1、19.1.1变量与函数（第1课时）教学设计一、教材内容和内容分析内容变量与常量的概念内容分析本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能找出一个变化过程中的变量与常量，了解常量与变量的意义.变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往
2、只认为是一种确定的数量关系，类似于二元一次方程，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化基于以上分析，确定本节课的教学难点为：体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别.二、教学目标和重难点教学目标知识技能结合丰富的实例，让学生在具体的情景中领悟常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，在具体教学中培养学生的数学阅读能力.数学思考通过感受运动与变化的数量关系初步体验函数思想.解决问题通过阅读课本知识，抓住关键词，感受常量与变量的意义情感态度感受变量是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具，加深学生对数学来源于生活的体验。重点能找出一个变化过程中的变量与常量
3、，了解常量与变量的意义.难点体会运动变化过程中量的变化，较复杂问题中常量与变量的识别.三、教学过程设计教学过程 教学内容设计意图知识准备 人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”： 、 、 ；同时用“数”来表明“量”的大小。通过知识准备的解答，提出本节课需要研究的问题，合理地引起学生注意活动一：自学交流师生活动1：教师与学生一起通过计算填表，并分析问题一中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h师生活动2 ：学生继续分析问题二、三、四中的
4、量并分类，领会“变量”、“常量”的含义发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量问题一：汽车以60千米小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时1请同学们根据题意填写下表：t/时12345ts/千米6012018024030060t2在以上这个过程中，变化的量是_时间_t_，路程s_不变化的量是_速度v_3试用含t的式子表示s，则s=_60t_.4.这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程_s_随行驶时间_t_的变化过程问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出206张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售
5、票x张，票房收入y元 请同学们根据题意填写下表：售出票数（张）早场150午场206晚场310x收入y (元)15002060310010x2在以上这个过程中，变化的量是_票数x张、票房收入y元_不变化的量是_票的售价10元/张3试用含x的式子表示y，则 y=_10x_ 4.这个问题反映了票房收入y_随售票张数_x_的变化过程问题三：圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？ 请同学们根据题意填写下表：(用含的式子表示）半径r(cm)102030r面积s（cm2）100 400 900 r
6、在以上这个过程中，变化的量是_半径r、面积s_不变化的量是_试用含r的式子表示ss=_r_.4、这个问题反映了 面积s_ 随 半径r 的变化过程问题四：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为m2 . 1请同学们根据题意填写下表：长x（m）33.544.5x另一边长（m）21.50.50.055-x面积s（m2）65.2522.25X（5-x）2在以上这个过程中，变化的量是_矩形的两边长、面积 _不变化的量是_周长10m . 3试用含x的式子表示s S=_ X（5-x）_
7、 4、这个问题反映了矩形的 面积随 二边长 的变化过程在常见的“行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义活动二：形成概念师生活动： 学生思考并回答，教师给予引导问题1：请给活动一（一）（四）中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称. 变化的量： 变量 始终不变的量： 常量 问题2：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？关键词是：发生了变化和始终不变.从实际问题中抽象出变量、
8、常量的概念，进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系。活动三：辨析概念师生活动： 先让学生通过独立思考和小组合作交流，再师生一起解决问题教师板书示范.例写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系解：S=x(20-2x)/2=x(10-x)，其中变量是长方形边长x,(10-x),面积S，常量是周长20cm （2）直角三角形中一个锐角与另一个锐角之间的关系解：=90-，其中变量是、，常量是90 教师引导学生在2个常见的简单的实际问题中，通过合理、正确的思维，指出同一问题中的变量和常量教师的板书为学生的解题做好示范作用
9、.活动四:练习反馈师生活动: 学生分组讨论，通过小组合作交流，探索结论再由各小组学生到黑板板演，教师巡视并进行校对指导.练习：填写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量（1）某市的自来水价为4元/t现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元解：y=4x,变量：月用水量x吨和月应交水费y元，常量：自来水价4元吨. （2）某地手机通话费为02元/min李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元解：W=30-0.2t,变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元分钟和存入话费30元. （3）水中涟漪（圆形
10、水波）不断扩大记圆的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为解：C=2r,变量：半径r和圆周长c，常量：圆周率及计算公式中的数字2. （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本解：Y=10-x变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本，常量：书的总数10本. 运用新知解决数学问题，在解题中识别常量和变量，巩固学生对所学知识的理解，通过小组合作学习，培养学生合作能力，板演解题过程既有示范作用也起到错误解答引领反思的作用。活动五：拓展应用师生活动: 学生分组讨论，通过小组合作交流，探索结论再由各小组学生学生发表结论，教师进行点评指导.
11、1、 请结合生活实际，小组合作设计一个可以用下列式子表示的变化过程 ，并指出里面的变量和常量。（1） y=6x （苹果一斤6元，买x斤苹果用了y元）（2） s=40t（班里有40个同学，每人捐款t元，共捐了s元）（3） s=200-40t（甲乙两地相距200公里，汽车从甲地出发每小时行驶40公里，行驶t小时后与乙地的距离为s）2、根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表：每天销售价（元/件）200190180170160150每天的销售量y(件)8090100110120130在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜
12、想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.解：变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件）， 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化. 变化规律满足：y=280x，关系式中的常量是：数字280. 本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后，只给出数量关系式问题背景，让学生通过思考，在已有知识基础上构造问题背景，进一步认识常量与变量，为后面继续学习函数定义及其应用打好基础第1题属于开放题，答案多种多样，即能激发学生的学习兴趣又能培养学生的逆向思维和发散思维。第2题激励学生大胆猜想规律，即激发兴趣又培养能力.活动六:反思总结师生活动：学生自我反思总
13、结后自由发言，教师及时反馈并进行引领。问题1：在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？常量是否都是显现的？问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否是相互依存和变化的？是否存在变化规律？ 培养学生归纳总结和反思的学习习惯和能力.四、目标检测设计检测题目考查目的、答案及解析一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）1 某人要在规定时间内加工100个零件，对剩余零件个数p与工作时间t之间的关系，下列说法正确的是（ ）A数量100、p、t都是变量 B数量100和p都是常量 Cp、t都是常量 D100、t都是常量 2 一根蜡烛原长是a（cm），点燃后燃烧的时间为t
14、（min）,剩余蜡烛的长为y（cm）下列说法正确的是（ ）A常量是a，变量是y、t B常量是t，变量是a、y C常量是y，变量是a、t D以上说法都不对 3以固定的速度(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度(米)与小球的运动的时间(秒)之间的关系式是，在这个关系式中，常量、变量分别为( )A49是常量，、是变量 B是常量，、是变量C、是常量，、是变量 D49是常量，、是变量1、考查目的：考查常量和变量的概念答案：C解析：在同一变化过程中，始终保持不变的是常量，数量变化的是变量故答案应选择C2、考查目的：考查常量与变量的概念答案：A解析：蜡烛原长是固定的，所以a是常量，点燃后，燃烧时间越长，剩余蜡
15、烛越短， y随着t的变化而变化,所以t，y是变量故答案应选择A3、考查目的：考查常量和变量的概念答案：C解析：在关系式中，速度和数量是常量，小球的高度(米)随小球的运动时间(秒)的变化而变化，是变量 故答案应选择C二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）4 齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间，那么用表示的关系是 ，其中 为变量， 为常量5 表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度（单位m）落下时弹跳高度（单位m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 5080100150254050756 下表是某报纸公布的世界人口数据情况：年份1957197419871999201
16、02025人口数30亿40亿50亿60亿70亿80亿表中有 个变量，其中 随 的变化而变化，变化趋势是 4、考查目的：考查常量与变量的概念答案：；解析：齿轮的转速为转/分，是固定不变的，所以是常量；转数随着时间的变化而变化，所以是变量5、考查目的：考查变量间的关系在具体问题中，用代数是表示变量间的关系答案：解析：根据表格数据分析，小球弹跳高度的取值是相应的下落高度的值的一半，故关系式为6、考查目的：考查常量与变量的概念答案：2；人口数；时间；随着时间的增大，人口数也在增大解析：从表中可以看到，人口数随时间（年份）的变化而变化变量有两个随着时间的推移，人口数也越来越大三、专心解一解（解答应写出文
17、字说明、演算步骤或证明过程）7某种水果的销售数量x（千克）与销售额y（元）的关系如下表所示：数量x（千克）12345销售额y（元）21426384105（1）上面的表格反映了哪两个变量之间的关系？（2）请估计销售量是15千克时，销售额是多少元？8已知直线m、n之间的距离是4，的顶点在直线m上，顶点、在直线n上，指出其中的变量和常量,并求的面积s与的边长x之间的关系式7、考查目的：考查实际背景下常量与变量的概念答案：（1）表格反映了销售数量x（千克）与销售额y（元）之间的关系；（2）估计销售15千克时，销售额是315元解析：表格第一行是销售量，第二行是对应的销售额，用常量和变量的概念可以判断根据
18、表中提供的数据，不难发现，销量与销售额的数量关系为，将代入式中，可得8、考查目的：考查常量与变量的概念及变量间的关系答案：常量是4，变量是x、s面积s与的边长x之间的关系式为解析： 本题以三角形面积为问题背景，考查常量与变量之间的关系此问题中，三角形的高是定值，当底边的长变化时，面积s相应变化根据三角形面积公式得到五、教学反思通过变量与函数的教学，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解 本设计呈现的课堂结构为：（）揭示学习目标；（）引入数学原型；（）抽象出数学现实，逐步达致数学形式化的概念；（）巩固概念练习（概念辨析）；（）小结（质疑）“数学教学是数学活动的教学”，面对抽象的数学内容，老师会想方设法创设易于学生理解的数学情境但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学生思考、过渡到数学形式化的问题本人在学生完成问题情境的几个问题后，提出系列问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？ 通过哪一个量可以确定另一个量？”在与学生的交流过程中把重点内容板书，板书注重揭示两个量间的关系，引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量9
