1、诚信博学 超越自我第一讲 知识点复习及训练（一）知识点复习1. 速算与巧算：小数的速算与巧算主要是凑整，先看哪些数接近整数或哪些数能凑成整数，然后利用运算定律和性质进行计算，有些类型题目的方法要记住，比如找中间数的方法、 代换的方法等。2. 进位制：二进制与十进制的互化是最基本的，记住两句口诀：化十直接写，化二做连除。其它进制与十进制也用同样的方法。二进制的应用也是非常重要的内容。3. 最大最小：记住三个结论：和一定的两个数，它们的差越小，积就越大；和一定的两个数，它们的差越小，积也越小；把一个数分拆成若干个自然数之和，这些自然数全是2（不超过2个）或3时，它们的积最大。要会把某些实际问题转化
2、成利用以上的某个结论。4. 尾数规律：对于乘方及其四则运算的尾数规律，记住四个结论：两个自然数和的尾数等于这两个自然数尾数和的尾数；两个自然数差的尾数等于这两个自然数的尾数差，不够减时，要加10再减；两个自然数积的尾数等于这两个自然数尾数之积的尾数；一个自然数a的n次方的尾数等于这个自然数尾数n次方的尾数。训练检测一、基础达标。 1. 简便计算。（1）1.257.92(2)(4.080.759.1)(0.251.32.04)(3)5.244.752.40.365240.0172. 要用篱笆围起一块面积是90平方米的长方形地，要使篱笆最短，应怎样围？篱笆的长度最少是多少米？3填空。（876）10
3、（ ）8 （10101）2（ ）10（19）10（ ）2 （143）5（ ）104现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一枚，问在天平秤上能秤多少种不同重量？5. 把23拆成几个自然数的和，怎样拆这些自然数的积最大？最大的积是多少？ 6. 132333435363738393103的积的个位数字是几？7. 求下列各式运算结果的尾数。（1）76876857573232 （2）（41647918975）8739二、竞赛提高。 1. 计算：20.088.820080.8810.046.42.计算：(10.50.25)(0.50.250.125)(10.50.250.125)(0.50.25)3.
4、 6个灯泡并排安装在台子上，用亮的灯和不亮的灯表示：12345那么表示哪个数？4.小刚带了40元钱去买商品（商品价格都是整元数），他把这40元钱分成若干份，分别装入小纸袋中。这样，只要他买的商品不超过40元，他就能从中挑出几袋，不用找钱。那么这40元钱他该如何粉状，才能达到目的？5. 用4、5、6、7、8、9组成怎样的两个三位数时，它们的积最大？6. 1.2960.4100的差的尾数是几？7. 21991的末两位数字是几？8. 已知ab3，其中a,b均为小于100的质数，是奇数。那么的最大值是多少？第二讲 知识点复习及训练（二）知识点复习 1.平均数：基本数量关系：总数量总份数平均数 总数量平
5、均数总份数 平均数总份数总数量 解决实际问题时，要清楚求什么，需要哪些条件，再着手从题中寻找所需条件。2.面积计算（一）（二）：掌握求图形面积的基本方法：分割、添补、割补、平移、旋转、转化法、放大法等。熟悉三角形底、高、面积间的关系：等底（高）的两个三角形，高（底）之间的倍数关系就是面积之间的倍数关系。3.推理问题：假设法、排除法、列表法是解决这类问题常用的方法。题中的矛盾条件往往是解决问题的突破口，对于条件多而且杂的题目，一般用列表法解决。训练检测一、基础达标。 1. 某小组加工一批零件，7天中平均每天加工32个。已知他们前4天平均每天加工34个，后4天平均每天加工31个，求第4天加工零件多
6、少个？2. 一个学生前六次测验的平均成绩是90分，他第七次测验成绩比七次测验的平均成绩高6分，他第七次测验成绩是多少分？3. 已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为8厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。4. 如图，正方形ABCD的边长是8厘米，DEFG是一个长方形，ED长6.4厘米，EF长多少厘米？5. 如图，BCEF是平行四边形，ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形ADG的面积大12平方厘米，求GC的长。6. 如图，在三角形ABC中，BDDEEC，AHHGGFFC，阴影部分的面积是1平方厘米，求三角形ABC的面积。7. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，
7、赛后猜测它们之间的考试成绩情况是： 甲说：“我可能考得最差。”乙说：“我不会是最差的。”丙说：“我肯定考得最好。”丁说：“我没有丙考得好，但也不是最差的。”成绩公布后，只有一个人猜错了，那么四人的实际成绩从高到低的顺序是 。8. 有五块小正方体，每个小正方体的六个面都按一定顺序写着1、2、3、4、5、6，把它们重叠成如图的形状，则4的对面是 。二、竞赛提高。 1. 五位裁判给一名歌手打分，去掉一个最高分后平均9.46分，去掉一个最低分后平均9.58分。这名歌手的最高与最低分相差多少分？2. 甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃，甲付出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完一算，
8、丙应拿出4元钱，问甲应收回多少钱？3. 如图，CAAB4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长。4. 下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45平方厘米。求甲、乙的面积之和。5. 在下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高。6. 图中长方形的长与宽分别为6厘米和4厘米，阴影部分的面积之和为10厘米，求四边形ABCD的面积。7. 在某个城镇居住着两类居民，不是诚实的人就是骗子。诚实人从来不说慌，而骗子永远说慌。我们见到了这个城镇的两类居民A和
9、B，B说：“我和A是不一样的，一个是诚实人，一个是骗子。”请问A是诚实的人还是骗子？8. 小杨、小陈、小张三人在今年的高考中，分别考取了北大、清华、北师大三所院校的数学系、物理系、化学系，现在已经知道下列情况： 小杨不在北大； 小陈不在清华； 在北大的不在数学系； 在清华的在物理系； 小陈不在化学系。根据这些条件请你判断：小杨、小陈、小张三人在什么学校？什么系？ 第三讲 知识点复习及训练（三）知识点复习 1. 列方程解应用题：找等量关系是列方程的关键，所以一定要煮煮关键的条件。未知数有直接设和间接设，要清楚间接设的未知数不是问题的答案。解方程时，除了明确步骤外，一定要注意移项这一步。2. 火车
10、过桥问题：关键要抓住行驶的路程，过桥时是车长桥长，过火车时是车长车长，过人时是车长。如果过行驶的火车（或人），同向时可看作火车以车与车（或人）的速度差在行驶，相向时可看作火车以车与车（或人）的速度和在行驶。3. 综合性的行程问题：熟记相遇问题和追及问题的公式，会画形行驶过程示意图，能找到解决问题的关键。对于一些基本题型，如整体法解决的类型，同时含有相遇问题和追及问题的类型，看似不规则行驶路程的类型一定要熟练。训练检测一、 基础达标。 1解方程。 25259 628874 52(20)65 42530 2有两袋糖，一袋有84粒，一袋有20粒，每次从多的一袋里取出8粒放到少的一袋里去，拿几次才能使
11、两袋糖同样多？ 3食堂里买来大米和面粉共15袋，每袋大米25千克，每袋面粉10千克，买回的大米比面粉多165千克，买回大米、面粉各多少千克？ 4某商店库存花布是白布的3倍，如果每天卖30米白布和60米花布，若干天后，白布全部卖完，而花布还剩120米。原来库存花布多少米？ 5芳芳以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的火车从对面开来，从她身边开过用了12秒钟，求列车的速度。 6一辆摩托车以每分钟500米的速度行驶在公路上，遇到一列同方向行进的队伍，队伍长120米，摩托车从旁边通过用去了15秒，求这列队伍行进的速度是多少？ 7两条船分别从长江两岸相对开出，再离南岸260米处相遇后继续前进
12、，各自到达对岸后立即返回，又在离北岸200米处相遇，问大江有多宽？二、竞赛提高 1解方程。22(35)2(4)8 23(60)6 2263 2张师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可提前5天完成。这批零件共有多少个？ 3一个长方形长5米，宽4米。如果宽增加2米，长增加多少米后，所得长方形面积比原来增加28平方米？ 4甲、乙两人沿铁路相对而行，速度都是14米/秒，一列火车经过甲身边用了8秒，经过乙身边用了7秒。求火车车身长度及火车速度。 5一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那
13、么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？ 6某小学三、四年级学生432人排成三路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分钟30米，前后两人都相距1米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离开桥共需15分钟。求这座桥长多少米？ 7甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。第四讲 整除特征整数a除以整数b（b0），商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b整除a；a叫做b的倍数，b叫做a的约数。我们在课本上已学过能被2、3、5、9整除的数的特征，下面再研究一些数的整
14、除特征。1能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。例如：7856的末两位数56能被4整除，那么7856能被4整除。12250的末两位数50能被25整除那么12250能被25整除。2能被8或125整除的数的特征：一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。例如：7176的末三位数176能被8整除，那么7176能被8整除。2788250的末三位数250能被125整除，那么2788250能被125整除。3能被7、11、13整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数所组成的数的差（大数减小数）能被7
15、（或11、或13）整除，那么这个自然数就能被7（或11、或13）整除。如果这个差还比较大，不易试除的话，我们可以连续进行这个过程。另外，判断一个自然数能否被 11整除，还有下面的方法：如果一个自然数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11整除，这个数就能被11整除。例如：89716奇数位上的数字和87621，偶数位上的数字和9110，用211011，11能被11整除，所以89716能被11整除。4如果一个数能同时被两个互质的数整除，那么这个数就能被这两个互质数的积整除。例如：2整除3276，9整除3276，2和9互质，所以18整除3276。 例1 在下列数中能被4、6整除的
16、分别有哪些？315 344 680 726 741 996分析与解：根据能被4、6整除的数的特征来判断。尤其要注意，能被6整除的数既要能被2整除，又要能被3整除，也就是在能被3整除的数中，再找出其中的偶数。能被4整除的数有：344、680、996。能被6整除和数有：726、996。例2 四位数能被9整除，求A。分析与解：能被9整除的数的特征是：各个数位上的数字和能被9整除。我们把给出的四位数的数字加起来，即42A9的倍数，再用试验的方法解出A，如果42A9，则A2.5不是整数；如果42A18，则A7；如果42A27，则A11.5不合题意，所以只有A7满足要求。例3 已知整数能被11整除，则满足
17、这个条件的整数是多少？分析与解：能被11整除的数的特征有两种:（1）末三位数字所表示的数与末三位以前的数所组成的数的差能被11整除；（2）奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除。根据题中给出的整数的特征（奇数位上都是a），采取第二种判断方法比较容易。根据以上特征可知，11能整除（56789）与5a的差，即11整除（355a）或11整除（5a35）。又因为355a5（7a）,5a355(a7),所以11整除7a或11整除a7，因为a只能取0至9的数，所以a7时才能满足条件。所以，满足条件的整数为5767778797。例4 一个四位数加上9后能被9整除，减去8后能被8整除，求满足条件的
18、最大数。分析与解：因为加上9后能被 9整除，而9又能被9整除，可知是9的倍数；同理，是8的倍数。根据能被8整除的数的特征可知：能被8整除，那么b可能是1、3、5、7、9；根能被9整除的数的特征可知：ab12a b 3应是9的倍数。当b1、3、5、7、9时，相应地a5、3、1、8、6，由于题目要满足条件的最大数，因此a就尽可能大：a8，相应地b7。所以满足条件的最大数是8712。例5 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？ 分析与解：要使这个六位数尽可能小而且能被5整除，百位和个位上的数字都应选 0。这样，五位数字之和是5
19、680019，要使这个六位数能被3整除，十位上可真2、5、8，由能被4整除的数的特征可知，应在十位上填2，这个六位数是568020。同步练习 1. 在下列各数的内填上适当的数，它们分别是： 4的倍数：305，84，78530 9的倍数：49，352，398 11的倍数：185，31，848 2. 在里填上适当的数，使下面各数能被12整除。 154，7512，216，236 3. 判断下列各数能不能被7、11或13整除。 9009 458315 19950 1995 4. 能同时被4、5、6整除的最大三位数是多少？ 5. 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它同时能被3、4、5整除，这样的
20、六位数中最小的是几？ 6. 一个能被11整除，首位数字为7，其余各位数字各不相同的最小六位数是多少？ 7. 一个五位数能被72整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字是6、7、9这个五位数是几？ 8. 小马买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不会，只能认出：11.4。你能推算出不明数字吗？ 9. 173是个四位数，数学老师说：“我在这个中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可被9、11、6、整除。问：数学老师先后填入的三个数字的和是多少？ 10. 如果41位数 能被7整除，那么中间方框内的数字是几？第五讲 分解质因数把一个合数分解为几个质数相乘的形
21、式叫分解质因数。分解质因数在日常生活中应用广泛，出现的题型变化多端，解决这类问题要寻找内在规律，总结方法，把合数正确进行分解质因数，并根据要求调整组合方式。例1 用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。分析与解：根据有余数除法各部分间的关系可以知道，除数与商的积是1170781092，把1092分解质因数是：109222371384139112。答：这个两位数是84或91。例2 四个小孩的年龄恰好四个连续自然数，他们的年龄之积是360，这四个小孩年龄之和是多少岁？分析与解：因为四小孩的年龄恰 好是四个连续自然数，所以360必然包含这四个自然数中所有的质因数，将360分解质因数：360
22、2223353456345618（岁）答：这四个小孩年龄之和是18岁。例3 班主任李老师带五（1）班同学去植树。全班同学恰好可以平均分成3组。如果老师与学生每人种树的棵数一样多，则一共种了364棵树。五（1）班有学生多少人？每人种多少棵树？分析与解：从已知条件“全班同学恰好平均分成3组”可知，学生人数是3的倍数，再加上李老师，则师生总人数被3除余1。因为364是每人种的棵数与总人数的积，所以，先将364分解质因数：36422713，然后按题意组合，使364为两个数的积。通常一个班的人数为50人左右，所以36475252151（人）答：这个班有学生51人，每人种7棵树。以上例题做题步骤都是先分解
23、质因数，再根据题意分组。分组一定要注意数字特点，这一步非常重要。例4 要使3542275（ ）这个连乘积的最的四个数字都是0，那么括号里所填的数最小是几？分析与解：因为连乘积的末位数0取决于质因数2和5的个数。四个0应该有4个2和4个5，3557，42237，2755511，已知的三个乘数中只有1个2和3个5，还差3个2和1个5。所以括号里所填的最小数是222540。例5 72的约数有多少个？这些约数的和是多少？分析与解：用一一列举的方法求有几个约数，往往会遗漏或重复。可以借助于分解质因数的方法解决。72233272的约数写出来就是：1、2、4、8、3、9、6、12、24、18、36、72。它
24、们可以由23的约数（1、2、22、23）与32的约数（1332）两两相乘得到，即1 3 322 23 23222 223 223223 233 2332共4312个约数，而4与3恰好分别等于23与32的指数加1。于是可得到以下结论：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数指数加1的连乘积。把以上列举的72的约数相加，利用乘法分配律，72的全部约数的和是（1 2 22 23）（1 3 32）1513195想一想，你能得到什么结论？同步练习 1. 23（ ）（ ）5，在括号内填入适当的数，使等式成立，有几种不同的填法？ 2. 三个连续偶数的积是192，这三个连续偶数的和是多少
25、？ 3. 一个长方形的面积是320，如果长不变，宽增加4米，就成为一个正方形。求原长方形的周长。 4. 要使39675165（ ）的乘积的末尾有四个连续的零，括号里最小填几？ 5. 144的全部约数有多少个？这些约数的和是多少？ 6. 用462个大小相等的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？ 7. 把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数分成两组，使每组四个数的乘积相等。 8. 1234200的乘积的末尾有几个连续的零？ 9. 张强参加了今年的中学数学竞赛，爸爸问张强：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”张强告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”。同
26、学们，你能猜出张强的名次，年龄和分数吗？ 10. 一个数A2533527，请问A的最大的两位数约数是几？第六讲 最大公约数和最小公倍数我们知道，如果一个自然数a能被自然数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数，其中最大的一个，叫做这几个自然数的最大公约数。一般用符号（a，b）表示a和b的最大公约数，几个自然数公有的倍数叫做这几个自然数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。一般用符号a，b表示a和b的最小公倍数。最大公约数和最小公倍数的知识是小学数学中的一个重要内容，它除了为以后学习分数运算打下基础外，同时还为一些有趣的数学问题
27、提供了解法。例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。分析与解：两个自然数与它们的最大公约数和最小公倍数间有怎样的关系？先给出两个自然数8和12，（8，12）224，8，12 222324，不妨把8和12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（8，12）8，12 （22）（2223） （222）（223） 812也就是说，8和12的最大公约数与最小公倍数的乘积等于8与12的乘积。当把8和12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即（a,b）a,b ab由以上结论
28、，本题中另一个自然数是6721824例2 两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数。分析与解：这两个数分别除以最大公约数所得的独有的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，独有的商又是互质数，所以它们容易确定，这两个数也就容易求出。78136 6162313113 1367813226 13339所以这两个数为13和78或26和39。例3 一个房间长450cm，宽330cm。现计划用方砖铺地，问需要边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？分析与解：要使方砖正好铺满地面，可知房间的长和宽都应是方砖边长的倍数。由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应是房间长与宽的最大公约数。（450，330）30（45030）（33030） 1511165（块）答：需要边长30cm的方砖165块。例4 参加数学兴趣班的学生人数在40与50人之间，如果6人一组，那么有一个组多4人；如果8人一组，那么有两个组各少1人。求有多少人参加了这个兴趣班？分析与解：根据题意可知，如果增加2人，那么6人一组或8人一组都恰 好分完。所以学生人数增加2人后（人数在42至52之间），应该既是6的倍数又是8的倍数。（6，8）2424248（人）48246（人）答：有46人参加了数学兴趣班。例5 从小亮家到学校，原来每隔50米竖有一根电线杆，连两端的两
