1、|PA|PB|=|PC|PD|A、B、C、D四点共圆,即得:AB,CD是椭圆G的两条相交弦,则:A、B、C、D四点共圆的充要条件是直线AB与CD的倾斜角互补;该结果可推广为:AB,CD是圆锥曲线G的两条相交弦,则:A、B、C、D四点共圆的充要条件是直线AB与CD的倾斜角互补. 由四点共圆的充要条件立得:若圆锥曲线上四点共圆,则在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中:若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数,则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数;考虑四点共圆的极限情形（如图）有:设点A是圆锥曲线G上的定点但不是顶点,B、C是G上的两个动点,直线AB、AC的斜率互为相反数,则直线BC
2、的斜率为曲线G过点A的切线斜率的相反数（定值）;我们把该结论称为母题的推论. 1.证明四点共圆 子题类型:（2011年全国高考试题）已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点,点P满足=0.（）证明:点P在C上;（）设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.分析:由直线l:y=-x+1可得P（-,-1）在C上kPQ=kOP=kl+kPQ=0A、P、B、Q四点共圆.解析:（）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由F（0,1）直线l:y=-x+1,y=-x+1与x2+=1联立得:4x2-2x-1=0x1+x2=y1
3、+y2=-（x1+x2）+2=1;又由=0P（-,-1）在C上;（）由kPQ=kOP=直线OQ:y=xA、P、B、Q四点均在曲线G:2x2+y2-2+（x+y-1）（x-y）=0上;由2x2+y2-2+（x+y-1）（x-y）=（2+2）x2+（1-）y2-x+y-2,令2+2=1-=-曲线G:4x2+4y2+x-y-6=0为圆A、P、B、Q四点在同一圆上.点评:对于给定的圆锥曲线G,巧妙选取两条斜率互为相反数的直线,即可构造这两条直线与圆锥曲线G的四个交点共圆问题:证明四点共圆,或判断四点是否共圆？对于该类问题:圆锥曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0,直线l1:y=kx+m,直线l2
4、:y=-kx+n,则直线l1、l2与圆锥曲线G的四个交点均在曲线:ax2+cy2+dx+ey+f+（kx-y+m）（kx+y-n）=0上,当=时,曲线为圆,由此即可证明判断四点四点共圆. 2.已知四点共圆,求弦的方程 子题类型:（2014年全国（大纲）高考试题）已知抛物线C:y2=2px（p0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.（）求C的方程;（）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.由抛物线的焦半经公式及|QF|=|PQ|可得p=2;由ABMN,且直线AB与MN的倾斜角
5、互补直线AB的倾斜角=或直线AB:y=（x-1）.（）设Q（x0,4）,代入y2=2px得x0=|PQ|=,|QF|=+;由|QF|=|PQ|+=p=2抛物线C:y2=4x;（）由F（1,0）,设AB的中点为H（x0,y0）,直线l的倾斜角为（0,）,直线l:,则直线MN:,tan=;把代入y2=4x得:t2sin2+2（y0sin-2cos）t+y02-4x0=0|HA|HB|=;把代入y2=4x得:t2cos2+2（y0cos+2sin）t+y02-4x0=0|HM|HN|=;由A、M、B、N四点在同一圆上|HA|HB|=|HM|HN|=tan=1直线l:对于给定的圆锥曲线G,求直线l1、
6、l2,使得直线l1、l2与圆锥曲线G的四个交点A、B、C、D共圆,此类问题是四点共圆的逆向问题;设直线l1与l2的交点T（x0,y0）和直线l1与l2的参数方程,利用参数的几何意义分别求|TA|TC|、|TB|TD|,根据A、B、C、D共圆得:|TA|TC|=|TB|TD|,由此求解. 3.四点共圆的应用 子题类型:（2009年辽宁高考试题）已知椭圆C过点A（1,）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.（）求椭圆C的方程; （）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.由椭圆C在点A处的切线方程为:+=1切线斜率k=-;由
7、母题的推论知kEF=-k=为定值.（）设椭圆C:0）,由题知c=1,=a=4,b2=3椭圆C:+=1;（）设直线AE方程为:y=k（x-1）+,代入+=1得:（3+4k2）+4k（3-2k）x+4（-k）2-12=0;设E（xE,yE）,F（xF,yF）,则1xE=xE=,同理可得:xF=kEF=.如果圆锥曲线G上一定点M（x0,y0）和两动点A、B,则直线MA、MB的斜率互为相反数等价于直线AB的斜率与曲线G在点A的切线斜率互为相反数,由此可构造四点共圆的第三类问题;对于圆锥曲线G上一定点M（x0,y0）和未定点P,可以通过设直线PM:y=kx+y0-kx0,代入曲线G的方程得关于x的一元二
8、次方程,由韦达定理可求x0xP,由此用斜率k表示点P的坐标解决相关问题. 4.子题系列:1.（2002年河南、江苏高考试题）设A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N（1,2）是线段AB的中点.（）求直线AB的方程;（）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？2.（2005年湖北高考试题）设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点,点N（1,3）是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆交于C、D两点. （）确定的取值范围,并求直线AB的方程;（）试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.3.（2014年全国高中数学联赛湖
9、北预赛（高二）试题）设A、B是双曲线线x2-=上的两点,点N（1,2）是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线交双曲线于C、D两点. （）确定的取值范围;（）试判断A、B、C、D四点是否共圆？4.（原创题）己知椭圆+=1（a0）的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上、下顶点分别为B、D.四边形FBCD存在外接圆,且圆心为点P,|PA|=7-. （）求椭圆方程;（）过点P作两条互相垂直的直线l1与l2,l1与l2分别与椭圆相交于点E、F和点M、N,若E、F、M、N四点共圆,求直线l1的斜率k（k0）.5.（原创题）已知椭圆C:0）的离心率e=,经过点P（1,3）的直线与椭圆C交于A、B两点,如果
10、点P为线段AB的中点,且|AB|=6. （）求椭圆C与直线AB的方程;（）若经过点P的另一条直线与椭圆C交于M、N两点,且A、M、B、N四点均在圆Q上,求直线MN与圆Q的方程.6.（2004年北京高考理科试题）如图,过抛物线y2=2px（p0）上一定点P（x0,y0）（y00）作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1）,B（x2,y2）. （）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;（）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数. 4.子题详解:1.解:（）设A（x0,y0）,则B（2-x0,4-y0）,由2x02-y02=2,2（2-x0）2-（4-y0）2
11、=2x0-y0+1=0点A在直线x-y+1=0上,同理可得:点B也在直线x-y+1=0上直线AB:x-y+1=0;（）由CDAB直线CD:y-2=-（x-1）,即x+y-3=0A、B、C、D四点均在曲线G:（2x2-y2-2）+（x-y+1）（x+y-3）=0,即（2+）x2-（1+）y2-2x+4y-3-2=0上,当=-时,曲线G为圆:（x+3）2+（y-6）2=40A、B、C、D四点共圆.2.解:（）由点N（1,3）是线段AB的中点点N（1,3）在椭圆内3+32=12.所以,的取值范围是（12,+）;设A（x0,y0）,则B（2-x0,6-y0）,由3x02+y02=,3（2-x0）2+（
12、6-y0）2=x0+y0-4=0点A在直线x+y-4=0上,同理可得:点B也在直线x+y-4=0上直线AB:x+y-4=0;y-3=x-1,即x-y+2=0A、B、C、D四点均在曲线G:（3x2+y2-）+t（x+y-4）（x-y+2）=0,即（3+t）x2+（1-t）y2-2tx+6ty-8t-=0上,当=-1时,曲线G为圆:x2+y2+x-3y+4-=0A、B、C、D四点共圆.3.解:（）设A（x0,y0）,则B（2-x0,4-y0）,由2x02-y02=,2（2-x0）2-（4-y0）2=x0-y0+1=0点A在直线x-y+1=0上,同理可得:x-y+1=0直线CD:x+y-3=0;将x
13、-y+1=0代入x2-=得:x2-2x-（2+1）=04+4（2+1）0-1;同理将x+y-3=0代入x2-=得:-9;又0的取值范围是（-1,0）（0,+）;（）由A、B、C、D四点均在曲线G:（2x2-y2-）+t（x-y+1）（x+y-3）=0,即（2+t）x2-（1+t）y2-2tx+4ty-3t-=0上,当t=-时,曲线G为圆:（x+3）2+（y-6）2=4（+9）A、B、C、D四点共圆.4.解:（）由四边形FBCD存在外接圆|OF|OC|=|OB|OD|ac=b2FBC=Rt圆心P为FC的中点P（a-c）,0）|PA|=（a-c）+a=7-,又由ac=b2c=aa=4,b2=2-2
14、椭圆:（-1）x2+2y2=4（-1）;（）因P（3-,0）,设直线l1:（0）直线l2:.把代入（-1）x2+2y2=4（-1）得:（-1）cos2+2sin2t2+2（-1）（3-）cost+（-1）（10-6）=0t1t2=同理可得:t3t4=;由E、F、M、N四点共圆|PE|PF|=|PM|PN|t1t2|=|t3t4|（-1）cos2+2sin2=（-1）sin2+2cos2sin=cos=k=tan=1.5.解:（）设直线AB的倾斜角为（0）,参数方程为:代入+=1得:（a2cos2+b2sin2）t2+2（a2cos+3b2sin）t+（a2+9b2-a2b2）=0;由点P为线段
15、AB的中点t1+t2=0a2cos+3b2sin=0tan=-;又由e=a2=3b2tan=-1直线AB:t1t2=（4-b2）|AB|=|t1-t2|=6b=4椭圆C:（）设直线MN的倾斜角为（0（t为参数）,代入+=1得:（48cos2+16sin2）t2+96（cos+sin）t-1636=0|PM|PN|=;由（）知,|PA|PB|=18;所以,A、M、B、N四点共圆|PA|PB|=|PM|PN|48cos2+16sin2=32sin=tan=1直线MN:y=x+2;t2+3t-18=0点Q（-,）|PQ|2=R2=+（3）2=圆Q:（x+）2+（y-）2=.6.解:（）当y=时,x=,又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得所求距离=+=;（）设直线PA:y-y0=k（x-x0）,即y=kx+y0-kx0,代入y2=2px得:ky2-2py+2p（y0-kx0）=0（k0）y0y1=;由PA与PB的斜率存在且倾斜角互补y0y2=-y0y1+y0y2=-=-4px0=-2y02=-2kAB=-.
