1、建立如图所示的直角坐标系.设矩形ABCD的长、宽分别为a,b,PA长为c,则A（0,0,0）,B（b,0,0）,D（0,a,0）,C（b,a,0）,P（0,0,c）.则=（b,a,-c）,=（-b,a,0）,=（0,-a,0）,=（b,0,-c）,=（0,a,-c）,=（b,0,0）,=（0,0,-c）,=（-b,0,0）.=-b2+a2不一定为0.=0,=0,=0.6.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于（）A.5 B.6 C.4 D.8设=a,=b,=c,则=a+b+c,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=25,因此|=
2、5.7.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A.- B.- C. D.如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,A（1,0,0）,C（0,1,0）,E.则=（-1,1,0）,若异面直线DE与AC所成的角为,cos =|cos|=.D8.已知a=（2,-1,2）,b=（2,2,1）,则以a,b为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C.4 D.8|a|=3,|b|=3,而ab=4=|a|b|cos,cos=,故sin于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=|a|b|sin直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.直线BC1与平面A1
3、BD所成角的余弦值为.第卷（非选择题共50分）二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上）11.若向量a=（1,1,x）,b=（1,2,1）,c=（1,1,1）,满足条件（c-a）（2b）=-2,则x=.c-a=（0,0,1-x）,2b=（2,4,2）,由题意得02+04+（1-x）2=-2,解得x=2.212.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.（用a,b,c表示）=a+b+c.a+b+c13.若平面的一个法向量为n=（3,3,0）,直线l的一个方向向量为b=（1,1,1）,则l与所成角的余弦值为.cosl与所成角的余弦值
4、为.14.如图,AB=AC=BD=1,AB平面M,AC平面M,BDAB,BD与平面M成30角,则C,D间的距离等于.|2=|2=|2+|2+|2+2+2+2=1+1+1+0+0+21cos 120=2.故|=.15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和的值为.以D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E（x,1,1）,B1（1,1,0）,F（0,0,1-y）,B（1,1,1）,=（x-1,0,1）,=（1,1,y）.B1E平面ABF,=（1,1,y）（x-1
5、,0,1）=0x+y=1.1三、解答题（本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）已知向量a=（1,-3,2）,b=（-2,1,1）,点A（-3,-1,4）,B（-2,-2,2）.（1）求|2a+b|;（2）在直线AB上,是否存在一点E,使得b?（O为原点）解:（1）2a+b=（2,-6,4）+（-2,1,1）=（0,-5,5）,故|2a+b|=5.（2）+t=（-3,-1,4）+t（1,-1,-2）=（-3+t,-1-t,4-2t）,若b,则b=0,所以-2（-3+t）+（-1-t）+（4-2t）=0,解得t=,因此存在点E,使得b,此时E点坐标为E.
6、17.（6分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.求证:（1）ACBC1;（2）AC1平面CDB1.证明:直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,且C1C垂直底面.AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C（0,0,0）,A（3,0,0）,C1（0,0,4）,B（0,4,0）,B1（0,4,4）,D.（1）=（-3,0,0）,=（0,-4,4）,=0,ACBC1.（2）设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E（0,2,2
7、）,=（-3,0,4）,.DEAC1.DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1平面CDB1.18.（6分）如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.（1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;（2）求点P到平面DEF的距离.（1）如图,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,P（0,0,2）,D,E,F,则.设平面DEF的法向量n=（x,y,z）,则解得取z=1,则平面DEF的一
8、个法向量n=（2,0,1）.设PA与平面DEF所成的角为,则sin =,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.（2）,n=（2,0,1）,点P到平面DEF的距离d=.19.（7分）在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.（1）证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE平面BB1C1C,并求出AE的长;（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.（1）连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E.AA1BB1,OEBB1.A1O平面ABC,A1OBC.AB=AC,OB=OC,AOBC.BC平面AA1O,BCOE.OE平
9、面BB1C1C.又AO=1,AA1=,AE=.（2）如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A（1,0,0）,B（0,2,0）,C（0,-2,0）,A1（0,0,2）,B1（-1,2,2）.由,得点E的坐标是.由（1）得平面BB1C1C的法向量是.设平面A1B1C的法向量n=（x,y,z）,由令y=1,得x=2,z=-1,得n=（2,1,-1）.所以cos=,即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评B 新人教A版选修2-11.（xx广东高考）已知向量a=（1,0,-1）,则下列向量中与a成
10、60夹角的是（）A.（-1,1,0） B.（1,-1,0）C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）对于A中的向量a1=（-1,1,0）,cos=-,a1与a的夹角为120,不合题意;对于B中的向量a2=（1,-1,0）,cos=,a2与a的夹角为60,符合题意;对于C中的向量a3=（0,-1,1）,cos=-,a3与a的夹角为120对于D中的向量a4=（-1,0,1）,cos=-1,a4与a的夹角为180,不合题意,故选B.2.（xx广东高考）已知向量a=（1,2）,b=（3,1）,则b-a=（）A.（-2,1） B.（2,-1）C.（2,0） D.（4,3）由题意得b-a=（3,1）-（1
11、,2）=（2,-1）,故选B.3.（xx吉林模拟）已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量、法向量,若cos=-,则l与所成的角为（）A.30 B.60 C.120 D.150设l与所成的角为,则sin =|cos|=,故=304.（xx云南昆明模拟）如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE.则M点的坐标为（）A.（1,1,1） B.设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,AMEO.又O是正方形ABCD对角线交点,M为线段EF的中点.在空间坐标系中,E（0,0,1）,F（,
12、1）,由中点坐标公式,知点M的坐标.5.（xx陕西高考）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）不妨设CB=1,则B（0,0,1）,A（2,0,0）,C1（0,2,0）,B1（0,2,1）.=（0,2,-1）,=（-2,2,1）.cos故选A.6.（xx福建泉州二模）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是（）建立如图所示的空间直角坐标系,则D1（0,0,2）,A1（2,0,2）,D（0,0,0）,B（2,2,0）,=（2,0,0）,=（2,0,2）,=（2,2,0）,点D1到平
13、面A1BD的距离是d=.7.（xx广西桂林模拟）已知a=（2,-1,3）,b=（-1,4,-2）,c=（7,5,）,若a,b,c三向量共面,则实数等于（）不妨设c=xa+yb,则得解得x=,y=,从而求得=.8.（xx山西太原模拟）三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,BAD=90,BAC=60,则等于（）A.-2 B.2C.-2 D.2（）=22cos 90-2cos 60=-2.9.（xx山东潍坊模拟）如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120,测得从D,C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30米,CB=40米,又已知AB=20米,则
14、甲、乙两人相距（）A.50米 B.10米C.60米 D.70米由于,所以|2=（）2=|2+|2+|2+2（）=302+（20）2+402+2（0+0+3040）=4 900,于是|=70,故甲、乙两人相距70米.10.（xx深圳模拟）动点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC上,F是CD的中点,则二面角C1-EF-C的余弦值的取值范围是（）设棱长为1,|CE|=x（0x1）,则点E（x,1,0）,F,C（0,1,0）,C1（0,1,1）,=（x,0,-1）,.设平面C1EF的法向量n=（1,y,z）,则得n=（1,-2x,x）.而平面CEF的法向量为m=（0,0,1）,故cos11.（
15、xx湖北武汉模拟）已知=（2,2,1）,=（4,5,3）,则平面ABC的单位法向量是.设平面ABC的法向量n=（x,y,z）,令z=1,得所以n=,故平面ABC的单位法向量为=12.（xx上海高考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为.设正方体棱长为1,则A1（1,0,1）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,B1（1,1,1）,故=（0,1,-1）,=（-1,0,-1）,cos即A1B与B1C夹角为.13.（xx辽宁大连模拟）设点C（2a+1,a+1,2）在点P（2,0,0）,A（1,-3,2）,B（8,-1,4）确定的平面上,则a=.=（-1,-3,2
16、）,=（6,-1,4）.根据共面向量定理,设=x+y（x,yR）,则（2a-1,a+1,2）=x（-1,-3,2）+y（6,-1,4）=（-x+6y,-3x-y,2x+4y）,解得x=-7,y=4,a=16.1614.（xx云南玉溪一中月考）设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=.当APC为钝角时,则的取值范围是.由已知建立如图所示的空间直角坐标系,则A（1,0,0）,B（1,1,0）,C（0,1,0）,D1（0,0,1）,则=（1,1,-1）,=（,-）,=（1,0,-1）,=（0,1,-1）.故=（1-,-,-1）,=（-,-,）+（0,1,-1）=（-
17、,1-,-1）.显然APC不是平角,由APC为钝角,得0,即-（1-）-（1-）+（-1）20,故（-1）（3-1）0,解得1.15.（xx四川资阳三模）ABC和DBC所在的平面相互垂直,且AB=BC=BD,CBA=DBC=120,则AD和平面BCD所成的角为.设AB=1,作AOBC于点O,连接DO,则AOBC,ODBC.又平面ABC平面DBC,AO平面DBC,得AODO,故以点O为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.得下列坐标:O（0,0,0）,D,B,C,A.设n1=（x,y,z）,为平面BCD的一个法向量,故可设n1=（0,0,1）.则|cos直线AD与
18、平面BCD所成角的大小为90-45=454516.（6分）（xx天津高考）如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.（1）求证:MN平面ABCD;（2）求二面角D1-AC-B1的正弦值;（3）设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A（0,0,0）,B（0,1,0）,C（2,0,0）,D（1,-2,0）,A1（0,0,2）,B1（0,1,2）,C1（2,0,2）,D1（1,-2,2）.又因为
19、M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N（1,-2,1）.（1）证明:依题意,可得n=（0,0,1）为平面ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.（2）=（1,-2,2）,=（2,0,0）.设n1=（x1,y1,z1）为平面ACD1的法向量,不妨设z1=1,可得n1=（0,1,1）.设n2=（x2,y2,z2）为平面ACB1的法向量,又=（0,1,2）,得不妨设z2=1,可得n2=（0,-2,1）.因此有cos=-,于是sin所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.（3）依题意,可设=,其中0,1,则E（0,2）,从而=（-1,+2,1）.又n
20、=（0,0,1）为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos=,整理得2+4-3=0,又因为0,1,解得=-2.所以,线段A1E的长为-2.17.（6分）（xx山东高考）如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.BD平面FGH;（2）若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.（1）证法一:连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平
21、面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.（2）解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,
22、GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G（0,0,0）,B（,0,0）,C（0,0）,D（0,0,1）.可得H,F（0,1）,故=（0,1）.设n=（x,y,z）是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=（1,-1,）.因为是平面ACFD的一个法向量,=（,0,0）,所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60解法二:作HMAC于点M,作MNGF于点N,连接NH.由FC平面ABC,得HMFC,又FCAC=C,所以HM平面ACFD.因此GFNH,所以MNH即为所求的角.在BGC中,MHBG,MH=BG=,由GNMGCF,可
23、得,从而MN=.由HM平面ACFD,MN平面ACFD,得HMMN,因此tanMNH=,所以MNH=6018.（6分）（xx浙江高考）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.A1D平面A1BC;（2）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.设E为BC的中点,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因为AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,从而DEA1A且DE=A1A,所以A1AED为平行四边形.故A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.（2）解:方法一:作A1FBD且A1FBD=F,连接B1F.由AE=EB=,A1EA=A1EB=90,得A1B=A1A=4.由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DB与B1DB全等.由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角.由A1D=,A1B=4,DA1B=90得BD=3,A1F=B1F=,由余弦定理得cosA1FB1=-.方法二:以CB的中点
