1、 全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。特征：形状相同、大小相等、完全重合。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等。2、全等三角形的表示：“全等”用“”表示，“”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角3、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。4、全等三角形的判定（1）边边
2、边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）（4）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）5、证明两个三角形全等的基本思路：二、角的平分线1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应
3、角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。（一） 三角形全等的判定一（SSS）1如图，ABAD，CBCDABC与ADC全等吗？为什么？如图，C是AB的中点，ADCE，CDBE求证ACDCBE如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求证A=DADCB已知，如图，AB=AD，DC=CB求证：B=D.如图，ADBC，ABDC，DEBF. 求证：BEDF.（二） 三角形
4、全等的判定二（SAS）1如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD求证DCAB2如图，ABC，AD，分别是ABC，的对应边上的中线，AD与有什么关系？证明你的结论ACEDB3如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论4已知：如图，ADBC，AD=CB，求证：ADCCBAABCD5已知：如图ADBC，AD=CB，AE=CF。求证：AFDCEBAEBCFD2ACBHED16已知，如图，AB=AC，AD=AE，1=2。求证：ABDACE7已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，ABDE，且AB=DE，BE=CF. 求证：ACDF8
5、已知：如图，AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BECF9如图，在ABC中，分别延长中线BE、CD至F、H，使EFBE，DHCD，连结AF、AH求证：（1）AFAH；（2）点A、F、H三点在同一直线上；（3）HFBC.10如图，在ABC中，ACBC，ACBC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CFCD. 求证：BFAD，BFAD.11证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）12证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形
6、全等13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；（2）AEBF.ABCDEF14已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图，ABD和ACE是ABC外两个等腰直角三角形，BAD=CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.（三）（四） 三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）1如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，ABED，ACFD求证AB=DE，AC=DF2如图，ACB=90，A
7、C=BC，BECE，ADCE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm求BE的长3已知，D是ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FCAB.ADBCFE求证：AE=CE.4已知：如图，四边形ABCD中，ABCD，ADBC求证：ABDCDB.5如图，在ABC中，ACBC，CEAB于E，AF平分CAB交CE于点F，过F作FDBC交AB于点D. 求证：ACAD.6如图，ADBC，ABDC，MNPQ. 求证：DEBE.7如图, 在ABC中，A90，BD平分B，DEBC于E，且BEEC.（1）求ABC与C的度数；（2）求证：BC2AB.8如图，四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，且
8、AE、BE分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE；BCEAD（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.A B C E D F9已知，如图RtABC，BAC=90，ADBC，D为垂足，ABD的平分线交AD于E点，EFAC，求证：AE=EF.10ABC是等腰直角三角形 ，BAC=90，AB=AC.（1）若D为BC的中点，过D作DMDN分别交AB、AC于M、N，求证：DMDN.（2）若DMDN分别和BA、AC延长线交于M、N. 问DM和DN有何数量关系？11已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CBCA交x轴于B.（1）求证：CACB；（2）问OBOA是
9、否为定值，是定值并求其定值.12已知A（4，0），B（0，4），C（0，4），过O作OMON分别交AB、AC于M、N两点。（1）求证：OMON；（2）连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。（五） 三角形全等的判定五（HL）1如图，ABC中，ABAC，AD是高求证：(1)BD=CD；(2)BADCAD2如图，ACCB，DBCB，ABDC求证：ABDACDADECBF3已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：（1）；（2）4如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求证：EB=FC5如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFA
10、C，垂足分别是E，F，BE=CF求证：AD是ABC的角平分线（六） 角的平分线的性质1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC求证1=22如图，OC是AOB的平分线，P是OC上的一点，PDOA交OA于D，PEOB交OB于EF是OC上的另一点，连接DF，EF求证DF=EF3如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BE=CF求证：AD是ABC的角平分线4如图，在ABC中，A90，BD平分B，DEBC于E，且BEEC.（1）求ABC与C的度数；（2）求证：BC2AB.（七）倍长中线法与截长补短法1在ABC中，AB=5，AC=3，AD
11、为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（ ）.A.14 B.35 C.23 D.0AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、CD相交于O点，求BOC的度数.6ABC中，D是BC中点，DEDF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？.7已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，1=2， 求证：BC=AB+AD（分别用截长法和补短法各证一次）A21CBD8已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，BD90（1）如果BEDFEF，求证：EAF45；FA平分DFE（2）如果EAF45，求证：BEDFEFFA平分DFE（3）如果点F在DC的延长线上，
12、点E在CB的延长线上，且DFBEEF，求证：EAF45；FA平分DFE（画图并证明）（八） 全等三角形检测一、选择题：1.在ABC、DEF中如果C=D，B=E，要使ABCFED，还需要的条件是（ ）A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.A=F2.如图：ABCD，ADBC，AC、BD交于点O，AEBD于E，CFBD于F点，那么图中全等三角形共有（ ）A.5对 B.6对 C.7对 D.8对3.如图，D在AB上，E在AC上且B=C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（ ）A.AD=AE B.AEB=ADC C.BE=CD D.AB=AC4.如图：某同学把一块三角形玻璃打
13、碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带去 B.带去C.带去 D.带和去5.下列说法中，正确的个数是（ ）两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；有两边相等的直角三角形全等；腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.在ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（ ）.A.14 B.35 C.23 D.0DC D.BCDC二填空题：13.AD是ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，
14、则AD的取值范围是 .14.如图ABC中，A=500，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，BCD=CBE，BE、CD相交于O点，则BOC的度数为 .F15.已知：如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且1=2=3，要使得ABCEDC，需要添加的一个条件是 _(只需写出一个满足的条件)16.已知ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则ABC的度数等于 .17.如图，1=2=25，3=4，5=6，则7= . 18.有一张等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度.三解答题：19如图，已知：AB=AC，AD=AE，BAC=DAE求证：ABDACE20如图，ABAD，BCDE，12.求证：（1）ACAE；（2）CAECDE.21已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BEAC，延长BE交AC于F.求证：AFEF22如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=（ABAD）（1）求证：BC=DC；（2）求ABCADC的度数23如图，ABE和ACF分别是以ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF与CE相交于O求证：BF=EC求EOB的度数求证：OA平分EOF15
