1、几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2015年杭州市中考第22题如图1，在ABC中，BCAC，ACB90，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若，AE2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P问：线段CP可能是CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是CFG的高，也可以是CFG的中线思路点拨1CFG与EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况2高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一
2、个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来满分解答（1）由ACB90，DEAC，得DE/BC所以所以解得EC6（2）CFG与EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：如图2，当12时，由于2与3互余，所以2与3也互余因此CPF90所以CP是CFG的高如图3，当13时，PFPC又因为1与4互余，3与2互余，所以42所以PCPG所以PFPCPG所以CP是CFG的中线综合、，当CD是ACB的平分线时，CP既是CFG的高，也是中线（如图4）图2 图 3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在
3、ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE/BC交AC于E，DF/AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形如图6，当CD平分ACB时，四边形CEDF是菱形图5 图6如图7，当ACB90，四边形CEDF是矩形如图8，当ACB90，CD平分ACB时，四边形CEDF是正方形图7 图8例2 2014年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM/AB交AF于M，作PN/CD交DE于N（1）MPN_；求证：PMPN3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON求证：OMON（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分MON，判断四边形OMGN是否为特殊
4、的四边形，并说明理由图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PMPN等于正六边形的3条边长AOMBOP，COPDON，所以OMOPON还可以体验到，MOG与NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形思路点拨1第（1）题的思路是，把PMPN转化到同一条直线上2第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形3第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形如果你直觉MOG与NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明MON120满分解答（1）MPN60如图4，延长FA、ED交直线BC与M
5、、N，那么ABM、MPM、DCN、EPN都是等边三角形所以PMPNMNMBBCCN3a图4 图5 图6（2）如图5，联结OP由（1）知，AMBP，DNCP由AMBP，OAMOBP60，OAOB，得AOMBOP所以OMOP同理COPDON，得ONOP所以OMON（3）四边形OMGN是菱形说理如下：由（2）知，AOMBOP，DONCOP（如图5）所以AOMDONBOPCOP60所以MON120如图6，当OG平分MON时，MOGNOG60又因为AOFFOEEOD60，于是可得AOMFOGEON于是可得AOMFOGEON所以OMOGON所以MOG与NOG是两个全等的等边三角形所以四边形OMGN的四条边
6、都相等，四边形OMGN是菱形考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为MOG与NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小OG的最大值等于OA，此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为，菱形的最小面积为例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数yx2bxc的图像经过点P(0, 1)与Q(2, 3)（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD
7、恰为正方形求正方形的ABCD的面积；联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：PADPEA动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，PAE与PDA总保持相等，PAD与PEA保持相似请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，PAE与PDA总保持相等，PAD与PEA保持相似思路点拨1数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，ADAB2通过计算PAE与DPO的正切值，得到PAEDPOPDA，从而证明PADPEA满分解答（1）将点P(0, 1)、Q(2, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以该二次函数的解析式为yx21（2）如图1，设点A的坐标为(x, x21)，当四边形ABCD恰为正方形时，ADAB此时yA2xA解方程x212x，得所以点A的横坐标为因此正方形ABCD的面积等于设OP与AB交于点F，那么所以又因为，所以PAEPDA又因为P公用，所以PADPEA图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论PADPEA证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, x21)，那么PFOPOF1(x21)x2所以又因为，所以PAEPDA因此PADPEA
