1、第十八章 平行四边形18.1 平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“ABCD”.18.1.1 平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.例、已知：ABCD求证：AD=BC，AB=DC；A=C，B=D.证明：连接AC，又AC是ABC和CDA的公共边， ABCCDA，平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.例、已知：如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD. 证明：四边形ABCD是平行四边形
2、 AD=BC，ADBC.1=2，3=4.AODCOB（ASA）. OA=OC，OB=OD.平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.例、如图， ABCD中，BDAB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长解：四边形ABCD是平行四边形，AO=CO=AC，OB=ODBDAB，在RtABO中，AB=12cm，AO=13cmBO=BD=2B0=10cm在RtABD中
3、，AB=12cm，BD=10cmAD=(cm)例、如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.解：AOB的周长为25，OA+BO+AB=25，又AB=12，AO+OB=25-12=13，平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=213=2618.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边
4、形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.例、 如图，在ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，点E在AD上，点F在BC上，AE/CF，又AE=CF，四边形AFCE是平行四边形.例、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE 求证：（1）AFDCEB （2）四边形ABCD是平行四边形解：（1）DFBE， AF
5、DCEB 又AF=CE， DF=BE， AFDCEB（2）由(1)AFDCEB知AD=BC，DAFBCE ， ADBC ，四边形ABCD是平行四边形NMFEABCD例、如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC， ADBC又AE=CF，ED=FB，四边形AFCE是平行四边形AFEC同理：BEFD四边形MFNE是平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心
6、对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.矩形性质1：矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE， 求证：四边形BCED是矩形 证明：在ABD和ACE中，ABDACE，BD=CE，又DE=BC，四边形BCED为平行四边形.在ACD和ABE中，AC=AB，AB=AE，ADCAEBCD=BE四边形
7、BCED为矩形18.2.2 菱形菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是
8、菱形.18.2.3 正方形正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.正方形性质1：正方形的四个角都是直角.正方形性质2：正方形的四条边都相等.正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形判定4：对角线
9、垂直平分且相等的四边形是正方形.例、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8 cm ， BD6 cm， DHAB于H，求：DH的长.四边形ABCD是菱形，AB=5cm， 例、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，ABC60，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长.解：菱形ABCD的周长为16cm，AB=BC=4cm，ABC是等边三角形，AC=4cm，AC，BD互相垂直平分，OA=2例、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PEBC，垂足为E， PFCD，垂足为F，求证：EFAP证明：连接PC，PEBC，PFCD，四边形ABCD是正方形，PEC=PFC=C=90，四边形PE
10、CF是矩形，PC=EF，P是正方形ABCD对角线上一点，AD=CD，PDA=PDC，在PAD和PCD中， ADCD，PDAPDC，PDPD，PADPCD，PA=PC，EF=AP，例、在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB， DFAC，垂足分别是E，F.试说明:DE=DF解：AB=AC，B=CDE AB，DF ACDEBDFC= 90D是BC的中点BD=DCBDECDFDE=DF.例、如图，ABCD中，AE平分BAD交BC于E，EFAB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由.解：四边形ABEF是菱形理由：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EFAB，四边形ABEF是平行四边形，AE平分BAD，BAE=FAE，ADBC，FAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE，ABEF是菱形
