1、 拉普拉斯; 余子式; 分块对角阵New Proof of the Determinant Laplace Expansion Theorem and Its ApplicationAbstract: In this paper, the relative properties and theorem of determinant are discussed systematically . We will depict concretely a new proof of the laplace theorem and some related inferences, and through
2、the examples to illustrate the application of the laplace theorem in the determinant calculation and proof.Keywords: determinant; laplace; cofactor; block diagonal matrix前言行列式拉普拉斯定理是行列式按行（列）展开定理的推广，在高等代数教材中也略有阐述，但证明过程比较复杂且极少涉及到其应用.为了更好地理解拉普拉斯定理，了解其应用价值，文中给出了行列式的相关性质和定理，然后利用排列的逆序数的性质定理，得出拉普拉斯定理的新证明及相
3、关推论，并归纳了该定理在某些行列式计算和证明中的应用.1.预备知识行列式相关定义、定理陈列如下：定义1 由组成的一个有序数组称为一个级排列. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数记为. 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为技术的排列称为奇排列. 定义4 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个对换.定义5 在一个级行列式中任意选定行列（）.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式.定义6 当时
4、，在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为的余子式.定义7 设的级子式在中所在的行、列指标分别是；，则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式. 显然，如果在中选定行，那么由这行元素构成的所有阶子式的个数为. 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.2.预备定理 定理3 将由构成的一个级排列分解为两个排列与，则有.证明 设经若干次对换后变成从小到大顺序排列，经若干次对换后变成从小到大顺序排列，则有 （）. 考察级排列的逆序数，显然，当时，排列中排在后面的比小的数有个；当时，排列中排在后面
5、的比小的数有0个.因此故可得3.拉普拉斯定理 3.1一个新证明定理4 设在行列式中任意取定了（）个行，由这行元素所组成的一切级子式为（），它所对应的代数余子式为，则. 证明 定理要求证明 （1）.按行列式的定义完全展开，有项，而乘开有项，又和（）无公共项，所以（1）式右边有项，即展开后的项数与的项数相同.下面只要证明的任意一项也是的一项，定理即得证. 任取中的一项 （2），其中，为取子式的行的个行号，且；为其余的个行号,且.由定理3有：,于是（2）可以写成,其中 , .恰好是取第行列所构成的级子式中的一项,恰好是的余子式中的一项,从而就是中的一项.定理得证. 3.2 相关推论 3.2.1 行列
6、式的乘法规则推论1 证明：两个级行列,的乘积为,其中.证明 构造一个阶行列式将按前行展开,根据例3得.下面证明,对作初等行变换,将第行的倍,第行的倍,第行的倍加到第一行,得：再将第行的倍,第行的倍,第行的倍加到第行（）,得：将按前行展开,根据例4得所以. 3.2.2 分块对角阵的行列式定义8 设为阶矩阵，若的分块矩阵，只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即，其余都是方阵，则为分块对角阵.推论2 .4.应用 4.1 计算一般的行列式例1 计算.解 在中选定第一、二、三行，得到十个子式： . 其相应余子式为： . 则相应的代数余子式为： 则由拉普拉斯定理可知， 从这
7、个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的，这个定理主要是在理论方面应用. 4.2 计算零元素个数较多的行列式例2 计算行列式. 解 由于的第一、四行中只有一个2阶子式不为零,因此取这两行,然后根据拉普拉斯定理展开得.例3 计算行列式. 解 取第1、3、行,第1、3、列得子,相应的余子式为.根据拉普拉斯定理和范德蒙德行列式得 . 4.3 证明分块矩阵的乘法例 4 证明阶行列式.证明 在等式左端的阶行列式中,取定前行,由这行元素组成的阶子式中,只有取前列时,该子式不为0.根据拉普拉斯定理得同样方法可以证明.例 5 证明阶行列式.证明 在左端的行列式中,取定前行,组成的阶子式中只有后列
8、不为0.根据拉普拉斯定理得 由于与奇偶性相同,所以.同理可以证明.参考文献：1 张贤科,许甫华.高等代数学M.北京：清华大学出版社,1998.2 王萼芳,石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社,2003.3 同济大学应用数学系.线性代数M.上海：高等教育出版社,2004.4 王文省,赵建立.高等代数M.山东：山东大学出版社,2005.5 金秀岩.Laplace定理的一新证明J.牡丹江师范学院学报：自然科学报,1998,2（5）:31-33.6 张文丽.利用范德蒙德行列式计算行列式J.晋东南师范专科学校学报,2007,6（5）:4-6.7 朱亚茹.谈拉普拉斯定理及其应用J.华北电力大学学刊：自然科学报,2009,3（31）:55-56.8 周金贵.拉普拉斯展开定理的一新证明J.九江学院学报：自然科学报,2010,4（5）:14-16.
