1、师大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.生甲我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.生乙因为，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.师经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做投影片2.1.1 A（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗？师请大家先回忆一
2、下勾股定理的内容.生在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.师在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.生甲因为22=4，32=9，459，所以b不可能是整数.生乙没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.生丙因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.师大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一
3、切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.课堂练习（一）课本P25随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2
4、，高为h， of square root），其中a叫被开方数.师我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答.生我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.师大家非常聪明且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能继续发扬下去.2.平方根的性质师请大家思考以下问题.（1）一个正数有几个平方根.（2）0有几个平方根?（3）负数呢？生第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和3；因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如3没有平方根.师太
5、精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.3.讲解例题例求下列各数的平方根.（1）64；（2）；（3）0.0004；（4）（25）2；（5）11.解：（1）因为（8）2=64，所以64的平方根是8，即=8；（2）因为（）2=，所以的平方根是，即；（3）因为（0.02）2=0.0004，所以0.0004的平方根是0.02，即0.02；（4）因为（25）2=（25）2，所以（25）2的平方根是25，即25；（5）11的平方根是.师请大家口述上题中各数的算术平方根.生64的算术平方根为8；的算术平方根为；0.0004的算术平方根为0.02； （25）2的算术
6、平方根为25；11的算术平方根为.4.想一想（1）（）2等于多少？（）2等于多少？（2）（）2等于多少？（3）对于正数a，（）2等于多少？（1）（）2=64；（）2=；（2）（）2=7.2；（3）（）2=a（a0）（一）随堂练习1.求下列各数的平方根1.44，0，8，441，196，104因为（1.2）2=1.44，所以1.44的平方根是1.2，即1.2；因为02=0，所以0的平方根是0.即=0；）2=8.所以8的平方根是因为，所以的平方根是21）2=441，所以441的平方根是21，即21；14）2=196，所以196的平方根是14，即14；因为104=，（）=，所以的平方根是2.填空（1）
7、25的平方根是_；（2） =_；（3）（）2=_.（1）5；（2）5；（3）5.（二）补充练习投影片：（2.2.2 B）1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.（1）（3）2；（2）0；（3）0.01；（4）52；（5）a2；（6）a22a+22.求下列各数的平方根.（1）121；（2）0.01；（3）2；（4）（13）2；（5）（4）3.1.分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.（1）（3）2=90（3）2有平方根（2）0的平方根是它本身0有平方根（3）0.0100.01没有平方根（4）52=25052没有平方根（5）当a=0时，a2=0，有平
8、方根当a0时，a20，没有平方根.（6）a22a+2=（a1）2+1，无论a取何有理数，（a1）2+10a22a+2有平方根.说明：（1）负数没有平方根（2）第（4）小题容易犯错误，52=250.2.分析：根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中2，（13）2=169，（4）3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.（1）（11）2=121121的平方根是1111；（2）（0.1）2=0.010.01的平方根是0.10.1；（3）2，（）2=2的平方根是（4）（13）2=169，（13）2=169（13）2的平方根是1313；（5）（4）3=64，（8
9、）2=64（4）3的平方根是88.课时小结本节课学了如下内容.1.平方根的概念.2.平方根的性质.3.平方根与算术平方根的区别与联系.4.求某些非负数的算术平方根和平方根.课后作业习题2.4.活动与探究1.对于任意数a，一定等于a吗？不一定当a=2时， =2当a=时，当a=0时， =0当a=2时， =2当a时， =.综上所述，当a0时， =a当a0时， =a2.中的被开方数a在什么情况下有意义，（）2等于什么？因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必须是正数或零，即非负数时有意义.当a=1时，（）2=12=1当a=4时，（）2=22=4当a=0时，（）2=0.所以（
10、）2=a（a0）板书设计2.2.2 平方根（二）一、平方根的定义；平方根的性质；平方根与算术；平方根的区别与联系.二、例题讲解三、练习四、小结五、作业2.3 立方根 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这
11、就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.立方根的概念.1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.类比学习法.平方根与立方根的联系与区别（记作2.3 A）；2.3 B）.新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？.新课讲解1.师请大家先回忆平方根的定义.生若一个数x的平方等于a
12、，即x2=a，则x叫a的平方根.师在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.生因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.师当x4=a时，x叫a的什么根呢？生当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.师大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？生能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.师请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总
13、结后选代表发言.生甲我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=，x3=a时，x=也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？生乙因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是2，所以立方根的个数不正确.师大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root；也叫三次方根）如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号a.开立方的定义师大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.生求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫
14、做开立方，其中a叫做被开方数.（2）立方根的性质师2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？生2的立方等于8，（2）3=8，所以没有其他的数的立方等于8.师3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27？生3的立方等于27，33=27，所以没有其他的数的立方等于27.师0的立方等于多少？0有几个立方根？生0的立方等于0，0有1个立方根是0.师从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？负数有几个立方根？生正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.师对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.（3）平方根与立方根的区别与联系.师我们已经学习
15、了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.生从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.生一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.生它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为，立方根表示为.师很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面
16、我再系统地总结一下.2.3 A）平方根与立方根的联系与区别.联系：（1）0的平方根、立方根都有一个是0.（2）平方根、立方根都是开方的结果.区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”（2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.（3）表示法不同正数a的平方根表示为，a的立方根表示为.（4）被开方数的取值范围不同中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.2.例题讲解例1求下列各数的立方根：（1）27；（3）0.216；（4）5.（1）因为（3）3=2
17、7，所以27的立方根是3，即=3；（2）因为（）3=，所以的立方根是，即=；（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6；（4）5的立方根是.师请大家思考下列问题.表示a的立方根，则（）3等于什么？等于什么？大家可以先举例后找规律.生23=8，=2，（）3=8；（2）3=8，=2；（）3=8；（）3=，；（）3=，（）3=a.师若x3=a，则x=，x3=（）3=a.又a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就这两个式子进行练习.例2求下列各式的值：（1）；（3）；（4）（）3（1） =2；（2） =；（3） =；（4）（）3=9.1.求下列各式的值：
18、2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？设正方体的棱长是x厘米，得x3=833x3=216x=6（厘米）答：这个正方体的棱长是6厘米.2.3 B）1.求下列各数的立方根：0，1，6，0.0012.求下列各式的值：3.下列说法对不对？4没有立方根；1的立方根是1；的立方根是；5的立方根是；64的算术平方根是8.1.解：因为03=0，所以0的立方根为0.即=0；因为13=1，所以1的立方根为1.即=1；因为的立方根为.即；6的立方根为；的立方根为，即；0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即=0.1.2.解：3.答案：错.因为负数也有立方根
19、；错.因为1的立方根是1；错.的立方根是，平方根是对.5的立方根是，；对.议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V= r3得8r13=r238r13=r23（2r1）3=r23r2=2r1即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得na3=b3b=.即后来的棱长变为原来的倍.课时小结本节课学了如下内容：1.立方根的定义.2.立
20、方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.5.会求一个数的立方根.课后作业习题2.5.活动与探究1.求下列各式中的x.（1）8x3+27=0；（2）（x1）30.343=0；（3）81（x+1）4=16；（4）32x51=0.分析：先把每一个式子都化成x3=的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，（1）由8x3+27=0.8x3=27x3=x=（2）由（x1）30.343=0（x1）3=0.343x1=0.7x=1.7；（3）由81（x+1）4=16（x+1）4=x+1=x=1x=或x=；（4）由32x51=0x5=x=.2.求满足+1=x的x的值. =x1x1=1或x
21、1=0或x1=1x=0或x=1或x=23.计算（1）；（2）.（1）（2） =.一、（1）立方根开立方的定义（3）立方根与平方根的联系与区别二、例题讲解（求立方根）四、议一议五、小结六、作业2.4 公园有多宽1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.估算也是现实生活中一种常用的解决问题的方法，比如在工厂工人师傅要做一个正方体，使它的体积为900立方米，现有边长为5米，8米，10米的三种正方形材料
22、，问用哪一种材料作为正方体的表高比较合适，而工作师傅在领材料之前并不晓得材料的规格，那么在领材料时必须经过估算大致确定用哪一种材料，这就是估算的用处.这样的例子随处可见，有时问题是突然出现.因此有必要对学生进行这方面的训练，使他们在以后的工作中能处世不惊、沉着应战，用学到的知识去顺利解决实际生活中的难题.1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.指导尝试法.投影片三张：公园有多宽（记作2.4 A）；估算的步骤（记作2.4 B）；第三张：2.4 C）.导入新课师同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.生男
23、生大约170厘米，女生大约159厘米.师这位同学是怎样得出结果的呢？生我猜的.师猜字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.1.投影片：2.4 A）某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.（1）公园的宽大约是多少？它有1000米吗？（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）师要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量
24、的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？生因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米2，根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：2x2=400000x2=200000所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根.师非常精彩.在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.生12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.师
