1、求数列前n项和的七种方法求数列前N项和的七种方法1.公式法等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k4 =(2k - lak d，即前n项和为中间项乘以项数。这个公 式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1 时，Sn = nai其他公式:log 2 3例 1已知 log3 x =，求 x + x +x + +xn + 的前 n 项和.一 1log 2 3解：由 log3x = ： log 3 x - - log 3 2 =由等比数列求和公式得S x x2 x3xn (利用常用公式)例 2设 S= 1+2+3+n.* -n N,求 f (n)二Sn(n 32)Sm的最大值
2、.解：由等差数列求和公式得Snf (n)=(n +32)5 +2n 34n 64n 34 64 (、. n - 8 )2 50n .一 n3（裂项求和）=(、.$2 j1)(:,3 *$2) n -.-1 n)例10在数列a n中，an2，求数列b n的前n项的和.anan 12+ n 1 n 1彳=8(丄-丄)(裂项)n 1 n n 12数列bn的前n项和1 1111 1Sn = 8(1 -)(一 -)(一 ) (2 2 3 3 4 n=8(1 1=8n例11求证:cos1cos0 cos1 cos1 cos 2- - 2cos88 cos89 sin 1解：设S = cos0 cos1 c
3、os1 cos2cos88 cos89sin 1tan(n 1) - tan n (裂项)cos n cos(n 1)二 S = -cos0 cos1 cos1 cos2$ (裂项求和)cos88 cos891 . . 1 :(tan 89 - tan 0 )= sin 1cot 1sin 1cos1sin21原等式成立练习：求13, 115,135, 163 之和。丄.丄315 35 63 1 3 3 5 5 7 7 9J(1_1)(1_1)2 3 235 257 2791=2 l(11 1 1 1 1 1 1)( )( )( )3 3 5 5 7 7 9= 1(1 _丄)=429 96.合
4、并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和，然后再求 S.例 12求 cosl +cos2 +cos3 + +cos178 +cos179 的值. 解：设 S= cosl +cos2 +cos3 + +cos178 +cos179cos n - _cos(180 一 n )(找特殊性质项) S=( cosl +cos179) + (cos2 +cos178) + (cos3 +cos177) + + (cos89 +cos91 ) +cos90 (合并求和)=0例 13数列an : ai =1 =3 = 2, a* 2 二
5、 a* 1 -a*，求 S02.解军：设 S2oo2= a1 a2 a3 亠 亠 a2002由 ai = 1, a2 = 3, a3 = 2, a* .2 二 a* i - a* 可得 a6k 1 a6k 2 a6k:(3 a6k 4 a6k 5 a6k 6 0 (找特殊性质项)Soo2= a1 a2 a3 -2002 (合并求和)(a1 a2 a a6) (a7 a a12) (a6k 1 a6k 2 a6k 6)I=ai999 a2000 a2001 a2002=a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4解：设 Sn=log3a1 log 3 a 舄log381。由等比数列的性质m，n
6、 =p y amaapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质logaM loga N = logaM N得Sn=(log3a1 log3a10)(logsa? log 389)亠 (log 3 a5 log3 a6)(合并求和)=(log3 a1 a10) (log 3 a2 a9) (log 3 a5 a6)=log3 9 log3 -log39=107.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的 规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法 例 15求 1+11 +111 + +142 44 之和.n个11 1解：由于1442 944
7、2443 (10k-1)(找通项及特征)1 9 m 9-1 11 111 112 441n个1111 1(101 -1) (102 一1) (103 _1) (10n -1)(分组求和)9 9 9 91 1 2 3 n 1= (101 102 103 /0n)_ (14-44412 444441)9 9 n个 1二 4 .（11） 8 丄二哽34 4 3练习：求5, 55, 555,，的前n项和。解： an=59（10X） s=59(10-1)+ 59(102-)+ 59(10 3-1)+ +59(10 n-1)=59 (10+16+103+10n) -n5=81 (10n+ 1-9n-10 )以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其 能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解 决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。1 11 (ta n 1 _ta nO ) (ta n2 _ta n1 ) (ta n3 - ta n2 ) ta n 89 - ta n88 sin 1
