1、江苏扬州中学调研）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点（1）求证：FG平面PBD；（2）求证：BDFG.证明（1）连结PE，因为G，F分别为EC和PC的中点，FGPE，又FG平面PBD，PE平面PBD，FG平面PBD.（2）四边形ABCD为菱形，BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA，PA平面PAC，AC平面PAC，且PAACA，BD平面PAC，FG平面PAC，BDFG.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：（1）证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同
2、时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换（2）证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2（2018苏锡常镇四市调研）如图，在四棱锥PABCD中，ADB90，CBCD，点E为棱PB的中点（1）若PBPD，求证：PCBD；CE平面PAD.证明（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CDCB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO.因为PBPD，所以PBD为等腰三角形，所以
3、BDPO.又POCOO，PO，CO平面PCO，所以BD平面PCO.因为PC平面PCO，所以PCBD.（2）由E为PB的中点，连结EO，则EOPD，又EO平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90及BDCO，可得COAD，又CO平面PAD，AD平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，CO，EO平面COE，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD.热点三平面与平面的平行与垂直例3（2018江苏盐城中学模拟）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，点Q是A1B1中点AQ平面PBC1；（2）若BCCC1，求证：平面A1B1C平面PBC
4、1.证明（1）取AB中点为R，连结PR，B1R.由已知点P是CD中点，点Q是A1B1中点可以证得，四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，所以AQB1R，B1RPC1，所以AQPC1，因为AQ平面PBC1，PC1平面PBC1，所以AQ平面PBC1.（2）因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，BCCC1，所以B1CBC1，因为A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以A1B1BC1，因为A1B1B1CB1，A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C，又因为BC1平面PBC1，所以平面A1B1C平面PBC1.思维升华证明面面平行或面面垂直的关键是
5、寻找线面平行或线面垂直，充分体现了转化与化归思想跟踪演练3如图，在四面体ABCD中，ADBD，ABC90，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG平面BCD.（1）求的值；平面EFD平面ABC.（1）解因为平面EFG平面BCD，平面ABD平面EFGEG，平面ABD平面BCDBD，所以EGBD，又G为AD的中点，所以E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以.（2）证明因为ADBD，由（1）知，E为AB的中点，所以ABDE，又ABC90，即ABBC，由（1）知，EFBC，所以ABEF，又DEEFE，DE，EF平面EFD，所以AB平面EFD，又AB平面ABC，所以平面
6、EFD平面ABC.1（2018江苏）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC.证明（1）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1
7、A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.2（2018江苏南京师大附中模拟）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.ABEF；（2）若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明（1）因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.（2）因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，（1）中已证ABEF，所以ABAF，又ABAD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，
8、所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.A组专题通关1设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的_条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案必要不充分解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则la，lb.“la，lb”是“l”的必要不充分条件2已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_（填序号）ABm；ACm；AB；AC.
9、答案解析如图所示，ABlm；ACl，ml，ACm；ABl，AB，l，AB，只有不一定成立3在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，下列一定正确的是_（填序号）平面ABD平面ADC；平面ABD平面ABC；平面ADC平面BCD；平面ABC平面BCD.答案解析由ADBC，BDAD，BCBDB，BC，BD平面BCD，AD平面BCD，又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.4已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_. （填写所有正确命题的序号）答案解析，lllm，命题正确；，ll，m可平行，可相交，可异面，命题
10、错误；m，llml与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误； l，lm，命题正确5如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为_答案解析由题意可得图中GH与MN平行，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意；图中GH与MN相交，不合题意；图中GH与MN异面，符合题意则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为.6给出下列四个命题：如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直
11、于第三个平面其中真命题的个数为_答案3解析对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行，那么a，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确故真命题的个数为3.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA16
12、，AB3，AD8，点M是棱AD的中点，N在棱AA1上，且满足AN2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），若C1P平面CMN，则线段C1P长度的最小值是_答案解析取A1D1的中点Q，过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于E，则易知平面C1QE平面CMN，在C1QE中作C1PQE，则C1P为所求8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，又CF平面ACC1A1，所以B1D
13、CF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.9. （2017江苏）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD.（1）EF平面ABC；（2）ADAC.证明（1）在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.（2）BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.ABAD，BC，AB
14、平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又AC平面ABC，ADAC.10.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，BF平面ABCD，GDC90，点P为线段GD的中点AP平面GCD；平面ADG平面FBC.证明（1）GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，APGD.ADCD，GDCD，且ADGDD，AD，GD平面GAD，故CD平面GAD，又AP平面GAD，故CDAP，又CDGDD，CD，GD平面GCD，故AP平面GCD.（2）BF平面ABCD，CD平面ABCD，BFCD，BCCD，BFBCB，BF，BC平面FBC，CD平面FBC，由（1）知CD平面GAD，平面ADG平面FB
15、C.B组能力提高11.如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是_（填序号）当CD2AB时，M，N两点不可能重合；M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交；当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交；当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACDB是平行四边形，因此ACBD，而BD，AC，所以由线面平行的判定定理可得AC，又因为AC，l，所以由线面平
16、行的性质定理可得ACl，故正确12如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_（填序号）答案（1）解析对于（1），作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；对于（2），作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于（3），作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；对于（4），作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，
17、ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故四个正方体中直线AB与平面MNQ不平行的是（1）13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点E，F分别在棱BB1，CC1上（均异于端点），且ABEACF，AEBB1，AFCC1.（1）平面AEF平面BB1C1C；（2）BC平面AEF.证明（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1CC1.因为AFCC1，所以AFBB1.又AEBB1，AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF，所以BB1平面AEF，又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C.（2）因为AEBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC，所以AE
18、BAFC.所以BECF.又由题意知，BECF.所以四边形BEFC是平行四边形从而BCEF.又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC平面AEF.14（2018江苏启东中学模拟）如图，在三棱锥PABC中，ACBC，O为AC的中点，PO底面ABC，M为AB的中点（1）证明：AC平面POM；（2）设E是棱PA上的一点，若PB平面EOM，求的值（1）证明因为M，O分别是AB，AC的中点，所以MOBC，因为ACBC，所以ACMO.因为PO底面ABC，AC底面ABC，所以POAC.因为PO平面POM，MO平面POM，POMOO，所以AC平面POM.（2）解因为PB平面EOM，PB平面PAB，平面EOM平面PABEM，所以PBEM.因为M是AB的中点，所以E是PA的中点，所以
