1、b）：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c）：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有f（x）M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f（x）在区间I有界，否则便称无界。一个函数，如果在其整个定义域有界，则称为有界函数例题：函数cosx在（-,+）是有界的.、函数的单调性：如果函数在区间（a
2、,b）随着x增大而增大，即：对于（a,b）任意两点x1及x2，当x1x2时，有 ，则称函数在区间（a,b）是单调增加的。如果函数在区间（a,b）随着x增大而减小，即：对于（a,b）任意两点x1及x2，当x1x2时，有，则称函数在区间（a,b）是单调减小的。函数=x2在区间（-,0）上是单调减小的，在区间（0,+）上是单调增加的。、函数的奇偶性如果函数对于定义域的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域的任意x都满足=-，则叫做奇函数。偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。、函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域任何x值都成立，则叫做周期函数，l
3、是的周期。我们说的周期函数的周期是指最小正周期。函数是以2为周期的周期函数；函数tgx是以为周期的周期函数。4、反函数、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域任取一值y0时，变量x在函数的定义域必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.由此定义可知，函数也是函数的反函数。、反函数的存在定理：若在（a，b）上严格增（减），其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增（减）.严格增（减）即是单调增（减）y=x2，其定义域为（-,+），值域为0,+）.对于y取定的非负值,可求得x=.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间（
4、-,+）上，函数不是严格增（减），故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x0，则对y0、x=就是y=x2在要求x0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增（减）. 、反函数的性质：在同一坐标平面，与的图形是关于直线y=x对称的。函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一笛卡尔直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。函数与
5、函数是不能复合成一个函数的。因为对于的定义域（-,+）中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。6、初等函数、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a）:不论x为何值,y总为正数;b）:当x=0时,y=1.对数函数其图形总位于y轴右侧,并过（1,0）点当a1时,在区间（0,1）的值为负；在区间（-,+）的值为正；在定义域单调增.幂函数a为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令a=m/n当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;当m,n都是奇
6、数时,y是奇函数;c）:当m奇n偶时,y在（-,0）无意义.三角函数（正弦函数）这里只写出了正弦函数正弦函数是以2为周期的周期函数正弦函数是奇函数且反三角函数（反正弦函数）这里只写出了反正弦函数由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数的主值.、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：（用表格来描述）函数的名称函数的表达式双曲正弦其定义域为:（-,+）；是奇函数；在定义域是单调增双曲余弦是偶函数；其图像
7、过点（0,1）；双曲正切其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.反双曲正弦函数 其定义域为：反双曲余弦函数1,+）；反双曲正切函数 （-1,+1）；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有
8、次序的数a1，a2，an，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数 、极限：极限的概念是际问题的精确解答而产生的。我们可通过作圆的接正多边形，近似求出圆的面积。、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数（不论其多么小），总存在正整数N，使得对于nN时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或此定义中的正数只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限
9、的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域即开区间（a-，a+），如下图所示： 因不等式与不等式等价，故当nN时，所有的点都落在开区间（a-，a+），而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。、数列的有界性：对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。定理：若数列收敛，那末数列一定有界。有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的
10、必要条件，但不是充分条件。数列 1，-1，1，-1，（-1）n+1， 是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：自变量无限增大；自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限（分两种情况）自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，若对于任意给定的正数（不论其
11、多么小），总存在着正数X，使得对于适合不等式 的一切x，所对应的函数值都满足不等式那末常数A就叫做函数当x时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A，任给一正数0，总可找到一正整数N，对于nN的所有都满足则称数列，当x时收敛于A记：。存在函数与常数A，任给一正数0，总可找到一正数X，对于适合的一切x，都满足，函数当x时的极限为A，记：自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.函数，当x1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的围，都有无穷多个点，为此我们把x1时函数值的
12、变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以看出x1时，2.而且只要x与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量，就一定可以找到一个，当时满足定义：设函数在某点x0的某个去心邻域有定义，且存在数A，如果对任意给定的（不论其多么小），总存在正数，当0时，则称函数当xx0时存在极限，且极限为A，记：在定义中为什么是在去心邻域呢？这是因为我们只讨论xx0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的，是否存在正数，使其在去心邻域的x均满足不等式。有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a）:先任取0； b）:写出不等式；解不等式能否得出去心
13、邻域0，若能； d）:则对于任给的0，总能找出，当0时，成立，因此10、函数极限的运算规则、函数极限的运算规则 若已知xx0（或x）时，.则： 推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子：符号函数为对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。如果x仅从左侧（xx0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果x仅从右侧（xx0）趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右
14、极限.记：只有当xx0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在xx0时有极限 准则一：对于点x0的某一邻域的一切x，x0点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切x）有，且，那末存在，且等于A此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限 一：其中e为无理数，它的值为：e=2.9045.二：求解答：令，则x=-2t，因为x，故t，则解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x时，若用t代换1/x，则t0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=，
15、在x=x0的去心邻域有定义，对于任意给定的正数N（一个任意大的数），总可找到正数，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N（一个任意大的数），总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。设有函数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数（或正数M），使得对于适合不等式（或）的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当（或x）时 为无穷小量.（或）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量
16、，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在（或x）时有极限A，则差是当（或x）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。设，都是时的无穷小量，且在x0的去
17、心领域不为零，如果，则称是的高阶无穷小或是的低阶无穷小；如果，则称和是同阶无穷小；如果，则称和是等价无穷小，记作：（与等价）因为，所以当x0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x0时，sinx与x是等价无穷小。等价无穷小的性质设，且存在，则.这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。求 此题不能将其展开成两个函数差的形式，因为X（3X）3的极限为无穷大，极限不存在，不符合等价无穷小的条件存在从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。函数
18、的一重要性质连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：x即：x=x2-x1 增量x可正可负.我们再来看一个例子：函数在点x0的邻域有定义，当自变量x在领域从x0变到x0+x时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当x趋向于零时，函数y对应的增量y也趋向于零，即：，那末就称函数在点x0处连续。函数连续性的定义：设函数在点x
19、0的某个邻域有定义，如果有称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间（a,b有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间a,b）有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a右连续.一个函数在开区间（a,b）每点连续,则为在（a,b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域连续，则称为连续函数。一个函数若在定义域某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。通过上面的学习我们已
20、经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形：在x0无定义；在xx0时无极限；在xx0时有极限但不等于；下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断点，因，我们就称为函数的无穷间断点；例2：函数在点x=0处没有定义；故当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我们就称点x=0叫做函数的振荡间断点； 例3：函数当x0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们
21、还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:可去间断点若x0是函数的间断点，但极限存在，那末x0是函数的第一类间断点。此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但。我们令，则可使函数在点x0处连续，故这种间断点x0称为可去间断点。间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以
22、下结论：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）；反函数的连续性若函数在某区间上单调增（或单调减）且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增（单调减）且连续函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间-1,1上也是单调增且连续的。复合函数的连续性设函数当xx0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a连续，那末复合函数当xx0时的极限也存在且等于.即：设函数在点x=x0连续，且，而函数在点u=u0连续，那末复合函数在点x=x0也是连续的初等函数的连续性通过前面
23、我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域都是连续的；一切初等函数在其定义域也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。（在此不作证明） 例：函数y=sinx在闭区间0，2上连续，则在点x=/2处，它的函数值为1，且大于闭区间0，2上其它各点出的函数值；则在点x=3/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间0，2上其它各点出的函数值。介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何
24、值。即：，在、之间，则在a，b间一定有一个，使在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。二、导数与微分导数的概念导数的定义：设函数在点x0的某一邻域有定义，当自变量x在x0处有增量x（x+x也在该邻域）时，相应地函数有增量，若y与x之比当x0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间（a,b）每一点都可导，就称函数在区间（a,b）可导。这时函数对于区间（a,b）的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左
25、、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为：其中u、v为可导函数。函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：函数的积的求导法则函数的商的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导规则规则：两个可导函
26、数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：，其中u为中间变量反函数求导法则根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下（我们以定理的形式给出）：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。 是对y求导，是对x求导求的导数.此函数的反函数为，故则：高阶导数函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即：或.相应地，把的导数叫做函数的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，一般地（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数.分别记作：，或，二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高
