1、利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决。提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。这是把面面垂直转化为线面垂直的依据。运用时要注意“平面内的直线”。 【举一反三】 如图所示，已知PAO所在平面，AB是O的直径，点C是O上任意一点，过A作AEPC于点E，AFPB于点F，求证：（1）AE平面PBC；（2）平面PAC平面PBC；（3）PBEF。热点题型三 线面角与二面角的求法例3如图，在四棱锥PAB
2、CD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点。（1）求PB和平面PAD所成的角的大小。（2）证明AE平面PCD。（3）求二面角APDC的正弦值。由（2）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD。因此AME是二面角APDC的平面角。空间线面角、二面角的求法（1）线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足。（2）二面角的求法： 直接法：根据概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点，垂面法：如图1，过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角。图
3、1 图2垂线法：如图2，过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，ACB就是二面角的平面角或其补角。如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。B1C平面A1BD。（2）求二面角A1BDA的大小。（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值。（2）由题知，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，热点题型四 垂直关系中的探索性问题例4、如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是
4、DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。ADPB。（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论。（1）方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD。H是CG的中点，F是PC的中点，在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD。垂直关系中探索性问题的处理策略（1）探索性问题一般可以根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点。（2）折叠问题中的垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系。如图，在正三棱锥
5、ABCD中，BAC30，ABa，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点。（1）试判断四边形EFGH的形状，并说明判断理由；（2）设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH？请说明理由。【解析】 （1）四边形EFGH是一个矩形，下面给出证明：ADBC，AD面BCP，HGAD，HG面BCP，又HG面EFGH，面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP30，ACa，APa。1.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面
6、体ABCE与四面体ACDE的体积比由题设知AEC为直角三角形，所以.又ACD是正三角形，且AB=BD，所以.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:2. 【2017北京，文18】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积（1）见解析（2）见解析（3）. 因为为的中点，所以， .由（I）知， 平面，所以平面
7、.所以三棱锥的体积.1.【2016高考北京文数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.（）见解析；（）见解析；（III）存在.理由见解析.【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力2.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.（）证明：见解析；（）见解析.（）证明：因，所以与确定平面.3.【2016
8、高考天津文数】（本小题满分13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点. 平面BED；平面BED平面AED；（）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.（）详见解析（）详见解析（）4.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.BF平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.（I）证明见解析；（II）.（）延长相交于一点，如图所示.因为平面平面，且，所以1.【201
9、5高考广东，文18】（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，平面；（2）证明：（3）求点到平面的距离（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是2.【2015高考湖北，文20】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为
10、阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. 平面. 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（）（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是3.【2015高考湖
11、南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。（I）证明：平面平面；（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。（I）略；（II） .（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形 的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，4.【2015高考山东，文18】 如图，三棱台中，分别为的中点.（II）若求证：平面平面. 【答案】证明见解析（I）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则
12、为的中点，又是的中点，所以,又平面，平面，所以平面. （II）证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面5.【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.（II）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.（I） 证明略，详见解析；从而四棱锥的为，由，得.6.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并
13、说明你的结论.（）证明：直线DF平面BEGABFHEDCG7.【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.（I）见解析（II）（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（II）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.8.【2015高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（2）求直线和平面所成的角的正
14、弦值.（1）略；（2） （1）设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以 因为平面，所以平面.9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF/BC.AB平面PFE.（）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.（）祥见解析，（）或. （2）解：设,则在直角中，.从而由（1）知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角中，,体积,故得，解得，由于，可得.所以或.1（2014福建
15、卷）在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图15所示ABCD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值图15【解析】解：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.（2）过点B在平面BCD内作BEBD.由（1）知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）2（2014湖南卷）如图16所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有
16、棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形O1O底面ABCD；（2）若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值6.故cosC1HO1.即二面角C1D的余弦值为.方法二：因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直图（b）如图（b），以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz，不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1，于是相关各点的坐标为O（0，0，0），3（2014江西卷）如图16，四棱
17、锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.ABPD.（2）若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值因为ABCD为矩形，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O（0，0，0），B，C，D，P，故，（0，0），CD.设平面BPC的一个法向量为n1（x，y，1），则由n1，n1，得解得x1，y0，则n1（1，0，1）同理可求出平面DPC的一个法向量为n2.设平面BPC与平面DPC的夹角为，则cos
18、 .5（2014辽宁卷）如图15所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点EFBC；（2）求二面角EBFC的正弦值方法一，过点E作EOBC，垂足为O，连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC，所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，所以BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.图1方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所图2（2）方法一，在图1中，过点O作OGBF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC平面BDC，所以EO面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EG
19、BF，因此EGO为二面角EC的平面角在EOC中，EOECBCcos 30由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而得sinEGO，即二面角EC的正弦值为.6（2014新课标全国卷）如图15，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.ACAB1；（2）若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角A A1B1 C1的余弦值连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.（2）因为ACAB1，且O为B1C的
20、中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOA BOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又ABBC，则A，B（1，0，0），B1，C. 1在空间中，l，m，n，a，b表示直线，表示平面，则下列命题正确的是（）A若l，ml，则mB若lm，mn，则mnC若a，ab，则bD若l，la，则a【答案】D【解析】对于A，m与位置关系不确定，故A错，对于B，当l与m，m与n为异面垂直时，m与n可能异面或相交，故B错，对于C，也可能b，故C错，对于D，由线面垂直
21、的定义可知正确。2已知平面与平面相交，直线m，则（）A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【答案】C【解析】如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在。3如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（）ABC平面PDFB. DF平面PAEC. 平面PDF平面PAED. 平面PDE平面ABC4已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命
22、题中不正确的是（）A若mn，m，则nB若m，m，则C若m，m，则D若m，n，则mn【解析】选项A是线面垂直的性质定理；选项B是两个平面垂直的判定定理；选项C是两个平面平行的判定方法之一；选项D中，若m，an，则只能得到m，n没有公共点，于是mn或m，n异面。5已知l，m为不同的直线，为不同的平面，如果l，且m，那么下列命题中不正确的是（）A“l”是“”的充分不必要条件B“lm”是“l”的必要不充分条件C“m”是“lm”的充要条件D“lm”是“”的既不充分也不必要条件6如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A
23、BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是（）AAD平面BCDBAB平面BCDC平面BCD平面ABCD平面ADC平面ABC【解析】在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，所以CDAB，又ADAB，ADCDD，故AB平面ADC，从而平面ABC平面ADC。7已知不同直线m，n与不同平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则。其中真命题的个数是_个。【答案】2【解析】平行于同一平面的两直线不一定平行，所以错误。根据线面垂直的性质可知正确。根据面面垂直的性质和判断定理可知
24、正确，所以真命题的个数是2个。8在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为_。【解析】PC平面ABC，CM平面ABC，PCCM，PM。要使PM最小，只需CM最小，此时CMAB，CM2，PM的最小值为2。 9如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF。【答案】a或2a10.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BC1，BCC1，ABCC12。（1）求证C1B平面ABC。（2）设E是CC1的中点，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小。（1）因为BC1，BCC1，CC12，所以BC1，BC2
