1、圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合 1如图，BC是A的直径，DBE的各个顶点均在A上，BFDE于点F.求证：BDBEBCBF.2如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于点E. (1)求证：点E是边BC的中点； (2)求证：BC2BDBA； (3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC是等腰直角三角形解：(1)连结OD，DE为切线，EDCODC90.ACB90，ECDOCD90.又ODOC，ODCOCD，EDCECD，EDEC.AC为直径，ADC90，BDEEDC90，BECD90，B
2、BDE，EDEB，EBEC，即点E为边BC的中点(2)AC为直径，ADCACB90.又BB，ABCCBD，ABBCBCBD，BC2BDBA(3)当四边形ODEC为正方形时，OCD45.AC为直径，ADC90，CAD90OCD904545，RtABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3如图，在ABC中，以AC为直径作O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DEAB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是O的切线；(2)已知CF5，cosA25，求BE的长解：(1)连结OD.CDDB，COOA，OD是ABC的中位线，ODAB，AB2OD.DEAB，DEOD，即
3、ODEF，直线EF是O的切线(2)ODAB，CODA，cosCODcosA25.在RtDOF中，ODF90，cosFODODOF25.设O的半径为r，则rr525，解得r103，AB2ODAC203.在RtAEF中，AEF90，cosAAEAFAE520325，AE143，BEABAE20314324(2015资阳)如图，在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线，且O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE. (1)求证：DE是O的切线； (2)连结AE，若C45，求sinCAE的值 解：(1)连结OD，BD，ODOB，ODBOBD.AB是直径，ADB90，CDB90.E为BC的中点，DEB
4、E，EDBEBD，ODBEDBOBDEBD，即EDOEBO.BC是以AB为直径的O的切线，ABBC，EBO90，ODE90，DE是O的切线(2)过点E作EFCD于点F，设EFx，C45，CEF，ABC都是等腰直角三角形，CFEFx，BECE2x，ABBC22x.在RtABE中，AEAB2BE210x，sinCAEEFAE10105如图，ABC内接于O，直径BD交AC于点E，过点O作FGAB，交AC于点F，交AB于点H，交O于点G. (1)求证：OFDEOE2OH； (2)若O的半径为12，且OEOFOD236，求阴影部分的面积(结果保留根号)解：(1)BD是直径，DAB90.FGAB，DAFO
5、，FOEADE，FOADOEDE，即OFDEOEAD.O是BD的中点，DAOH，AD2OH，OFDEOE2OH(2)O的半径为12，且OEOFOD236，OE4，ED8，OF6，OH6.在RtOBH中，OB2OH，OBH30，BOH60，BHBOsin60123263，S阴影S扇形GOBSOHB601223601266324183类型三：圆与二次函数的综合 6如图，在平面直角坐标系中，已知A(4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D. (1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)设平行于x轴的直线交抛物线
6、于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由解：(1)y12x232x2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O(32，0)，OC52，OO32.CD为圆O的切线，OCCD，OCODCO90.又COOOCO90，COODCO，OCOCDO，OOOCOCOD，3222OD，OD83，点D的坐标为(83，0)(3)存在抛物线的对称轴为直线x32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(32r，r)或F(32r，r)，而点E在抛物线y12x232x2上，r12(32|r|)232(32|r|)2，r11292，r21292(舍去)故存
7、在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为12927如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为.设M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式； (2)设DBC，CBE，求sin()的值； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，可知C(0，3)，b2a1，抛物线的解析式为yax22ax3(a0)过点M作MNy轴于点N，连结CM，则MN1，CM
8、5，CN2，于是m1.同理，可求得B(3，0)，a322a330，解得a1.抛物线的解析式为yx22x3(2)由(1)得，A(1，0)，E(1，4)，D(0，1)，BCE为直角三角形，BC32，CE2，OBOD313，BCCE3223，OBODBCCE，即OBBCODCE，RtBODRtBCE，得CBEOBD，因此sin()sin(DBCOBD)sinOBCCOBC22(3)显然RtCOARtBCE，此时点O(0，0)过点A作AP2AC交y轴的正半轴于点P2，由RtCAP2RtBCE，得P2(0，13)过点C作CP3AC交x轴的正半轴于点P3，由RtP3CARtBCE，得P3(9，0)故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与BCE相似- 3 -
