1、不等式的基本性质及绝对值不等式教案不等式的基本性质及绝对值不等式教案适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域全国通用课时时长（分钟）60知识点不等式的性质、意义、和含参数不等式的解法教学目标考查不等式的应用和解决实际问题的应用教学重点不等式的基本形式，意义和变形教学难点1突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养教学过程一、课堂导入1.前面我们学习了不等式的基本性质，那我们如何去解决含有绝对值的不等式呢？二、复习预习1两个实数大小关系2不等式的基本性质3绝对值三角不等式4绝对值不等式的解法三、知识讲解考点1 含绝对值不等式的解法
2、我们可以通过两边平方的方法去掉绝对值，然后再根据不等式的解法去解。 考点2绝对值三角不等式的放缩功能 考点3 含参绝对值不等式的最值问题 含有绝对值的最大值和最小值我们可以借助数轴来分析。考点4 含绝对值不等式的恒成立问题 四、例题精析考点一 含绝对值不等式的解法【例1】设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值【规范解答】(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得，|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0
3、，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.【总结与反思】 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解考点二 绝对值三角不等式的放缩功能例2 已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.【规范解答】证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|从而3|y|，
4、所以|y|.【总结与反思】含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|ab|a|b|及推广形式|a1a2an|a1|a2|an|进行放缩应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件考点三 含参绝对值不等式的最值问题例3 设函数f(x)|x1|xa|. (1)若a1，解不等式f(x)3； (2)如果对于xR，f(x)2，求实数a的取值范围【规范解答】解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，由f(x)3得：|x1|x1|3，法一由绝对值的几何意义知不等式的解集为.法二不等式可化为或或不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(
5、x)f(x)的最小值为a1.所以对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为(，13，)【总结与反思】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值考点四 含绝对值不等式的恒成立问题例4 设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)，(1)若|a|1，求证：|f(x)|；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值【规范解答】设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，当x1，即x210时，|f(x)|g(a)|1；当1x1，即x210时，g(a)(x21)ax是单调递
6、减函数|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；g(a)ming(1)x2x12.|f(x)|g(a)|.(2)解当a0时，f(x)x，当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，a0.又f(1)a1a1，f(1)a1a1，故f(1)和f(1)均不是最大值，f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得，命题等价于解得a2.【总结与反思】含绝对值不等式的证明题主要分为两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元 法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab| |a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑 利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明课程小结 1.知识总结：基本不等式的性质，含有绝对值的不等式 2.思想方法总结：分类讨论，待定系数法，数形结合。 3.对于不等式的放缩法应用起来较难，平时通过一些典型的例题让学员知道如何去放缩，常见的放缩，通常与与 哪些题型结合。
