1、 由第四章的式（4.1-5b）知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为 （8.1-2） 对于一维应力状态，在平面内，则实际上就是应力应变曲线与轴和所围成的面积（图8.1），即 （8.1-3）其中是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能变能表示物体在变形过程中所储存的能量。 1.3 应变余能 在图8.1中, 如果令表示应力应变曲线与轴和所围成的面积，即 （8.1-4）式中是物体变形过程某一指定时刻的应力。称为单位体积的应变余能，简称余能，有时又称其为应力能。 由于和是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有由此可见，与互补或互余对方为矩形的面积。显然，在线弹性情况下有，即
2、余能与应变能在数值上相等。 尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概念后，使讨论问题的范围扩大了。8.2 虚位移原理与最小势能原理2.1 虚位移原理设有变形体在外力作用下处于平衡状态。此处，外为包括体力分量，及一部分表面的面力分量，。假如有一组位移分量，既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓虚位移或位移变分，得到一组新的位移 （a）下面考察能量发生了什么变化。这时，外力在虚位移上所做的功（称为虚功）为 （8.2-1a）或 （8.2-1b）式中，为变形体的
3、全部体积，为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记为，给定位移的表面记为露。但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行，对于给定位移的那一部分表面，因无虚位移，故不必考虑。应该指出，这里所说的虚位移般并不是由实际外力所引起的，而是由其他因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。虚位移发生时，约束反力是不作功的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。 物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形，因此在变形体中就产生虚应变能，即 （8.2-2a）或写为 （8.2-2b）假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热能和动能的改变。则按照能量守恒定律或热力学第一定律，应变能在虚位
4、移上的增量，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有 （8.2-3）式（8.2-3）即为虚位移原理的位移变分方程，也称为拉格朗日（Lagrange）变分方程，有时也称为虚功方程。 因此，虚位移原理可叙述为：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。 现详细证明如下： 若在虚位移原理的变分方程（8.2-3）中，因给定位移的部分表面上，而在给定面力的部分表面上，边界条件成立。则式（8.2-3）中右边对的积分可以写为对整个物体表面的积分，即有 （8.2-4）运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有 （8.2-5）其中为外边界法线方向单
5、位矢量的方向余弦，即， ， 注意到以及其余的类似，因此由以上两式可得 （8.2-6） 式中。将式（8.2-6）代入式（8.2-4），有 （b）当物体处于平衡状态时，因为所以式（b）中笫一项积分为零。又因所以有于是由式（b）得将上式与式（8.2-2b）比较可知，有 以上证明说明，当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。 另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知 （c）将式（c）代入（8.2-2a），经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个关系式 （d）以及下列形式的三个关系式 （e）将式（d）、（e） 所表示构六个关系式代
6、人（8.2-2）式，则得 （f） 将式（f）代入式（8.2-3），并加以整理，得因为虚位移各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。因而证明是物体处于平衡状态的充分条件。从以上讨沦可知，虚位移原理变分方程（8.2-3）式等价于平衡方程与应力边界条件。因此，满足变分方得（8.2-3）式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。所以，虚位移原理也可表述为：变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。应当指出，式（8.2-3）等号左边表示，由于产生虚位移而引起物体内产生了虚应变能。这种虚
7、位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便种位移函数。也就是说。式（8.2-3）中的虚应变不是别的什么虚应变，而是由引起的，即它们之间满足下列条件 （8.2-7）此外，位移在己知位移边界上还应满足，因此在己知位移边界上虚位移应为零，即 （8.2-8）式（8.2-7）和（8.2-8）为方程（8.2-3）式的附加条件。因此，在应用虚位移方程式（8.2-3）时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位移能满足附加条件（8.2-7）式和（8.2-8）式，即应满足变形协调条件和几何边界条件。 应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理既适用于线弹性体、非
8、线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。例8.1 如图8.2所示跨长为，抗弯刚度为，受分布荷重作用的简支梁，试用虚位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。 解: 梁在平衡状态时，如果产生一虚 位移，由虚位移原理 （1）此处 （2） 由材料力学知，有 图8.2 受均布荷重简支梁 （3）根据变分法则知 （4）将式（3）、（4）代入式（2）并整理后，得对上式进行两次分布积分后，可化为 （5）外力所做虚功为 （6）将式（5）、（6）代入式（1），则得 （7）由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求，所以边界条件为考虑的任意灶，于是要使式（7）成立，必有 （8）式（8）即为该梁的挠曲线微分方
9、程。例8.2 如图8.3所示受均布荷重的简支梁，抗弯刚度为，跨中由弹性支座支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微分方程。 解 由例8.1知，变形能经两次分部积分后为 图8.3 受均布荷重简支梁 令弹簧内的反力为，则外力功为 （9）式中为梁在弹性支座处的挠度。因，因此可由以上两式得 （10）于是，由式（10）可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为同时，考虑到除弹性支座处外，均为任意性，要使式（10）成立，必有挠曲函数必须满足及。2.2 最小势能原理 从位移变分方程（8.2-3）出发，可以导出虚功方程。假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计，则原来作用在物体上的体力和面力的大
10、小与方向都保持不变。于是，按照变分原理，式（8.2-3）中变分的运算与积分的运算可以交换次序，故有 （g）由第四章的（4.1-5a）知，有在式（g）中左边积分项中引入各向同性弹性体的广义虎克定律，并注意到则有 （h）由第四章知，式中。 在式（h）中代入应变位移关系，得 （8.2-9） 当存在应变能时，式（g）可写为于是有 （8.2-10a）也可写为 （8.2-10b）其中 （8.2-10c）附加条件为 （在上） （8.2-10d）式中称为总势能，（=-）称为外力势能，称为弹性变形体的应变势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。式（8.2-10）说明，在给走的外力作用
11、下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势能取驻值。下面进一步让明有真实的位移总是使物体的总势能取最小值。 对于稳定的平衡状态，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒为正。实际上可以让明，总势能量的二阶变分为正。为此，令为变形许可的位移场，为真实解的位移场，与之相应的应变张量分别为和，于是当物体有虚位移时，有将进行泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶微量，可得 （k）于是，变形许可状态的总势能与真实变形状态总势能之差为 （l）因为 （m）由式（8.2-9）知 （n）比较式（k），（m）可得 （q）当足够小时，式（q）必为正，因为如果令，则，则式（k）可化为从而得由式（h）知，为正定
12、，所以 （8.2-11）上式表明如下一个原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。该原理称为最小势能原理。 物体在外力作用下所产生的位移场，除了满足位移边界条件外，还必须满足以位移表示的平衡力程以及应力边界条件。最小总势能原理说明，真实的位移除满足几何边界条件外，还要满足最小势能原理的变分方程。实际上以上已经证明变分方程（8.2-3）完全等价于平衡力程与应力边界条件。同样的结论也适用于式（8.2-9）。用最小势能原理和用泛定方程求解边值问题，只是形式上不同。以后将看到，这种解题手段的变更，在不少情况下将带来很大的力便，同时也扩大解题的
13、范围。由最小总势能原理可导出熟知的卡氏（Castigliano）第一定理：当应变能用广义位移表示为对，则广义力=。 例8.3 试由最小势能原理，弄略去剪应力影响，导出图8.2所示梁的挠曲线方程。 解:根据应变能密度和虎克定律，梁的变形能为有 （1）由材料力学知，其中 （2）将式（2）代入式（1），经整理后得 （3）外力功为根据最小势能原理的变分量为，并注意到因而 （4）将上式等号右边第一项分部积分两次，可得 （5）对于简支端，有边界条件为 （6）将式（5）代入式（4），并注意到（6），得由于任意性，因此有上式即为梁的挠曲线方程。8.3 位移变分法的应用基于虚位移原理的位移变分力程，提供了以位移
14、作为基本未知数的弹塑性力学问题的近似解法。瑞利里兹（Rayleigh-Ritz）和伽辽金（Galerkin）提出了各自解法，现分别介绍如下：3.1 瑞利里兹法 当给定面力和几何约束条件时，可以利用位移变分方程求解。因此时应力边界条件和位移边界条件为已知，由虚位移原理或最小势能原理所导出的变分方程（8.2-3）和（8.2-10a）均等价于平衡方程和应力边界条件，所以采用式（8.2-3）和（8.2-10a）求解肘，所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件，只需满足位移边界条件。 设位移函数为 （8.3-1）式中，为未知的待定的常数，满足边界条件，即在已知位移边界上，应有而为坐标线性独立的识定函数，
15、且在己知位移边界上满足这样，无论如何取值，位移函数总是能满足位移边界条件。 由于是设定的已知函数，因此对位移进行一阶变分时，只需对系数取一阶变分，即 （a）将式（8.3-1）代入虚位移原理变分方程（8.2-3）或最小势能原理变分方程（8.2-9a），由的任意性，可得确定全部系数的线性代数方程组。例如，将式（8.3-1）代入式（8.2-10a），可得式中系数的变分是完全任意的，彼此无关。于是，将上式整理后得 （8.3-2）由应变能函数表达式（8.2-9）及位移分量表达式（8.3-1）可知，应变能应是待定系数的二次函数，因而式（8.3-2）将是各个待定系数的线性方程组，共有3个方程。从方程组（8.
16、3-2）可解全部系数后，即可由式（8.3-1）求得位移分量。式（8.3-2）也可写为 （8.3-3）这一方法称为瑞利-里兹法，也称为里兹法。 选择合适的和，以及项数，可以获得精确度较高的位移解。将求得的位移代入用位移表示的应力表达式，在计算应力分量时需对位移求导，通常近似解的精度往往会因求导而降低，因此应力近似解的精度一般都较差。这是因为应力分量并不精确地满足平衡方程，只是满足平衡方程与一个加权函数乘秋的积分为零的条件，即要提高精度，只有增加式（83.3-1）中位移函数的项数，当项数时，则其解将收敛于精确解。3.2 伽辽金法如果选择的位移因数表达式（8.3-1），不仅能满足位移边界条件，还能满足应力边界条件，那么变分方程（8.2-3）或（8.2-10a）为 （8.3-4）注意到所取位移函数满足应力边界条件，因此由上式得即 （b）将式（b）展开为三个方程，则每个方程均含有个积分，并注意到变分关系式（a）和为任意值，所以耍使式（b）成立，则只能每个积分式均等于零，于是可得 （8.3-5）对于各向同性弹性变形体，将以上三个方程中的应力分量，通过广义虎克定律方程（4.2-14b）、几何方程（3.2-9）转换用位移分量表示，可得 （8.3-6）由式（8.3-1）可知，位
