1、中考数学综合专题训练几何综合题解析docx中考数学综合专题训练 【几何综合题 】（几何） 精品解析在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题， 转化为基本图形或者可与基本图形、 方法类比， 从而使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形， 将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反
2、思， 总结题目中的基本图形及辅助线添加方法， 将题目归类整理； 对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。一 . 考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求： 会运用几何图形的相关知识和方法 （两点之间的距离， 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角
3、形相关的简单实际问题； 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题； 能解决与切线有关的问题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二 . 基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的， 熟悉基本图形及常用的辅助线， 在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例：1、与相似及圆有关的基本图形AACCBBAAABABBOCBCCBC BCCOBOBCBC BCAA A
4、AD ED EO F C B CDDB O C B C E C B O DFGA E BACEB F D2、正方形中的基本图形3、基本辅助线（ 1）角平分线过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（ 2）与中点相关倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；（ 3）共端点的等线段旋转基本图形（ 60， 90），构造圆；垂直平分线，角平分线翻折； 转移线段平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；（ 4）特殊图形的辅助线及其迁移 梯形的辅助线（什么时候需要这样添加）等作双高上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰上下底之差；两底角有特殊关系（延长
5、两腰）；梯形三角形平移对角线上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。三 . 题目举例( 一 ) 基本图形与辅助线的添加例 1、已知：AC 平分 MANABCADC90AB AD _ AC 。（ 1）在图1 中，若MAN120，（填写“ ”或“”或“”）（ 2）在图2中，若MAN120， ABCADC180 ，则（ 1）中结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（ 3）在图3中：若理由；若MAN60 ，ABCADC 180，判断 ABAD 与 AC 的数量关系，并说明MAN(0180 )，ABCADC
6、180，则AB AD_AC（用含 的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）解：(1)ABAC-1(2)仍然成立证明：如图 2 过 C 作 CEAM 于 E，CFAN 于 F，则CEA=CFA=90AC 平分 MAN，MAN=120， MAC=NAC=60又 AC=AC， AECAFC， AE=AF， CE=CF在 RtCEA 中， EAC=60， ECA=30， AC=2AEAE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABC ADC180， CDE+ADC=180， CDE=CBF又 CE=CF，CED=CFB， CEDCFBED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC -4
7、分(3) AB+AD= 3 AC证明：如图 3，方法同 (2) 可证 AGCAHCAG=AHMAN=60， GAC=HAC=30AG=AH= 3 ACAG+AH= 3 AC2GD+DA+AH=3 ACA方法同 (2) 可证 GDCHBCGD=HB， HB+DA+AH= 3 ACAD+AB= 3 AC -AD =分M CEDNA F BMGCDH B N-6分AB AD 2 cosAC -72分例 2、已知： AOB中， AB OB 2 ，COD 中，CD OC 3, ABO DCO .连接 AD 、 BC ，点 M 、 N 、 P 分别为 OA、 OD 、 BC 的中点 .BAMBAMOPON
8、PDN图 1图 2(1)如图 1，若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且 ABO60o ，则 PMN 的形状是_ ，此时 AD_；BC(2)如图 2，若 A 、 O、 C 三点在同一直线上，且ABO 2，证明 PMNBAO，并计算 AD 的值（用含的式子表示）；BC(3)在图 2 中，固定 AOB ，将 COD 绕点 O旋转，直接写出 PM 的最大值 .例3、在 Rt ABC中， ACB=90， tan BAC=1 . 点 D 在边 AC上（不与 A， C重合），连结2BD， F 为 BD中点 .（ 1）若过点 D 作 DE AB于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1 设 CF kEF
9、 ，则 k = ；（2）若将图 1 中的 ADE绕点 A 旋转，使得 D、 E、 B 三点共线，点 F 仍为 BD中点，如图2 所示求证： BE-DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC的三等分点处， 将线段 AD绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD中点，求线段 CF长度的最大值AAADEEDFFCBCBCB图 1图 2备图解：（ 1）k=1； . 2分（ 2）如 2， 点C作的垂 交于点， 与的交点 .CEBDGBDACQ由 意， tan =1， BCDE1.BACACAE2A2 、 、B三点共 ， .DDEAE DB =，=90, =EBQC AQDACBQBC EAQ. =9
10、0，=90，QECA+ ACGBCG+ ACGFGC B图2 ECA=BCG. BCG ACE .BC GB 1 . GB=DE. AC AE 2 F 是 BD中点， F 是 EG中点 .在 RtECG 中， CF1 EG , BEDEEG2CF .5 分2（ 3）情况 1：如 ，当=1ABMMFCMADAC ，取3的中点， 和，A ACB=90， tan BAC= 1，且 BC= 6,D2AC=12，AB= 6 5 .中点，=5,MABCM 3M1 =FADAC ，3AD= 4 . M AB中点， F BD中点， FM= 1 AD = 2.CB2当且 当、 、C三点共 且在 段上 最大，此
11、= + =3 5.6 分M FMCFCFCF CMFM 2情况 2：如 ，当=2AC ，取 AB的中点 M，AAD3D和 ，MFCM 似于情况 1，可知的最大 4 35.7 分MCFF 合情况1 与情况 2，可知当点在靠近点C的D三等分点 ， 段 CF的 度取得最大 435 . 8 分CB（二）直角三角形斜边中线 +四点共圆例4、已知：在 ABC中， ABC=90?, 点 E 在直线 AB上, ED与直线 AC垂直 , 垂足为 D，且点 M为 EC中点 , 连接 BM, DM.（1）如图 1，若点 E 在线段 AB上，探究线段 BM与 DM及 BMD与 BCD所满足的数量关系 , 并直接写出你
12、得到的结论；（2）如图 2，若点 E 在 BA延长线上，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明 ;（ 3）若点 E 在 AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM与 DM及 BMD与 BCD所满足的数量关系 .B BBEA AMD DC CAD图 1CM ME E图 2（三）倍长过中点的线段例 5、请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A， B， E 在同一条直线上， P是线段 DF的中点，连结 PG， PC 若 ABCBEF60 o ，探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG 的PC值小聪同学的思路是：延长GP 交
13、 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCDCPFPGGFABAEB图 2E图 1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（ 1）写出上面问题中线段PG 与 PC 的位置关系及 PG 的值；PC（ 2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明（ 3）若图 1 中 ABCBEF 2(0o90o ) ，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG
14、 的值（用含的式子表示）PC解：（ 1）线段 PG 与 PC 的位置关系是； PGPC（四）共端点的等线段，旋转例 6、如图 1，在中，于，E恰为的中点，tan B 2.ABCDAEBCEBC（1）求证： AD=AE；（2）如图 2，点 P 在 BE上，作 EF DP于点 F，连结 AF.求证： DF EF 2 AF ；（3）请你在图 3 中画图探究：当 P 为射线 EC 上任意一点（ P 不与点 E 重合）时，作 EF DP于点 F，连结 AF，线段 DF、EF与 AF之间有怎样的数量关系直接写出你的结论 .A D A D A DFBECB PECBEC图 1图 2图 3证明：（ 1）在 R
15、t中，90，ABEAEB= tan BAE2ADBEH AE2BE 1 分 E 为 BC的中点，1 BC2BE F2.AE=BCABCD是平行四边形，B PEC.AD=BC图 8.2 分AE=AD（ 2）在上截取=（如图 8）DPDH EFH四边形是平行四边形，ABCDAE BC EAD=90ADEFPD， 1 2， ADH=AEFAD=AE， 4 分ADHAEF=，= HADFAE AH AFB=90 P CFAH =E在 Rt中，= ，2 AF FFAHAH AFFH图 9 FHFDHDFDEF2AF 即 DF EF2 AF 5 分（ 3）按题目要求所画图形见图9， 线段、之间的数量关系为
16、：DF EF2AFDFEFAF（五）利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（ 1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（ 2）探究： 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 60时， 这对 60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。利用平移变换转移线段+作图 8、（ 2011 西城一模， 25）在 Rt ABC中， C=90， D， E 分别为 CB，CA延长线上的点， BE与 AD的交点为 P.（ 1）若 BD=AC，AE=CD，在图 1 中画出符合题意的图形，并直接写出APE的度数；（ ）若 AC3BD， CD3AE ，求的度数.2APE解：（1）如 9， APE= 45 . 2 分（2）解法一：如 10，将 AE平移到 DF， 接 BF， EF 3 分 四 形 AEFD是平行四 形 AD EF， AD=EFAC3BD ， CD3AE ，AC3CDCD3 BD，DFAE9ACCD 4 分BDDF =90，CBDF180C90 C= BDF 5 分ACDBDFADAC3 ， 1= 2BFBDEFAD3 BFBF 1+3=90， 2+3=90BF AD BF EF
