1、例谈函数综合题中的“构造法”江苏省姜堰中学 张圣官（225500） “构造法”是一种创造性思维。在高中数学解题中的应用主要有两类：要么利用条件与结论的特殊性，构造出一个新的辅助结构系统（如函数、方程、图形等），架起条件与结论之间的桥梁；要么设法直接构造出结论所述的数学对象，从而使问题得以解决。由于函数、方程、不等式以及导数等内容是高考数学中的热点，与函数问题有关的“构造法”也就顺理成章越来越多地走进了我们的视野。本文准备结合具体事例加以说明。一通过构造辅助函数解题 1利用辅助函数图像和性质达到解证不等式的目的 先来看这样一道题：已知对于恒成立，求实数m的取值范围。你是否感到束手无策无从下手呢？
2、就让我们将题目改变一种问法再看看吧。例1已知函数 （1）求的单调区间； （2）若对于恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）由得，易得在递增，在递减； （2）由得，当时， 根据第（1）题知，在的最大值为，故。点评：在这道题中我们引进了辅助函数f(x)，利用导数作为工具刻画了f(x)的图像和性质（事实上是可以很快作出f(x)的图像的），从而顺利处理了不等式。在高考题中，为了降低难度，往往先让我们研究某一函数，再利用之来解后续问题。例2（2004全国卷理科）已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx(I)求函数f(x)的最大值；(II)设0ab，证明：0g(a)g(b)2g()(ba)ln2解
3、：(I)函数f(x)的定义域是(-1,),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1x0,当x0时,(x)0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值0。(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的结论知ln(1+x)-x-1,且x0)，由题设0a-.又 aa综上0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.证法二：g(x)=xlnx,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),则当0xa时因此F(x)在(a,+)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即00,a是定
4、义域中的一个数)；当0x0 。试问：（1）f(x)的奇偶性如何？（2）f(x)的单调性如何？(3) f(x)是周期函数吗？分析：由题设知y=tanx可以看作抽象函数f(x)的具体形式，从而猜想：f(x)是奇函数且在(0,2a)上是增函数(这里把a看作进行猜想)，且是周期为4a的周期函数。解：（1）f(x)的定义域关于原点对称，且， = ， 令x1-x2=x，则有f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2-x10，f(x1)、f(x2)、f(x2-x1) 均大于0，从而由条件得f(x1)-f(x2)0，于是f(x1)0，那么该函数在(0,上是减函数，在,0)上是增
5、函数；（1）如果函数y=x+（x0）的值域为6,+)，求b的值；（2）研究函数y=（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y=x+和y=（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数F(x)=+（n是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）解：（1）函数y=x+(x0)的最小值是，则=6，b=log29；（2）设0x1x2，y2y1=.当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数；当0x1x2时，y20），其中n是正整数；当n是奇数时，函数y=在(0,上是减函数，在,+)上是增函数，在(,上是增函
6、数，在,0)上是减函数；当n是偶数时，函数y=在(0,上是减函数，在,+) 上是增函数，在(,上是减函数，在,0)上是增函数。由于F(x)= +=因此F(x) 在 ,1上是减函数，在1,2上是增函数；所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1点评：该题的背景就是“耐克函数”（a0），它在(0,上是减函数，在,0)上是增函数,并且还是奇函数，图像关于原点对称。这是课本中大家都熟知的一个函数。二通过函数问题的几何特征构造图形解题有些函数问题中蕴含着一定的几何因素，挖掘这些几何因素，通过构造相关图形，实施“数形结合”，常常能够找到解题的最佳途径。例
7、7求函数的最小值。分析：从表象看是求函数的最小值，但却无从下手。考察函数的结构特征，注意到它事实上就相当于解决这样一道解析几何问题：设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点，它到x轴的距离记为d，A()为抛物线外一定点，试求d+PA的最小值。两题的结果完全一样。解：抛物线y=x2的焦点为，准线为，由于准线与x轴平行，因此P(x,y)到准线的距离为，根据抛物线定义得， ，所以d+PA的最小值为，也即函数的最小值为 。例8（2010 年广州市高三年级调研测试）已知，函数（1）求函数在区间上的最小值；（2）对（1）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围。解：（1），令得若，则当时，所
8、以在区间上是增函数，所以若，即，则当时，所以在区间上是增函数，所以若，即，则当时，；当时，在上是减函数，在上是增函数若，即，则当时，所以在区间上是减函数Oa所以 综上（2）由题意有两个不相等的实数解，即（1）中函数的图像与直线有两个不同的交点 而直线恒过定点，由右图知实数的取值范围是 点评：解决第（2）小题的关键就是作出图象，将方程解的问题转化为图象交点问题。例9证明：对于每个，适合的唯一实数对(p,q)是。分析： 分别以为圆心、1为半径作两个圆（如图）。记圆A的以为端点且位于第一象限的弧为，即为函数的图像；记圆B的以为端点且位于第一、四象限的弧为，即为函数的图像。 函数的图像为直线段，注意到
9、连接弧的两端点的线段MN与弧相切于点，故适合不等式的实数对(p,q)只能是。也即对于每个，适合的唯一实数对(p,q)是。练习题：1（1）证明：，利用该结论证明）；（2）用类似于（1）的方法构造函数证明） 。2（厦门市2010届高三（上）质量检查题） 已知函数，（e=2.718)（I）求函数的极大值；（）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得 和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出的值；若不存在，请说明理由参考解答：1（1）设，易得f(x)在（-1，0）递增，在（0，+递减，而f(0)=0,故当x.0时。分别取，相加即得。（2）构造，利用导数易得g(x)在递增，故当x.0时。分别取，相加即得。最后证明即可。事实上，。2解：（）， 令，解得：，令，解得：，函数在上递增，上递减，（）设，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增是函数的极小值点，也是最小值点，函数与的图象在处有公共点 设与存在 “分界线”且方程为：令函数，）由在恒成立，即在上恒成立，成立，故 ）下面再证明：恒成立设，则 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减 时取得最大值0，则成立综上）和）知：且，故函数与存在分界线为，此时
