B为O外一点，OB交O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间为_s时，BP与O相切15、（2009荆门）如图，RtABC中，C=90，AC=6，BC=8则ABC的内切圆半径r=_16、（2009杭
5、州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是_；若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=_17、（2008宿迁）已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是_18、如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有_处19、如图，ABC中，C=90，BC=4，AC=3，O内切于ABC，则阴影部分面积为_解答题20、如图，在单位长度为1的正
6、方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C（1）请完成如下操作：以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：写出点的坐标：C_；D（_）；D的半径=_（结果保留根号）；若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为_；（结果保留）若E（7，0），试判断直线EC与D的位置关系，并说明你的理由21、（2006海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）若A点的坐标为（0，4），D点的
7、坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；（3）在（2）的条件下，求证直线CD是M的切线22、（2010黔南州）如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且D=BAC（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE=，求AD的长23、（2010密云县）如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求sinE的值24、（2010包头）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与A
8、B的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值25、（2010锦州）如图，AB为O的直径，D是弧BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于F（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=3，O的半径为5求BF的长26、（2010毕节地区）如图，已知CD是ABC中AB边上的高，以CD为直径的O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点求证：GE是O的切线27、（2010安顺）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE
9、交AB的延长线于点E，连接AD、BD（1）求证：ADB=E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由（3）当AB=5，BC=6时，求O的半径28、（2009浙江）如图，AB是O的的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦ADOC，弦DFAB于点G（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是O的切线；（3）若sinBAD=，O的半径为5，求DF的长29、（2009漳州）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC=CD，D=30（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为3，求的长（结果保留）30、（2009孝感）如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是圆
10、外一点，PA切O于点A，且PA=PB（1）求证：PB是O的切线；（2）已知PA=，BC=1，求O的半径答案与评分标准选择题1、下列说法正确的是（）A、与圆有公共点的直线是圆的切线B、过三点一定能作一个圆C、垂直于弦的直径一定平分这条弦D、三角形的外心到三边的距离相等考点：垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定。分析：根据相关概念和定理判断注意：圆的切线和圆只有一个公共点即切点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等解答：解：A、应为与圆只有一个交点的直线是圆的切线，错误；B、过不在同一直线上的三点才能作一个圆，错误；C、正确；D、到三角形三边距离相等的是三角形的内心，故错误；
11、故选C点评：本题考查了对切线的定义，垂径定理及三角形的外心等概念的正确理解2、（2001陕西）给出下列命题：任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形，其中正确命题共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心。分析：根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形
12、可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个故正确的命题有2个解答：解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，是对的；反过来说圆的内接三角形可以无数多个，所以是错的；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，是对的；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，是错误的所以正确的命题有2个故选B点评：考查三角形外心与内心的概念，属于概念
13、题3、（2010兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）A、2B、C、D、3考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。分析：欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解解答：解：过O点作ODAB，则OD=1；O是ABC的内心，OAD=30；RtOAD中，OAD=30，OD=1，AD=ODcot30=，AB=2AD=2故选B点评：解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数4、（2009乐山）如图
14、，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tanODA=（）A、B、C、D、2考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义。分析：设O与AB相切于点E，连接OE，则OEAB根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理可以求得AE=4根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=5，DE=1根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tanODA=2解答：解：设O与AB相切于点E，连接OE，则OEABC=90，AC=6，BC=8，AB=10，AE=4O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，AD=
15、5，则DE=1，r=2tanODA=2故选D点评：此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半5、（2007成都）如图，O内切于ABC，切点为D、E、F，若B=50，C=60，连接OE，OF，DE，DF，EDF等于（）A、45B、55C、65D、70考点：三角形的内切圆与内心。分析：首先根据三角形的内角和定理求得A=70再根据切线的性质定理和四边形的内角和定理，得EOF=110度再根据圆周角定理，得EDF=55解答：解：B=50，C=60，A=70，EOF=110度，EDF=EOF=5
16、5故选B点评：此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和三角形的内角和定理、四边形的内角和定理6、（2006宜昌）如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（）A、130B、100C、50D、65考点：三角形的内切圆与内心。分析：由三角形内切定义可知：OB、OC是ABC、ACB的角平分线，利用三角形内角和定理和角平分线的性质可得OBC+OCB=（ABC+ACB），把对应数值代入即可求得BOC的值解答：解：OB、OC是ABC、ACB的角平分线，OBC+OCB=（ABC+ACB）=（18080）=50，BOC=18050=130故选A点评：本题通过三角形内切圆，考查切线的性质7、
17、（2005宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）A、1：5B、2：5C、3：5D、4：5考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心。分析：若设该直角三角形的内切圆的半径为r，根据内切圆的性质，圆心与两直角边的切点及直角顶点所组成的四边形是正方形，所以3r+4r=5，解得r=1，即内切圆的半径为1；直径所对的圆周角是直角，所以直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边上，且为斜边的中点，则外接圆的半径为，所以内切圆半径与外接圆半径的比为1：=2：5解答：解：设该直角三角形的内切圆的半径为r，边长分别为3，4，5，3r+4r=5，解得r=1，即内切圆的半径为1；
18、外接圆的半径为，内切圆半径与外接圆半径的比为1：=2：5故选B点评：本题考查了直角三角形的内切圆圆心与外接圆圆心的概念8、如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（）A、3B、C、2D、3考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质。分析：构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解解答：解：过O点作ODAB，则AD=3，因为OAD=30，所以OD=tan30AD=故选B点评：本题考查了三角形的内切圆与内心的计算解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三
19、角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角9、如图，在ABC中，已知C=90，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是（）A、B、C、2D、1考点：三角形的内切圆与内心。分析：RtABC中，由勾股定理可求得斜边AB的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式进行计算即可解答：解：RtABC中，BC=6，AB=8；由勾股定理得：AB=10；设O的半径为R，则：R=2故选C点评：本题需掌握的内容是直角三角形内切圆半径公式：r=（a、b为直角边，c为斜边）；此公式可由切线长定理推导出10、如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：
20、如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（）S1=S2；S3=S4；在S1，S2，S3，S4中，S2最小A、B、C、D、考点：三角形的内切圆与内心。专题：综合题。分析：分别计算结果再比较大小具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长
21、为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（）；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1，所以S4=（）；根据以上计算的值进行比较即可判断解答：解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=1，S3=（）；图4中，设三角形的内切圆半径为R，则22R=，解得R=1，S4=（）；根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确
22、的是故选B点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广11、下列说法正确的是（）A、垂直于半径的直线是圆的切线B、圆的切线只有一条C、圆的切线垂直于圆的半径D、每个三角形都有一个内切圆考点：三角形的内切圆与内心；切线的判定与性质。分析：由切线的概念知，垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，圆的半径有无数条，故切线也有无数条，所以A，B，C都错误；每个三角形都有一个内切圆，故D正确解答：解：垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，圆的半径有无数条，故切线也有无数条每个三角形都有一个内切圆，所以只有D正确故选D点评：本题考查了切线的概念熟记切线的概念
23、并灵活运用是解题的关键12、ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆，那么ABC一定是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、钝角三角形考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心。分析：根据三角形内心和外心的概念，即可进行准确的判断解答：解：因为三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以ABC的内切圆和外接圆是两个同心圆时，ABC一定是等边三角形故选B点评：考查三角形内心和外心的概念，属于基础题13、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A、B、C、D、考点：三角形的内切圆与内心。分析：连接内心和直角三
24、角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是r2，则它们的比是解答：解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又r=，a+b=2r+c，直角三角形的面积是r（r+c）又内切圆的面积是r2，它们的比是故选B点评：此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键填空题14、（2008湖州）如图，O的半径为3cm，B为O外一点，OB交O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，
25、以cm/s的速度在O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点P运动的时间为1或5s时，BP与O相切考点：切线的判定；切线的性质；弧长的计算。专题：动点型。分析：根据切线的判定与性质进行分析即可若BP与O相切，则OPB=90，又因为OB=2OP，可得B=30，则BOP=60；根据弧长公式求得长，除以速度，即可求得时间解答：解：连接OP；当OPPB时，BP与O相切，AB=OA，OA=OP，OB=2OP，OPB=90；B=30；O=60；OA=3cm，=，圆的周长为：6，点P运动的距离为或6=5；当t=1或5时，有BP与O相切点评：本题考查了切线的判定与性质及弧长公式的运用15、（2009荆门）如
26、图，RtABC中，C=90，AC=6，BC=8则ABC的内切圆半径r=2考点：三角形的内切圆与内心。分析：设AB、BC、AC与O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BCAB），由此可求出r的长解答：解：如图；在RtABC，C=90，AC=8，BC=6；根据勾股定理AB=10；四边形OECF中，OE=OF，OEC=OFC=C=90；四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；CE=CF=（AC+BCAB）；即：r=（6+810）=2点评：此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法16、（2009杭
27、州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是：2；若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=21考点：三角形的内切圆与内心。专题：综合题。分析：根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y
28、，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21解答：解：如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=由此可得，半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a=：2；因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10连接EB、AE，OI、OJ，可得OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2；在直角三角形AEB中，可以证得ADEBDEABE，于是得到ED2=ADBD，即102=xy解式和式，得x+y=21，即半圆的直径AB=21点评：
