1、三年高考两年模拟浙江版届高考数学一轮复习 第五章 数列 54 数列求和知能训练5.4数列求和组基础题组1.(2015浙江五校二联文,2,5分)已知数列an满足:an=,且Sn=,则n的值为()A.7 B.8 C. 9 D.102.(2015浙江冲刺卷一,3)已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,若an=(n+1)2n-1(nN*),则=()A. B. C. D.3.(2015金丽衢一联,5,5分)已知Sn为数列an的前n项和,且满足a1=1,a2=3,an+2=3an,则S2014=()A.231007-2 B.231007C. D.4.(2015杭州学军中学仿真考,8,5分)数列an满足a
2、1=,an+1=-an+1(nN*),则m=+的整数部分是()A.1 B.2 C.3 D.45.(2016宁波效实中学期中,14,4分)已知数列an的各项均为正整数,其前n项和为Sn,若an+1=且S3=29,则S2015=.6.(2015嘉兴测试二文,14,4分)已知数列an的首项a1=1,且满足an-1-an=anan-1(n2),则a1a2+a2a3+a2014a2015=.7.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,17)已知等比数列an的公比q1,a2+a3+a4=14,且a3+1是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Sn.8.(
3、2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.9.(2015课标,17,12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.10.(2015浙江,17,15分)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.11.(2015天津,18,13分)已知数列an满足an+2=qan(q
4、为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=,nN*,求数列bn的前n项和.12.(2016慈溪中学期中文,17,15分)已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn=(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=100-3nan,求数列|bn|的前n项和.13.(2013山东,20,12分)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足+=1-,nN*,求bn的前n项和Tn.14.(2013浙江,18,14分)在公差为d的等
5、差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.15.(2014山东,19,12分)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求Tn.B组提升题组1.(2013湖南,15,5分)设Sn为数列an的前n项和,Sn=(-1)nan-,nN*,则(1)a3=;(2)S1+S2+S100=.2.(2015安徽,18,12分)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数
6、列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn.3.(2013江西,17,12分)正项数列an的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=,数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn.4.(2014安徽,18,12分)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn.5.(2015浙江五校联考,20)已知数列an的前n项和Sn满足(t-1)Sn=t(an-2)(t为常数,t0且t1).(
7、1)求数列an的通项公式;(2)设bn=Sn-1,且数列bn为等比数列.求t的值;若cn=(-an)log3(-bn),求数列cn的前n项和Tn.6.(2014山东,19,12分)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.7.(2015浙江五校一联,21,15分)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-n.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,记数列bn的前n和为Tn,证明:-Tn-0的所有正整数.10.(2016杭州七校期中,19,15分)已知等比数列an的公比为q(
8、0q1),且a2+a5=,a3a4=.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an(log2an),求bn的前n项和Tn;(3)设该等比数列an的前n项和为Sn,正整数m,n满足1,从而有(an+1-an)-(an-an-1)=(an-1)2-(an-1-1)2=(an-an-1)(an+an-1-2)0(n2),则an+1-anan-an-1a2-a1=,则a2014=a1+(a2-a1)+(a2014-a2013)+=225,得a2014-1224,即有01,q=2,a1=1,an=2n-1.(8分)(2)2n-1=2n-2n-1,bn=-,Sn=+,Sn=-.(15分)8.解析(1)设
9、等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.9.解析(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的
10、等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分)(2)由an=2n+1可知bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=+-=.(12分)10.解析(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).11.解析(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)
11、=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=.所以,an的通项公式为an=(2)由(1)得bn=.设bn的前n项和为Sn,则Sn=1+2+3+(n-1)+n,Sn=1+2+3+(n-1)+n,上述两式相减,得Sn=1+-=-=2-,整理得,Sn=4-.所以,数列bn的前n项和为4-,nN*.12.解析(1)由Sn=(nN*),得a1=2,当n2时,Sn-1=,an=Sn-Sn-1=-,即
12、-=2(an+an-1),又因为an为正项数列,所以an-an-1=2(n2),则an为等差数列,得an=2n.(2)|bn|=|100-2n3n|=设cn=2n3n,cn的前n项和为Sn,则Sn=23+432+2n3n,3Sn=232+(2n-2)3n+2n3n+1,Sn=3n+1+.设|bn|的前n项和为Tn.当1n2时,Tn=-3n+1+100n-,当n3时,Tn=3n+1-100n+316=3n+1-100n+317.13.解析(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1得解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nN*.(2)+=1-,nN*,当n=
13、1时,=;当n2时,=1-=.所以=,nN*.由(1)知,an=2n-1,nN*,所以bn=,nN*,又Tn=+,Tn=+,两式相减得Tn=+-=-,所以Tn=3-.14.解析(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上,数列an的通项公式为an=2n.(2)证明:由于an=2n,bn=,则bn=-.Tn=1-+-+-+-+-=.4.解析(1)由
14、已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-得-2Sn=31+32+3n-n3n+1=-n3n+1=.所以Sn=.5.解析(1)由(t-1)Sn=t(an-2)及(t-1)Sn+1=t(an+1-2),作差得an+1=tan,即数列an是等比数列,an=a1tn-1,(t-1)a1=t(a1-2),a1=2t,an=2tn.(2)数列bn为等比数列,=b1b3,(2t+2t2-1)2=(2t-1)(2t+2t
15、2+2t3-1),整理得6t3=2t2.解得t=或t=0(舍).当t=时,bn=Sn-1=-,显然数列bn为等比数列.cn=(-an)log3(-bn)=,Tn=+,则Tn=+,作差得Tn=+-=1-=1-,故Tn=-.6.解析(1)S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+-+=1+=.所以Tn=7.解析(1)由Sn=2an-n,Sn+1=2an+1-n-1,作
16、差得an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),即数列an+1为等比数列,由S1=2a1-1得a1=1,故a1+1=2,则an+1=2n,an=2n-1.(2)证明:bn=,bn-=-=,则Tn-=-+0,即Tn-,故-Tn-0,所以n=1时,4-4取最小值2,所以m2.即m的最大值是2.9.解析(1)证明:=,a2=a1+1=,所以数列是以a2-=-为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得a2n-=-=-,则a2n=-+.由a2n=a2n-1+(2n-1)得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-6n+,则a2n-1+a2n=-+-6n+9=-2-6n+9,S2n=(a1+a2)+
17、(a3+a4)+(a2n-1+a2n)=-2+-6(1+2+3+n)+9n=-2-6+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.显然,当nN*时,S2n单调递减,当n=1时,S2=0,n=2时,S4=-0,则当n2时,S2n0.综上所述,满足Sn0的n的值为1和2.10.解析(1)由a2+a5=,a2a5=a3a4=可知,a2,a5为方程x2-x+=0的两根,又0q1,所以a2=1,a5=,则q3=,所以q=,所以a1=2,所以an=.(2)bn=an(log2an)=,所以Tn=+,Tn=+,所以Tn=+-=2-=,所以Tn=.(3)由(1)可得Sn=4.-=0022n(4-m)6.又因为m,n为正整数,所以2n(4-m)为偶数,所以2n(4-m)=4,所以或所以或
