1、（3）改变磁通，即改变励磁回路的调节电阻Rf以改变励磁电流。本文章所介绍的直流伺服电机，其中励磁电流保持常数，而有电枢电流进行控制。这种利用电枢电流对直流伺服电机的输出速度的控制称为直流伺服电机的电枢控制。如图1.2 图1.2Ea定义为电枢电压（伏特）。Ia 定义为电枢电流（安培）。Ra定义为电枢电阻（欧姆）。La定义为电枢电感（亨利）。Eb定义为反电动势（伏特）。If定义为励磁电流（安培）。Tm定义为电机产生的转矩（牛顿米）Bm定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效粘带摩擦系数（牛顿米度秒-1）Jm定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效转动惯量（千克米2）。1.3建立数学模型电机所产生的转矩
2、Tm，正比于电枢电流I与气隙磁通的乘积，即： Tm=K1nIa （1-1）而气隙磁通又正比于激励电流If，故式（1-1）改写为Tm=K1K2IfIa=KIa （1-2）对于激磁电流If为常数，K1K2If合并为一个常数K,称为电机力矩常数。电枢电流I的正负即代表电机的正反转。当电枢转动时，在电枢中感应出与电机转轴角速度成正比的电压，称为反电动势，即Eb=Kbm=Kbdmdt （1-3）其中Kb称为反电动势常数。电机的速度是由电枢电压E控制，应用基尔霍夫电压定律导出电枢电流I的微分方程式为：LadIadt+RIa+Eb=Ea （1-4）电枢电流I产生力矩，用来克服系统含负载的惯性和摩擦，可得Jm
3、d2mdt2+Bmdmdt=T=KIa （1-5）由式（1-3）与式（1-4）合并移项后可得：dIadt=-RaLaIa-KbLam+1LaEa （1-6）式（1-5）移项后可得：dmdt=KJmIa-BmJmm （1-7）将式（1-6）与式（1-7）以状态方程式来表示如下：ddtIam=-RaLa-KbLaKJm-BmJmIam+1La0Ea yt=0 1Im+0Ea （1-8）令R=1、L=0.2、Kb=1、Bm=0.1、Jm=5、K=0.5,1p229 ,代入式（1-8）可得：A=-RaLa-KbLaKJm-BmJm=-5-50.1-0.02 、 B=1La0=50 C=0 1 、 D=
4、0设x1=Ia，x2=m，则x=-5-50.1-0.02x+50u y=0 1x 1-92.1对所建的模型进行分析A= -5-50.1-0.02; B=01;C=0 12.2求矩阵的特征值和特征向量（1）特征值 对于线性定常系统 x=Ax+Buy=Cx 则I-A=det（I-A）=n+a1n-1+an-1+an 称为系统的特征多项式，令其等于零，即得到系统的特征方程 I-A=n+a1n-1+an-1+an=0式中的A为n*n的系统矩阵。特征方程的根ii=1,2,n称为系统的特征值。因为上述系统为线性定常系统，则I-A=0所求的根为系统的特征值。 解得 1=-4.8975； 2=-0.1125
5、得到的系统特征根都为负，系统稳定。（2）特征向量 设i是系统一个特征值，若存在一个n维非零向量pi,满足 Api=ipi或 iI-APi=0 则称Pi为系统相对应于特征值i的特征向量。2.3 将状态方程化为对角标准型 对于线性定常系统，若系统的特征值1，2， ，n互异，必存在非奇异变换矩阵P，经过x=Px或x=p-1x的变换，可将状态方程化为对角线标准型，即 X=100nx+bu 1和2互异，必存在非奇异变换矩阵P，经过x=Px的变换，将状态方程化对角为标准型。 由APi=iPi求出矩阵 P1= -0.9998 0.0205 P2= 0.7158 -0.6983P= -0.9998 0.020
6、5 0.7158 -0.6983 P-1= -1.0217 -0.0300 -1.0473 -1.4628X=P-1APX+P-1BUY=CPX X= -4.897500-0.1225X +-1.0473-1.4628UY=0.0205 -0.6983X得到新的矩阵：A= -4.897500-0.1225; B=-1.0473-1.4628;C=0.0205 -0.69832.4从状态空间表达式求取传递函数阵 线性定常系统的状态空间表达式为： x=Ax+Buy=Cx对上式取拉氏变换，可得 sX（s）-X（0）=AX（s）+BU（s） Y（s）=CX（s）+DU（s）设初始条件X（0）=0，则有
7、 sX（s）=AX（s）+BU（s） X（s）= C（SI-A）-1BU（s） Y（s）= C（SI-A）-1BU（s） = Gs U（s）得到传递函数：Gs=C（sI-A）-1B代入数值：得到Gs=0.5s2+5.02s+0.6根据传递函数可以写出新的能控标准型的状态空间： x= 01-0.6-5.02x+ 01uy=0.50还可以写出标准型（能观型实现） x= 0-0.61-5.02x+ 0.50uy=0 12.5 系统状态空间表达式的求解 设线性定常系统的齐次状态方程为 x=Ax （2-1）在这里初始值为t=t0,初始状态为x（t0）。系统齐次状态方程在初始状态x（t0）激励下的解x（t
8、）（其中tt0），称为系统的自由解或零输入解。设齐次状态方程的解x（t）为t的向量幂级数形式即 x（t）=b0+b1t+b2t2+biti+ （2-2）式（2-2）代入式（2-1），得 b1+2b2+ibiti-1+ =A（b0+b1t+b2t2+biti+） （2-3） 由于式（2-2）是式（2-1）的解，所以式（2-3）对所有时间t均成立，故式（2-3）等号两边t的同次幂级数应相等，即 b1=Ab0 b2=12Ab1=12A2b0 bi=1iAbi-1=1i!Aib0对式（2-2）,若令t=0,可得 b0=x（0） （2-4） x（0）为状态向量x（t）的初始值，即定常系统的初始状态。 将
9、bi（i=1,2,）及b0代入式（2-2）,得到 x（t）=b0+Ab0t+12iA2b0t2+1i!Aib0ti+ =（I+At+12iA2t2+1i!Aiti+）x（0） （2-5） 仿照标量指数函数e-at展开成幂级数形式 e-at=1+at+12iat2+1i!aiti+ （2-6） 将式（2-5）括号内n*n矩阵的无穷项级数和称为矩阵指数函数，记为eAt,即 eAt= I+At+12iA2t2+1i!Aiti+ （2-7） 则齐次状态方程的解可表示为x（t）= eAtx（0） 这里 求eAt 这里t=1s根据前面的分析，我们求出了系统的特征值和特征向量 eAt=PetP-1 eAt=
10、-0.0114-0.91860.01840.90352.6 Lyapunov第二法分析系统的开环稳定性线性定常连续系统 x=Ax在平衡状态Xe=0处，渐进稳定的充要条件是：对给定的一个正定对称矩阵Q,存在一个正定的对称矩阵P,且满足矩阵方程： AP+PA=-Q 而标量函数v（x）=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。我们这里我们选定对称矩阵Q时，常取Q=I，于是得AP+PA=-I取I=1001 求出P=0.10130.06640.06648.3977 1=P11=0.10130; 2=P11P12P21P22=0.10130.06640.06648.3977由此可知P0,正定。
11、系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。而系统的李式函数及其导函数分别为v（x）=xTPxv（s）= xT（-I）xt0，能够根据输出量y（t）在t0, tf内的测量值，唯一的确定系统在t0时刻的初始状态x（t0），则称次系统的状态是完全能观测的，或简称系统是能观测的。 若nm*n能观测性矩阵v0=CCACAn-1的秩是n构造系统的能观性矩阵，系统为二阶Vo=CCAVo=01 0.1-0.02=2=n原系统能观2.9 闭环系统的极点配置控制系统的性能主要取决于系统极点在跟平面上的分布。因此，在系统设计中，通常是根据对系统的品质要求，规定闭环系统极点应有的分布情况。所谓的极点配置就是通过选择反馈矩阵
12、，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。设受控系统的的状态空间表达式为： x=Ax+Buy=Cx通过状态反馈u=r-Kx能使其闭环极点任意配置的充要条件是系统完全能控。根据 f（s）=sI-（A-BK）和 f*（s）=（s-1）（s-2）.（s-n）使其s的多项式对应的系数相等，得到n个代数方程，即可求出 K= k1 k2 kn 这里，用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值，目标是使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右。通过大量仿真，我找到了期望极点值 P=-5 -0.5所以得到K=0.0960 -3.78082.10 状态观
13、测器的设计设线性定常系统的状态空间表达式为 x=Ax+Buy=Cx将输出方程对t逐次求导，代以状态方程并整理可得y=Cx y-CBu=CAx y-CBu-CABu=CA2x . y（n-1）-CBu（n-2）-CABu（n-3）-.-CA（n-2）Bu=CA（n-1）xy y-CBu y（n-1）-CBu（n-2）-.-CA（n-2）Bu=CCACAn-1x=V0x写出观测器的特征多项式f0s=sI-（A-LC）和期望的特征多项式 f0*s=（s-1）（s-2）.（s-n）使其s多项式对应项的系数相等，得到n个代数方程，即可求出反馈阵L=l1l2ln通过simulink仿真，我找到了一组观测器
14、的期望极点PO=-4 -5所以得到L=-5.00 3.98 2.11 生成系统状态估计器A= -500.1-4; B=-53.98;C=0 1 1 0 0 12-12 求输出和观测的传递函数 #1 Gs=3.98s+19.4s2+9s+20 #2 Gs=-5s+5 #3 Gs=3.98s+19.4s2+9s+202-13 对输出函数进行分析Gs=3.98s+19.4s2+9s+20写出状态空间表达式x= 0 1-20-9x+ 01uy=19.43.98解得 1=-4； 2=-5得到的系统特征根都为负，系统稳定。2-14 跟踪正弦波T=1:300;plot（T/10,y（1:300,:）;yla
15、bel（y）;legend（系统,观测plot（T/10,x1（1:x1plot（T/10,x2（1:x22-15 跟踪阶跃信号 T=1:源程序：%状态空间的四个矩阵 a=-5 -5;0.1 -0.02 b=5 0 c=0 1 d=0; %矩阵特征值和特征向量 p,j=eig（a） %状态方程的求解 t=1 a1=a*t v,d1=eig（a1） p1=expm（a1） %lyapunov第二法分析系统的开环稳定性 a2=a Q=1 0;0 1 h=lyap（a2,Q） %对角矩阵和特征根验算 inv（p）*a*p p*j*inv（p） %状态空间表达式 g=ss（a,b,c,d） %状态空间
16、表达式求传递函数：方法1 num,den=ss2tf（a,b,c,d）方法2 gc=tf（g） %构造能控性矩阵 qc=ctrb（a,b） %求能控性矩阵的秩 rank（qc） %构造能观性矩阵 qo=obsv（a,c） %求能观性矩阵的秩 rank（qo） %反馈控制期望闭环极点 P=-5 -0.5 k=acker（a,b,P） %验证配置结果 eig（a-b*k） %配置观测器期望极点 po=-4 -5 l=acker（a,c,po） eig（a-l*c） %开环阶跃响应 step（num,den） pause %生成系统状态估计器 est=estim（g,l） step（est） %分别
17、得到输出和观测状态的传递函数 tf（est） %跟踪正弦波 T=1: %跟踪阶跃信号3 结束语这次的现代控制理论作业，我花费了十几天时间。我前后把现代课本从头看了一遍，然后又翻阅了其它控制系统仿真关于matlab语言的书。找到lyapunov第二法分析系统的开环稳定性和状态方程的求解的程序，为分析系统做好了准备。按照要求，我从建立空间状态表达式开始，求解特征根和特征向量。由特征根分析了系统的稳定性，还是用了lyapunov第二法分析系统的开环稳定性。用所求的特征向量画出来对角矩阵。求出了传递函数，并且化成了能控标准型。判断了系统的能控性和能观性。为了使得闭环系统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃
18、响应的上升时间缩短3倍左右，我使用了simulink仿真，找到了合适的闭环极点的到了状态反馈阵和状态观测阵。最后得到的闭环反馈系统，分析了其稳定性。总的来说，这次大作业让我收益匪浅，为了完成作业，我对书中的概念反复多次的去看。对matlab软件也有了更深刻的认识，这次分析系统我用到了siumlink，这次作业的核心就在这里，通过siumlink我画出来反馈控制系统的状态变量图，这个过程开始会有一些难，但通过不断尝试能得到很深的理解。完成siumlink仿真，我把这次分析系统所用的程序和状态变量结合在一起，能到了仿真的结果，完成了这次分析的要求。大作业不同于以往的考试，对我们要求更高。相比与闭卷考试，我们需要掌握更多的知识，分析问题还可以借助更好的数学工具matlab软件，这次让我很好的学习了这款软件，对我的综合能力有了很大的提高。感谢老师这次大作业的机会，让我能够对现代控制学习有了更深刻的理解，对系统仿真也有了了解，学习了建立模型的方法。尽管花费了比考试更多的时间，但非常开心自己的提高。
