1、数学精英版教案 五升六14 最优化问题动态数学思维教案教材版本：精英版 . 学 校： .教 师年 级五升六授课时间年 月 日课 时2课时课 题第14讲最优化问题教材分析本讲内容中，教材通过日常生活中的问题，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。统筹思想是比较系统、抽象的数学思想方法，这节课旨在让学生通过一些事例，初步体会统筹思想在解决实际问题中的应用，培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。本节例题难度整体很大，例2稍有难度，四个例题均为不同题型，教师可以引导学生思考，听取学生不同建议，然后给予学生点拨，寻求简便方法。拓展问题部分，个别题稍有难度，教师引导与学生合作，
2、协助完成。拓宽视野部分学生独立完成，教师根据情况适当点拨。教学目标知识技能1.通过生活实例，让学生学会选择合理快捷的方法解决问题。2.能够运用统筹思想，解决生活中的实际问题，寻找出解决问题的最优方案。数学思考1.使学生在解题中，认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。2.培养学生用数学方法解决实际问题的能力。问题解决1.让学生通过设计、交流、体会等活动，经历运用统筹思想合理安排时间的过程，体验运用统筹思想在日常生活中的应用。2.提高分析问题、解决问题的能力。情感态度1.在解决问题的过程中，培养激发学生学习兴趣。2.使学生初步形成合理安排时间，提高办事效率的意识，渗透优化的思
3、想。教学重点、难点教学重点：运用统筹思想解决安排时间、最优化问题。教学难点：寻找解决问题的最优化方案。教学准备动画多媒体语言课件第一课时复备内容及讨论记录教学过程一、课前交流，激发兴趣。师：生活中，大家和自己的小伙伴，小朋友间难免有些摩擦，小佳和欢欢也不例外，最近两个人之间由于一些误会变得疏远了。后来发生了什么事情呢？ （课件播放导入）二、自主探索，解决问题。（一）呈现问题1例1：小佳准备亲自为欢欢做一顿丰盛的晚餐，表达自己的歉意。他发现，择菜要4分钟，洗菜要2分钟，淘米要1分钟，电饭锅煮粥要10分钟，切菜要3分钟，炒菜要5分钟；还要烙三个饼，一个锅一次只可以烙2个饼，每个饼的一个面需要烙一分
4、钟才算好，家里煤气灶是单火。小佳将怎样安排操作顺序？最少用多少时间能做好这顿晚餐？ 1.学生读题。2.教师引导。 师：结合我们的生活经验，要使用时最少，应该如何安排事情呢？ 生：能同时做的事情要尽量做。 师：那么这些事情，哪些事情是可以同时做的？哪些事情是一定不能同时做的？ 生：淘米和煮粥不能同时做，择菜，洗菜，切菜，炒菜不能同时做，但是在做这些事情的同时，可以煮粥。 （引导教师画出流程图）师：确定了前半部分，我们再看烙饼，烙三个饼最少用多长时间呢？大家现在拿出三张纸片，将自己的想法模拟出来，和同桌相互交流一下，看看谁用的时间最少呢？（抽一名学生上台，模拟演示自己的想法。）（可能大部分学生会认
5、为先烙两块饼，然后再烙第三块饼，用时4分钟，出现这种情况时，教师提示，在单独烙第三块饼的时候，另外一块饼的位置是空的，引导学生思考，怎样充分利用位置和时间，适时出示解析。）3.学生独立完成解答。4.教师总结。答案：1+4+2+3+5+3=18（分）答：最少用18分钟做好这顿晚餐。（二）呈现问题2例2：A城、B城、C城的距离（单位：千米）如下图所示。现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务：从A城运12吨煤到B城，从B城运8吨钢材到C城，从C城运16吨粮食到A城。怎样安排才能使汽车空驶里程最短？1.学生读题，理解题意。2.师生合作，教师引导。 师：这道题目，让我们安排行程行驶路线，要达到什么目的？
6、 生：使汽车的空驶里程最短。 师：什么是空驶里程？ 生：不拉煤，汽车单独行驶的路程。 师：那么大家思考，什么情况下，才能减少汽车的空驶里程？ 生：因为A城到B城路线最长，要使空驶里程最短，所以也要尽量减少A城到B城的行驶次数。 师：正常情况下，A城到B城，B城到C城，C城到A城，分别需要运几次货物？ 生：A城到B城3次，B城到C城2次，C城到A城4次。 师：我们发现C城到A城，需要运的次数最多，且这些城市之间，运货正好凑成一个循环，现在思考，从哪个城市开始运比较划算，能够减少空驶率。 （小组之间相互讨论） 生：因为B城到C城运的次数最少，所以至少可以循环两次，而2次之后，B城运到C城的钢材运完
7、，而C城运往A城的粮食最多，所以循环两次之后，尽量让货车停在C城，所以从C城开始比较合适。 （教师适时出示课件解析） 师：B城到C城的钢材运完，接下来肯定是C城运往A城粮食，那么再往下，是A城运往B城煤，还是该怎么办呢？ （大部分学生可能会认为从A城运往B城，然后B城到C城空驶回来，这个时候，教师可以引导，3条线路中，C城到A城的距离最短，能否将空驶的情况安排在这条线路上呢？） 师：由于C城到A城还需运2次，A城到B城之间需运1次，所以一定有一次CAB的循环，大家思考，我是先循环完这一次，最后再运完C城到A城的粮食，还是可以先来回运完C城到A城的粮食，再循环？ （学生尝试，教师酌情出示课件解析
8、）3.同桌之间相互讲解。4.总结交流。答案：从C城出发，按CABC，循环两次，B地钢材运完。再从C运4吨粮食到A,空驶回C，再运4吨粮食到A城，最后从A运4吨煤到B城。此时空驶里程最短，为5千米。三、巩固应用，拓展提升。（一）拓展问题11.小佳、欢欢、乐乐、多多各拿一只水桶，同时到一个水龙头前接水，他们只能一个接一个的接水，小佳接一桶水要5分钟，欢欢要3分钟，乐乐要7分钟，多多要2分钟。要使他们所用时间总和最少，应该怎样安排他们的接水顺序？最少是多少分钟？1.学生读题，分析题意。2.教师引导。 师：这道题目的突破点是什么？这道题目的总时间指什么？ 生：打水所用时间和所有等待时间的总和。 师：打
9、水时间是一定的，我们要怎样安排才能使等待时间最少呢？ 生：尽量将打水用时较少的人靠前，这样的话，后面的人的等待时间就较少。3.学生整理思路，列式解答。4.教师总结。在解答等待问题的时候，要尽量减少等待时间，而减少等待时间，便是尽量将用时较少的人靠前。在计算最后用时总和时，一定要将每个人的等待时间都加上，不要少加或者漏加。答案：按“多多欢欢小佳乐乐”的顺序接水。多多：2分欢欢：2+3=5（分）小佳：2+3+5=10（分）乐乐：2+3+5+7=17（分）总时间：2+5+10+17=34（分）答：所用时间最少是34分钟。（二）拓展问题22.市电信收费标准是：（1）市内电话3分钟以内0.2元（不满3分
10、钟按3分钟计），以后每分钟0.1元（不满1分钟按1分钟计）；（2）长途电话（至上海）每10秒钟0.07元（不满10秒按10秒计）。小佳先给同学打了一个市内电话，随后又给上海的舅舅打了一个长途电话，与舅舅的通话时间至少为2分钟。小佳共付了1.84元电话费。小佳打这两次电话的总通话时间最多是多少分钟？1.学生读题，理解题意。2.师生合作，教师引导。 师：小佳付的1.84元的电话费，包含哪些部分？ 生：包含市话通话产生的费用和长途电话产生的费用。 师：这两种通话如何收费？ 生： 师：现在我们只知道小佳付了1.84元电话费，该如何确定这两种通话各打了多少分钟？突破口是哪里？ （教师提示，从话费的小数部
11、分入手） 师：小佳付了1.84元电话费，这个百分位的数如何产生呢？ 生：因为长途电话每10秒钟0.07元，所以这个百分位产生的一定是由于0.07的2倍，12倍，22倍产生的。 师：那么长途通话的可能时间是多少？ 生：20秒，120秒，220秒，但由于与舅舅通话时间至少为2分钟，所以20秒不可能。 师：那么是否长途拨打120秒，220秒都符合题意呢？我们再回到题目，要求的是两次电话的总通话时间最多，要使通话时间最多，在总费用一定的情况下，如何确保最多？ 生：因为市话每分钟比长途话费便宜，所以应尽量让市话时间长一些，长途时间尽量少。3.学生整理思路。4.教师时间。答案：通过分析，长途通话时间最少为
12、120秒，即2分钟。长途费用：120100.07=0.84（元）市话费用：1.84-0.84=1（元）市话通话时间：3+(1-0.2)0.1=11（分）总时间：11+2=13（分）答：小佳打这两次电话的总通话时间最多是13分钟。（三）拓展问题33.从游乐园出来，小佳要去电影院看电影，他看了看时间，现在是19:30，估算了一下，如果骑车过去，得迟到2分钟，如果打车过去，可以早到1分钟。已知骑车每秒钟可以行10米，出租车每秒可以行15米。问，从游乐园到电影院要走多少千米？电影什么时候开始播映？（本题难度不大，建议学生独立完成，教师选择性讲解）答案：解：设再过x秒，电影开始放映。 10(x+260)
13、=15(x-160) 10x+1200=15x-900 解得x=420 路程：10(420+260)=5400(米) 5400米=5.4千米 420秒=7分 故电影放映时间为19:37 答：从游乐园到电影院要走5.4千米。电影19:37开始放映。四、课堂小结师：这节课，我们学习了统筹法问题相关知识，学会了如何合理安排，利用时间，同学们有怎样的收获呢？关于统筹法问题还有什么类型的题呢？让我们下节课继续学习。第二课时复备内容及讨论记录教学过程一、谈话导入师：上节课我们学习了统筹法问题。在解决统筹法问题时，我们学会了合理安排，利用时间和资源，提高了实际办事效率。统筹法问题在实际生活中还有哪些方面的应
14、用呢？这节课我们继续学习。二、自主探索，解决问题。（一）呈现问题3例3：小佳数了一下，共有26个小学生要去划船。租船规定：每条小船限坐4人，租金25元；每条大船限坐6人，租金30元。（1）小朋友们有几种租船方案，填入下表。（2）他们怎样租船，租金最少？1.学生读题，理解题意。2.师生合作，教师引导。 师：现在要设计租船方案，你认为设计的标准是什么？ 生：大船乘坐人数+小船人数=26人 。 师：那么结合生活实际，我们租了船，船上能否有空位。 （学生独立完成第一问。） 师：大家列举出了所有可能的租船方案，现在要找出租金最少的方案，如何办呢？ 生1：我可以将这些方案的租金都算出来，然后找出租金最少的
15、。 生2：可以计算出大船和小船的人均租金，尽量取租金少的。3.学生尝试独立解答。4.总结交流。在解决用车，乘船问题时，要尽可能多地使用人均费用低的，同时要尽量避免出现剩余座位，减少浪费。答案：（1）（2）租3条大船，2条小船时，租金最少，为145元。（二）呈现问题4例4：他们来到欢欢家附近的两家旅行社，分别是京杭旅行社和华南旅行社。两家旅行社的价目表如下。请你从人数与总费用两个方面来测算一下：（1）假如小佳、欢欢和乐乐与3名成人及14名小朋友拼团，选择哪家旅行社比较便宜？（2）当小佳、欢欢和乐乐与3名成人及多少名小朋友拼团时，两家旅行社的费用是相同的？1.学生读题，理解题意。2.师生合作，教师
16、引导。 师：通过价目表，京杭旅行社，实际的收费是怎样的？ 生：成人每人2600元，儿童每人1300元。 师：那么华南旅行社呢？ 生：儿童和成人都是每人26000.6=1560元。 师：我们先看第一问，通过读题，共有几位成人，几个小朋友？ 生：共有三个成人和17个小孩。 （学生独立完成第1问） 师：我们接着看第二问，现在要求再和多少名小朋友拼团时，费用相同，大家可以采用什么方法解决？ 生：利用方程解答，根据两个旅行社的费用相同列式。3.学生独立完成解答。4.教师总结。答案：（1）京杭旅行社：32600+(14+3)26002=29900（元）华南旅行社：26000.6(14+3+3)=31200
17、（元）29900元31200元答：选择京杭旅行社比较便宜。（2）解：设与x名小朋友拼团时，两家旅行社的费用是相同的。 32600+（x+3）26002=26000.6（x+3+3） 7800+1300（x+3）=1560（x+6） 解得 x=9 答：再与9名小朋拼团时，两家旅行社的费用是相同的。三、拓展运用，巩固提升（一）拓展问题44.儿童游乐场门票设定如下：（1）成人票每张120元；亲子票每张180元；（说明：亲子票含一个成人和一个儿童，如需单独购买儿童票，需在亲子票基础上增购关联儿童票，关联儿童票每张60元。）（2）团体5人以上（含5人）每位100元。如果有6位大人和3位小孩，怎样买票最省
18、钱？ 1.学生读题，理解题意。2.师生合作，教师引导。 师：我们先一起来分析题目，最难理解的部分是亲子票这里，你如何理解？ 生：亲子票中，包含一个成人，一个儿童，一共是180元。 师：什么是关联儿童票？能单独购买吗？ 生：关联儿童票不能单独购买，一定是已经购买了一张亲子票的基础上，如果还有儿童，可以在此基础上，单独购买儿童票，每张60元。 师：明白了收费标准，现在有6个大人，3个孩子，如何购买。我们先来比较一下，怎样购票比较合适。我们先来看成人票，正常每张120元，团体每位100元，亲子票中，2人180元，相当于每人90元。儿童票呢？ 生：亲子票中，相当于每人90元，增购儿童票，每人60元。
19、师：通过上面的分析，我们发现，儿童是不是购买增购的儿童票更划算呢？那样3个儿童，我们可以怎么购买门票？ 生：先购1张亲子票，再增购两张关联儿童票。 师：给儿童买好了，现在还有几个成人呢？ 生：因为已经有一个成人购买了亲子票，所以还有5个成人，成人尽量购买团体票，5个人可以购买团体票。3.学生之间相互讲解，列式解答。4.总结交流。答案： 购买1张亲子票，增购2张儿童票，已经5人团体票时，最省钱。 费用： 180+60（3-1）+(6-1)100=800（元） 答：购买1张亲子票，增购2张儿童票，以及5人团体票时，最省钱，为800元。（二）拓展问题55.北京、洛阳分别有9台和5台完全相同的机器，准
20、备给杭州6台、西安8台，每台机器的运费如下图。如何调运能使总运费最省？1.学生读题，师生共同分析题意。师：你能读懂表格吗？表格各部分是什么意思？生：第一列是发站，第一行是到站，也就是运往的目的地，从北京运往杭州每台800元，运往西安每台1000元，从洛阳运往杭州每台700元，运往西安每台600元。2.师生共同分析，教师适时出示解析。师：大家真棒，已经完全解读了表中的信息，那么题中要求怎么分配运费最少，我们在运费中寻找一下突破口。看从不同地方运往杭州的费用，哪个地方运往杭州划算？哪个地方运用西安划算。生：从北京运往杭州的费用低，所以北京的机器尽量运往杭州；洛阳运往西安的费用低，所以洛阳的机器尽量
21、运往西安。3.学生独立完成计算，同桌之间相互讲解。4.教师小结。本题我们通过不同地方运往目的地运费的高低不同找到了解题的突破口，所以在解决问题时，大家应细心观察信息，认真分析。答案：最佳调运方案：北京运往杭州6台，运往西安3台； 洛阳运往西安5台。总费用：8006+1000（9-6）+6005=10800（元）答：北京运往杭州6台，运往西安3台； 洛阳运往西安5台时，费用最省，为10800元。四、拓宽视野在一条公路上有四个工厂，每个工厂之间的距离相等，每个工厂的工人数如图所示。现要在这条公路上设一个车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？（本题难度不是很
22、大，以“所有工人步行到车站总路程最少”为突破口，明白车辆应尽可能位于四个工厂的中心位置且距离人口多的工厂较近的地方。）答案：要使得这四个工厂的所有工人步行到车站总路程最少，这个车站应设在3号工厂门口。五、小结最优化问题常见题型：1.统筹问题：在时间安排中，能够同时完成的要同时做。2.费用最省：在方案选择问题中，可列表比较也可直接比较单位费用的多少。 （注：在解决租船、用车问题时，要尽可能的使用人均费用低的，同时还要尽量避免出现剩余，减少浪费。）3.损耗最小：空驶的路程最短。拓展问题1.按“多多欢欢小佳乐乐”的顺序接水。多多：2分欢欢：2+3=5（分）小佳：2+3+5=10（分）乐乐：2+3+5
23、+7=17（分）总时间：2+5+10+17=34（分）答：所用时间最少是34分钟。2.通过分析，长途通话时间最少为120秒，即2分钟。长途费用：120100.07=0.84（元）市话费用：1.84-0.84=1（元）市话通话时间：3+(1-0.2)0.1=11（分）总时间：11+2=13（分）答：小佳打这两次电话的总通话时间最多是13分钟。3.解：设再过x秒，电影开始放映。 10(x+260)=15(x-160) 10x+1200=15x-900 解得x=420 路程：10(420+260)=5400(米) 5400米=5.4千米 420秒=7分 故电影放映时间为19:37 答：从游乐园到电影院要走5.4千米。电影19:37开始放映。4.购买1张亲子票，增购2张儿童票，以及5人团体票时，最省钱。 费用： 180+60（3-1）+(6-1)100=800（元） 答：购买1张亲子票，增购2张儿童票，以及5人团体票时，最省钱，为800元。5.最佳调运方案：北京运往杭州6台，运往西安3台； 洛阳运往西安5台。总费用：8006+1000（9-6）+6005=10800（元）答：北京运往杭州6台，运往西安3台； 洛阳运往西安5台时，费用最省，为10800元。
