1、锐角三角函数难题一、选择题（共12小题）1（2011怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A0.5BC1D2（2009石景山区一模）已知：如图，在ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，则BC边上的高AE的长为（）A4.5B6C8D93（2013金华模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm24（2010攀枝花）如图所示，已知AD是等腰ABC底边上的高，且tanB=，AC上有一点E，满足AE：CE=
2、2：3，则tanADE的值是（）ABCD5（2009河池）如图，在RtABC中，A=90，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FEBE，则CEF的面积是（）A16B18C6D76（2010凉山州）已知在ABC中，C=90且ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当B是最小的内角时，n的取值范围是（）ABCD7（2008资阳）如图，已知RtABCRtDEC，E=30，D为AB的中点，AC=1，若DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与RtABC的直角边BC相交于M，N则当DMN为等边三角形时，AM的值为（）ABCD18（2010武汉）如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为
3、6，ACB的平分线交O于D，则CD长为（）A7BCD99（2008枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）AcmB6cmC8cmD10cm10（2007宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A24mB22mC20mD18m11
4、（2006潍坊）计算：tan60+2sin452cos30的结果是（）A2BCD112（2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（）ABCD二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13（2009番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为_（精确到0.1 m）14（2010浦东新区二模）已知在ABC中，AB=AC=10，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G之间的距离等于_15（2011潍城区模拟）如图，在33
5、的正方形网格中标出了1和2则1+2=_16（2011如东县模拟）在网格中，ABC如图放置，则sinB的值为_17（2012利辛县二模）根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的_倍（结果保留两个有效数字）18（2010罗湖区模拟）如图，在正方形网格中，AO
6、B的正切值是_19（2011南汇区模拟）平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，B=60，AE为BC边上的高，将ABE沿AE所在直线翻折后得AFE，那么AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_20（2011莆田）如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为_21（2009金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则tan的值等于_22（2010绍兴）水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部若要使带子全部包住管道且不重叠
7、（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）若带子宽度为1，水管直径为2，则的余弦值为_23（2009乐山）如图，AOB=30，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，则：（1）S1=_；（2）通过计算可得S2009=_24（2010鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则
8、电线杆的高度约为_m（结果保留两位有效数字，1.41，1.73）三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）25（2014佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题等等（1）如图，若B1B=30米，B1=22，ABC=30，求AC（精确到1）；（参考数据：sin220.37，cos220.92，tan220.40，1.73）（2）如图2，若ABC=30，B1B=AB，计
9、算tan15的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5的值（注：若出现双重根式，则无需化简）26（2014连云港）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验如图，表盘是ABC，其中AB=AC，BAC=120，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（2020）cm（1）求AB的长；（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说
10、明理由27（2013济宁三模）计算：28（2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）29（2013犍为县二模）由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45，从A沿倾斜角为30的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60，求山高CD30（2013自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图）
11、，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60，且与A相距km的C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由【考点训练】锐角三角函数-2参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1（2011怀柔区二模）如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A0.5BC1D考点：解直角三角形；矩形的性质菁优网版权
12、所有专题：综合题分析：过F作FGAC于G，然后连接AF，根据ACF和ABC底和高的比例可得出ACF的面积，然后根据SACF=ACFG可求出FG的长，继而得出了答案解答：解：过F作FGAC于G，连接AF，可得：ACF和ABC底之比为1：3；高之比为1：1；ACF和ABC的面积之比为1：3，又AB=2，BC=3，SABC=3，SACF=1，又SACF=ACFG，FG=故选D点评：本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出AFC的面积2（2009石景山区一模）已知：如图，在ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=1
13、0，则BC边上的高AE的长为（）A4.5B6C8D9考点：解直角三角形菁优网版权所有专题：计算题分析：作DFBC于点F构造比例线段，然后结合三角函数的定义解答解答：解：作DFBC于点F，则DFAEDF：AE=BD：BA=BD：（AD+BD）=2：3CD=10，sinBCD=DF：CD=3：5，DF=6，AE=DF=9故选D点评：本题通过作出了辅助线，得到DFAE，利用等比例线段的性质和锐角三角函数的概念求解的3（2013金华模拟）如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2考点：解直角三角形的应用菁优网版权所有分析：由题可知A
14、BC是一个顶角为45的等腰三角形，即A=45，AC=AB，过C作CDAB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出ABC面积解答：解：如图，由题可知ABC是一个顶角为45的等腰三角形，即A=45，AC=AB作CDAB，垂足为D，则CD=1sinA=，=AB，SABC=ABCD=，折叠后重叠部分的面积为cm2故选D点评：此题考查了正弦的概念和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中4（2010攀枝花）如图所示，已知AD是等腰ABC底边上的高，且tanB=，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tanADE的值是（）ABCD考点：解直角三角形菁优网版权所有
15、专题：压轴题分析：过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3atanC=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tanADE的值解答：解：过E点作CD的平行线交AD于F如图：AD是等腰ABC底边上的高，tanB=，EFAD，tanC=设AE=2a，AE：CE=2：3，CE=3a，AC=5atanC=，sinC=，cosC=在直角ADC中，AD=ACsinC=5a=3a在直角AFE中，AF=AEsinAEF=AEsinC=2a=EF=AEcosAEF=AEcosC=2a=在直角DFE中，tanADE=故选B点评：考查等腰三角形的性质和三角函数的性质5（2009河池）如图，在R
16、tABC中，A=90，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FEBE，则CEF的面积是（）A16B18C6D7考点：解直角三角形菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：过点E作底边BC上的高ED，由BCE的面积，可求ED的长；在BEF中，根据三角形面积求法，可求BF的长，进而求出CF的长再根据SCEF=FCED求解即可解答：解：过点E作EDBC交BC于点D设EF的长为x，在RtABC中，A=90，AB=AC=8，点E为AC的中点，BC=16，BE=，SBCE=SABC=ABAC=96，SBCE=BCED，ED=在BEF中，SBEF=BEEF=BFED，即x=，解得：x=，BF=
17、，CF=BCBF=，SCEF=CFED=16故选A点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力6（2010凉山州）已知在ABC中，C=90且ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当B是最小的内角时，n的取值范围是（）ABCD考点：锐角三角函数的增减性菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45再根据sin45=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析解答：解：根据题意，知0B45又sin45=，0n故选A点评：此题综合运用了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律7（2008资阳）如
18、图，已知RtABCRtDEC，E=30，D为AB的中点，AC=1，若DEC绕点D顺时针旋转，使ED，CD分别与RtABC的直角边BC相交于M，N则当DMN为等边三角形时，AM的值为（）ABCD1考点：解直角三角形；全等三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：要求AM的长，可以考虑在直角ACM中利用勾股定理求解，这样就转化为求CM的长解答：解：在RtABC中，E=30，D为AB的中点，则BCD中，BC=，CDB=120，CD=BD，过点D作DPBC于P点，则PC=，DP=PCtan60=在RtDMP中，MP=DPtan30=，CM=PCMP=在直角ACM中，CAM=30AM=2CM=故选B点
19、评：解决本题的关键是能够正确理解题意，正确作出旋转后的图形，把求线段长的问题转化为三角函数或勾股定理的内容8（2010武汉）如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交O于D，则CD长为（）A7BCD9考点：解直角三角形；全等三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：作DFCA，交CA的延长线于点F，作DGCB于点G，连接DA，DB由CD平分ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明AFDBGD，CDFCDG，得出CF=7，又CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7解答：解：作DFCA，垂足F在CA的延长线上，作DGCB于点
20、G，连接DA，DBCD平分ACB，ACD=BCDDF=DG，弧AD=弧BD，DA=DBAFD=BGD=90，AFDBGD，AF=BG易证CDFCDG，CF=CGAC=6，BC=8，AF=1，（也可以：设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8x=6+x，解x=1）CF=7，CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）CD=7故选B点评：本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用此题是一个大综合题，难度较大9（2008枣庄）如图，两个高度相等且底面直径之比为1：2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯若把甲杯中的液体全部倒入乙
21、杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）AcmB6cmC8cmD10cm考点：解直角三角形的应用；圆柱的计算菁优网版权所有专题：压轴题分析：首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度在直角三角形中，求得直角边为4cm，斜边是8cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离解答：解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积设乙杯中水深为x，则1216=48x，解得x=4在直角ABP中，已知AP=4cm，AB=8cm，BP=12cm根据三角形的面积公式可知直角ABP斜边上的高是6cm，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是
22、1664=6（cm）故选B点评：本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度10（2007宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A24mB22mC20mD18m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有专题：压轴题分析：过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平
23、地上的BD，斜坡上的DE然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可解答：解：过D作DFCD，交AE于点F，过F作FGAB，垂足为G由题意得： （2分）DF=DE1.62=14.4（m） （1分）GF=BD=CD=6m （1分）又 （2分）AG=1.66=9.6（m） （1分）AB=14.4+9.6=24（m） （1分）答：铁塔的高度为24m故选A点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）11（2006潍坊）计算：tan60+2sin452cos30的结果是（）A2BCD1考点：特殊角的三角函数值菁优网版权所有分析：
24、根据特殊角的三角函数值计算即可解答：解：原式=+=故选：C点评：本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的记忆能力和计算能力12（2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tanCBE的值是（）ABCD考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析：折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出解答：解：根据题意，BE=AE设CE=x，则BE=AE=8x在RtBCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8x）2=62+x2解得x=，tanCBE=故选C点评：本题考查锐角三角函
25、数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）13（2009番禺区一模）如图，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋楼高为207.8m（精确到0.1 m）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有专题：计算题分析：过点A作ADBC，构建两个直角三角形，利用30、60角的正切函数分别求出CD和BD，求和即可解答：解：过点A作ADBC，垂足为D在RtADC中，有CD=ADtan60=AD=90，在RtABD中，有BD=ADtan30=AD=30故这栋楼高BC为90+30=120207.8（m）故答案为：207.8m点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并解直角三角形14（2010浦东新区二模）已知在ABC中，AB=AC=10，中线BM与CN相交于点G，那么点A与点G之间的距离等于4考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；三角形中位线定理菁优网版权所有分析：根据角的余弦值与三角形边的关系，可先求出AE、EC的长再根据等腰三角形的性质及中位线定理分别求出AF、FG的长，从而求出点A与点G之间的距离解答：解：连
