1、设经过时间t，物体前进的位移s1=BC，如图所示.过C点作CDAB，当t0时，BAC极小，在ACD中，可以认为AC=AD，在t时间内，人拉绳子的长度为s2=BD，即为在t时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC=由速度的定义：物体移动的速度为v物=人拉绳子的速度v=由解之：v物=例2、A、B质量均为m，且分别用轻绳连接跨过定滑轮，不计一切摩擦力当用水平力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动过程中（）A物体A也做匀速直线运动B绳子拉力始终大于物体A所受重力C物体A的速度小于物体B的速度D地面对物体B的支持力逐渐增大分析：设物体B匀速速度为v，物体B的运动使绳子参与两种分运动：绳子沿定滑轮为圆心垂直
2、于绳子转动，另一分运动是沿绳伸长的分运动，合运动就是物体以速度v向右匀速直线运动v1=vsinsinv1vA=v2=vcos cosv2物体A作变加速运动对B：TyN=mg开始时Nv1时，即船头斜向上游与岸夹角为，船的合速度可垂直于河岸，航程最短为d，此时沿水流方向合速度为零v2cos=v1即船头斜指向上游，与河岸夹角，船航线就是位移d渡河时间（ii）当v2Vs,怎样渡河位移最小？（3）若VcVs时，船才有可能垂直于河岸横渡。（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头Vc与河岸成角，合速度V与河岸成角。可以
3、看出：角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，角最大，根据cos=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：=arccosVc/Vs.船漂的最短距离为：此时渡河的最短位移为：（三）求解绳联物体的关联速度问题对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。例7、如图1所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上
4、运动，求v1v2。分析与解：如图2所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1圆周运动中的临界问题：（1）如下图所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用。由得如果小球带电，且空间在在电、磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度能过最高点条件：（当时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）不能过最高点条件：（实际上球还没到最高点就脱离了轨道，脱离时绳、轨道和球之间的拉力、压力为零）（2）如下图所示的有物体支撑的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的临界条件：v0（有
5、物体支承的小球不会脱落轨内，只要还有向前速度都能向前运动）（3）如上图（a）的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：当v=0时，Nmg（N为支持力，方向和指向圆心方向相反）当 0v时，N随v增大而减小，且mgN0（N仍为支持力）当v时，N=0当v时，N随v增大而增大，且N0（N为拉力，方向指向圆心）注意：若是上图（b）的小球，此时将脱离轨道作平抛运动，因为轨道对它不能产生拉力7、处理圆周运动的动力学问题时需要注意的两个问题：在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：（1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如
6、下图所示小球做圆周运动的圆心O在与小球同一水平面上的O 点，不在球心从也不在弹力FN所指的PO线上（2）向心力是根据力的效果命名的在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力圆周运动的临界专题（1）细线系球模型细线系着小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，小球在最高点，受拉力T和重力G作用，即T+G=mv2/r，在T=0时，速度v最小为，即此模型中最高点的速度v与此模型等效的是小球在圆轨道内侧做圆周运动，如图5-5。如果在最高点速度小于，重力提供此速度的向心力多了，小球将脱离轨道运动，其实小球在达最高点之前就已经脱离了轨道。（2）杆系球模
7、型轻杆连着小球在竖直面内做圆周运动，如图1所示，小球在最高点时的受力与速度的大小有关：A v=，重力正好作此速度的向心力，小球不受杆的其它作用力。Bv，重力作此速度的向心力少了，小球受杆的拉力补充重力的不足。Cv，重力作此速度的向心力多了，小球受杆的支持力，抵消多余的重力图1图2与此等效的模型是小球在圆管内作圆周运动，如图2所示。例2、如图所示，0.5米长的轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，m=1kg，不计一切摩擦，求（1）最低点速度为4m/s时，球能否上升到最高点，如能，则小球受到的杆的作用力为多大？（2）最低点速度为m/s，物体在最低点和最高点受杆力的大小和方向个为多大？（3）最低点速度
8、为6m/s，物体在最高点受杆的作用力为多大？解析：要判断质点能否达最高点的方法是：假设能到最高点，求其速度，如有不为0的解，则假设正确；如有为0的解，说明刚好达最高点；速度无解，说明不能达最高点。设初速度为v0，最高点速度为v，由动能定理得：代入数据v无解，说明到不了最高点用表达式，可解得：在初速度为m/s时，最高点速度为v=m/s，而此速度小于说明小球受到支持力N=14N（3）用表达式，可解得：在初速度为6m/s时，最高点速度为4m/s，此速度比=m/s大，说明小球受到拉力作用。T=22N例3、（1997全国）一内壁光滑的环型细圆管，位于竖直平面内，环的半径R（比细管的半径大得多），在圆管内
9、有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量m1,B球质量m2，经过最低点的速度均为v0，设A球运动到最底时，B球恰好运动到最高点，若此时两球作用于圆管的合力为0，那么m1、m2、R和v0应满足的关系式为什么？由圆周运动的知识可知：A对轨道的作用力一定向下，为了使A和B对轨道的作用力合力为零，所以B对轨道的作用力一定向上，A和B的受力如图所示。A：Na-m1g=mv0/R2B：Nb+m2g=mv/R2而对B：由动能定理得-mg2R=mv2-mv02又有解得（m1-m2）+（m1+m2）g=0本题的关键在于正确对A和B进行受力分析，其次要综合应用动能定理（或机械能守恒）牛顿第二定律。
10、例4、（1999年全国高考题）如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是Aa处为拉力，b处为拉力Ba处为拉力，b处为推力Ca处为推力，b处为拉力Da处为推力，b处为推力a处一定为拉力小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力，而重力方向竖直向下，故杆必定给球向上的拉力小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力，即小球的重力恰好提供向心力，设此时小球速度为vc，则mgmvc2/R，当小球在最高点的速度vvc时，所需向心力Fmg，杆对
11、小球有向下的拉力；若小球的速度vvc，杆对小球有向上的推力，故正确选项为A、B例5、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（）A物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B物体所受弹力增大，摩擦力减小了C物体所受弹力和摩擦力都减小了D物体所受弹力增大，摩擦力不变物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图所示）。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等
12、于其重力。而根据向心力公式，当角速度较大时也较大。故本题应选D。例6、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L2R）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为，则有： 要使列车能通过圆形轨道，则必有v0,解得离心运动：（1）离心现象条件分析做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示，当产生向心力的合外力消失，F0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，Fmr2，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中B示汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡增大向心力说明：若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动。
