1、2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)例3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）过Q作x轴
2、的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长3点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角
3、形，列关于t的方程就可以求解了满分解答(1) 因为抛物线经过原点，所以 解得，（舍去）因此所以点B的坐标为（2，4）(2) 如图4，设OP的长为t，那么PE2t，EC2t，点C的坐标为(3t, 2t)当点C落在抛物线上时，解得如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合此时3t10解得如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此时解得如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此时解得 图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值如图5，当P、Q重合时，两圆内切
4、，如图6，当两圆外切时， 图4 图5 图6例4 如图1，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？图1动感体验 请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB和ACB可以成为直角，CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三
5、边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围2分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC的面积S的问题，转化为S2的问题AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况满分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC为斜边，则，即，此方程无实根若AB为斜边，则，解得，满足若BC为斜边，则，解得，满足因此当或时，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，设，ABC的面积为S，则如图2，若点D在线段AB上，则移项，得两边平方，得整理，得两边平方，得整理，得所以（）当时（满足），取最大值，从而S取最大值 图2 图3如图3，若点D在线段MA上，则同理可得，（）易知此时综合得，ABC的最大面积为考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程整理，得所以因此6
