1、辅助线的添加一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线： 如：证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加 倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性 质，但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线 也有规律可循。 （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时，添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的第三条直线 （2）等腰三角形是个基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补全完整的等腰三角形；（
2、3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线；（4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形（6）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直 线上时，（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。（8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1：1：2；30度角直角三角形三边比为1：
3、2：3（9）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦-直径；二、基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种 方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三 角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用
4、截长法或补短法，所谓截长 法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅 助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形 问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理（1）连对角线或平移对角线（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶
5、点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化 归为平行四边形问题或三角形问题来解决。（1）在梯形内部平移一腰 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰（4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法（1）见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径
6、平分定理，来沟通题设与结论 间的联系。（2）见直径作圆周角 若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来证明问题（3）见切线作半径 条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线 对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有 关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆 周角或圆心角联系起来。口诀与联想一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看
7、，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三 角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a.对称性；b.角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。与角有关的辅助线（1）截取构全等（2）角分线上点向角两边作垂线构全等（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边 上的中点，该角平分线又成为
8、底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性 质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。（4）以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的 点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。二、由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）（1）
9、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形（2）由中点应想到利用三角形的中位线（3）由中线应想到延长中线（4）直角三角形斜边中线的性质（5）角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线（6）中线延长三、梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中 位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连
10、线。四、圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角 三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BDOA于D，经常是：如图1（上）延 长BD交圆于C，利用垂径定理；如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得RtABE。 图1（上） 图1（下）（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的
11、半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切 点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边 形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。口诀图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中
12、有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。
