1、 2013年9月221. 二次根式（1）教学内容： 二次根式的概念及其运用教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用（a0）的意义解答具体题目 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键：1重点：形如（a0）的式子叫做二次根式的概念； 2难点与关键：利用“（a0）”解决具体问题 教学过程：一、回顾当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根当a是负数时，没有意义二、概括：（a0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a0）是一个非负数，它的平方等于a即有： （1）0（a0）； （2）=a（a0）形如（a0
2、）的式子叫做二次根式注意：在二次根式中，字母a必须满足a0，即被开方数必须是非负数三、例题讲解例题：x是怎样的实数时，二次根式有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数解：被开方数x-10，即x1所以，当x1时，二次根式有意义思考：等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a0时，； 当a0时，这是二次根式的又一重要性质如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的例如： =2x（x0）； 四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.（1）； （2）； （3）； （4）
3、 五、 拓展例：当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的0和中的x+10 解：依题意，得 由得：x- 由得：x-1 当x-且x-1时，+在实数范围内有意义例：(1)已知y=+5，求的值(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值(答案:)六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数七、布置作业：教材P4：1、2八、反思及感想：22.1 二次根式（2）教学内容：1（a0）是一个非负数； 2（）2=a（a0）教学目标：1、
4、理解（a0）是非负数和（）2=a（a0），并利用它们进行计算和化简 2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a0）；最后运用结论严谨解题教学重难点关键：1重点：（a0）是一个非负数；（）2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a0） 教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1什么叫二次根式？ 2当a0时，叫什么？当a0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20所以上面的4
5、题都可以运用（）2=a（a0）的重要结论解题 解：（1）因为x0，所以x+10,（）2=x+1 （2）a20，（）2=a2（3）a2+2a+1=（a+1）2 , 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 , 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3六、归纳小结：本节课应掌握： 1（a0）是一个非负数； 2（）2=a（a0）;反之:a=（）2（a0）七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：22.1
6、二次根式（3）教学内容 a（a0）教学目标：1、理解=a（a0）并利用它进行计算和化简 2、 通过具体数据的解答，探究=a（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键：1重点：a（a0） 2难点：探究结论 3关键：讲清a0时，a才成立教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1形如（a0）的式子叫做二次根式； 2（a0）是一个非负数； 3()2a（a0） 那么，我们猜想当a0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题 二、探究新知：（学生活动）填空： =_；=_；=_； =_；=_；=_ （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2；=0.01；=；
7、=；=0；=因此，一般地：=a（a0）三、例题讲解：例1 化简：（1） （2） （3） （4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a0）去化简解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3四、巩固练习：（见小黑板）五、应用拓展例2 填空：当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？ 分析：=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a0时，=，那么-a0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=a，而a要大
8、于a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa，a0综上，a2，化简-六、归纳小结：本课掌握：=a（a0）及运用，同时理解当a0时，a的应用拓展七、布置作业:1先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：注意根式有意义的隐含条件）3. 若-3x2时，试化简x-2+。八、反思及感想：222 二次根式的乘除（1）教学内容：（a0，b0），反之=（a0，b0）及其
9、运用教学目标：1、理解（a0，b0），=（a0，b0），并利用它们进行计算和化简 2、由具体数据，发现规律，导出（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=（a0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键 1、重点：（a0，b0），=（a0，b0）及它们的运用2、难点：发现规律，导出（a0，b0）3、关键：要讲清（a0,b、0）,并验证你的结论七、反思及感想：222 二次根式的乘除（2）教学内容：=（a0，b0），反过来=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标;1、理解=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它们进行运算 2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除
10、法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键 1重点：理解=（a0，b0），=（a0，b0）及用它们进行计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程; 一、设疑自探解疑合探 自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：1填空（1）=_，=_； （2）=_，=_； （3）=_，=_； （4）=_，=_规律：_； _； _； _ 2利用计算器计算填空:（1）=_， （2）=_， （3）=_， （4）=_ 规律：_； _； _； _。每组推荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评），根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除
11、法规定：=（a0，b0），反过来=（a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 合探1计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b0）便可直接得出答案 合探2化简：（1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的二、应用拓展 已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-x0且x-60，即60）和=（a0，b0）及其运用四、作业：（写在小黑板上）(一)、选择题:1计算的结果是（ ）A ； B ； C ； D2阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那
12、么，化简的结果是（ ） A2 B6 C D(二)、填空题 1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_(三)、综合提高题 计算 （1）（-）（m0，n0） （2）-3（） （a0）五、反思及感想：22.2 二次根式的乘除(3)教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键：1重点：最简二次根式的运用 2难点关
13、键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程 一、设疑自探解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1），（2），（3） 老师点评：=，=，= 自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式） 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) ; (2) ; (3) 合探2如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 AB=6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm
14、二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号
15、内得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B= C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- ； B- ； C- ； D-（二）、填空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_（三）、综合提高题 1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1） 2若x、y为实数，且y=，求的值六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(1)教学内容 ： 二次根式的加减教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法重难点关键：1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过
16、程： 一、设疑自探解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式（1）2+3 ；（2）2-3+5 ；（3）+2+3 ；（4）3-2+ 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3+=3+2=5 和 3+=3+3=6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 合探1计算：（1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 合探2计算（1）3-9+3 （2）（+）+（-）二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
17、三、应用拓展 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个
18、 C1个 D0个 （二）、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ （三）、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(2)教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程：一、设疑自探解疑合探 上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次
19、根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固自探1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值 解：设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米 自探2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+732.24+713.7（m）
