1、八年级数学全等三角形能力培优一解答题（共8小题）1如图所示，一个四边形纸片ABCD，B=D=90，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，AE是折痕（1）试判断BE与DC的位置关系；（2）如果C=130，求AEB的度数2已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由3如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB
2、边上一点，连接CF，交BE于点D且ACF=CBE，CG平分ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CPAG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；4如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么1与2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的1与2的关系成立吗？请说明理由5如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED的度数为x，ADE的度数为y，那
3、么1，2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律6在ABC中，AD是ABC的角平分线（1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AFAD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长7如图，在RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交AB于点D，DEAC于点E，BFDE交CD于点F求证：DE=BF8已知：ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC求证：AB=AC八年级数学全等三角形能力培优参考答案与试题解析一解答题（共8
4、小题）1如图所示，一个四边形纸片ABCD，B=D=90，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，AE是折痕（1）试判断BE与DC的位置关系；（2）如果C=130，求AEB的度数【分析】（1）由于AB是AB的折叠后形成的，所以ABE=B=D=90，BEDC；（2）利用平行线的性质和全等三角形求解【解答】解：（1）由于AB是AB的折叠后形成的，ABE=B=D=90，BEDC；（2）折叠，ABEABE，AEB=AEB，即AEB=BEB，BEDC，BEB=C=130，AEB=BEB=65【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，则ABEABE，利
5、用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解2已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由【分析】（1）过C作CMy轴于M，通过判定BCMABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C（1，3）；（2）过C作CMy轴于M，根据BCMABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定DBECME（AAS），可得BE
6、=EM，进而得到BE=BM=2【解答】解：（1）如图1，过C作CMy轴于MCMy轴，BMC=AOB=90，ABO+BAO=90ABC=90，CBM+ABO=90，CBM=BAO，在BCM与ABO中，BCMABO（AAS），CM=BO=1，BM=AO=4，OM=3，C（1，3）；（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，理由：如图2，过C作CMy轴于M，由（1）可知：BCMABO，CM=BO，BM=OA=4BDO是等腰直角三角形，BO=BD，DBO=90，CM=BD，DBE=CME=90，在DBE与CME中，DBECME（AAS），BE=EM，BE=BM=2【点评】本题考查了全等三角
7、形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定DBECME是解第（2）题的关键3如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且ACF=CBE，CG平分ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CPAG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当GAC=2FCH时，若SAEG=3，BG=6，求AC的长【分析】（1）根据ASA证明BCGCAF，则CF=BG；（2）先证明ACGBCG，得CAG=CBE，再证明PCG=PGC，即可得出
8、结论；（3）作AEG的高线EM，根据角的大小关系得出CAG=30，根据面积求出EM的长，利用30角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+，根据线段的和得出AC的长【解答】证明：（1）如图1，ACB=90，AC=BC，A=45，CG平分ACB，ACG=BCG=45，A=BCG，在BCG和CAF中，BCGCAF（ASA），CF=BG；（2）如图2，PCAG，PCA=CAG，AC=BC，ACG=BCG，CG=CG，ACGBCG，CAG=CBE，PCG=PCA+ACG=CAG+45=CBE+45，PGC=GCB+CBE=CBE+45，PCG=PGC，PC=PG，PB=BG+PG，BG=
9、CF，PB=CF+CP；（3）如图3，过E作EMAG，交AG于M，SAEG=AGEM=3，由（2）得：ACGBCG，BG=AG=6，6EM=3，EM=，设FCH=x，则GAC=2x，ACF=EBC=GAC=2x，ACH=45，2x+x=45，x=15，ACF=GAC=30，在RtAEM中，AE=2EM=2，AM=3，M是AG的中点，AE=EG=2，BE=BG+EG=6+2，在RtECB中，EBC=30，CE=BE=3+，AC=AE+EC=2+3+=3+3【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明BC
10、GCAF即可；第3问，如何得出30角和作辅助线，利用到SAEG=3列式是突破口4如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么1与2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的1与2的关系成立吗？请说明理由【分析】（1）证明三角形ACD和CAB全等根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出ADBC，也就得出1=2了（2）（3）和（1）的证法完全一样【解答】解：1与2相等证明：在ADC与CBA中，ADCCBA（SSS）DAC=BCADABC1=2图形同理可证，ADCCBA得
11、到DAC=BCA，则DABC，1=2【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键5如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED的度数为x，ADE的度数为y，那么1，2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律【分析】（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3）根据（2）中的表示方法，可以求得
12、1+2，再找到A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系【解答】解：（1）EADEAD，其中EAD=EAD，AED=AED，ADE=ADE；（2）1=1802x，2=1802y；（3）1+2=3602（x+y）=3602（180A）=2A规律为：1+2=2A【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质6在ABC中，AD是ABC的角平分线（1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AFAD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长【分析】（1）推出3=E，推出AC=AE，根据等腰三角形性质得
13、出AFCE，根据平行线性质推出即可；（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BFAC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF设CN=x，则BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x得出方程4+7x=x求出即可【解答】（1证明：AD为ABC的角平分线，1=2CEAD，1=E，2=3E=3AC=AEF为EC的中点，AFEC，ADEC，AFE=FAD=90AFAD（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BFAC交NM延长线于点F，3=C，F=4M为BC的中点BM=CM在BFM和CNM中，BFMCNM（AAS），BF=CN，MNAD，1=E，2=4=5E=5
14、=FAE=AN，BE=BF设CN=x，则BF=x，AE=AN=ACCN=7x，BE=AB+AE=4+7x4+7x=x解得 x=5.5CN=5.5【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用7如图，在RtABC中，ABC=90，CD平分ACB交AB于点D，DEAC于点E，BFDE交CD于点F求证：DE=BF【分析】根据角平分线的定义得到1=2，根据角平分线的性质得到DE=BD，3=4，由平行线的性质得到3=5，于是得到结论【解答】证明：CD平分ACB，1=2，DEAC，ABC=90DE=BD，3=4，BFDE，4=5，3=5，BD=BF，DE=
15、BF【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键8已知：ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC求证：AB=AC【分析】证明RtBOFRtCOE，根据全等三角形的性质得到FBO=ECO，根据等腰三角形的性质得到CBO=BCO，得到ABC=ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论【解答】证明：在RtBOF和RtCOE中，RtBOFRtCOE，FBO=ECO，OB=OC，CBO=BCO，ABC=ACB，AB=AC【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键第15页（共15页）
