1、 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 一、向量组的秩与极大无关组一、向量组的秩与极大无关组 二、二、向量空间的基与维数向量空间的基与维数 三、向量空间的基与维数三、向量空间的基与维数 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新，满足，满足个向量个向量选出选出中能中能，如果在，如果在设有向量组设有向量组riiisrAA ,:2121定义定义 线性无关；线性无关；）向量组）向量组（riiiA ,:1210个向量线性相关个向量线性相关中任
2、意中任意）向量组）向量组（12 rA一、向量组的秩与极大无关组一、向量组的秩与极大无关组 的一个极大无关向量组的一个极大无关向量组称为向量组称为向量组那么向量组那么向量组AA0；简称极大无关组简称极大无关组)(称为称为数数极大无关组所含向量个极大无关组所含向量个 r只含零向量的向量组只含零向量的向量组;向量组的秩向量组的秩.0规定它的秩为规定它的秩为;1个向量的话）个向量的话）中有中有（如果（如果 rA的秩也记作的秩也记作向量组向量组sA ,:21);,(),(2121ssrR 或或没有极大无关组，没有极大无关组，第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量
3、空间 杨建新杨建新，742520111321 如向量组如向量组,21线性无关线性无关向量组向量组 .,321线性相关线性相关向量组向量组 。秩为秩为且向量组且向量组的极大无关组，的极大无关组，是向量组是向量组故向量组故向量组2,32132121 的行秩。的行秩。的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为矩阵矩阵的列秩，的列秩，的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为定义：矩阵定义：矩阵AA AA 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 证证,)(),(21rARaaaAm ，设设列线性无关；列线性无关；知所在的知所在的所以所以rDr0 阶子式均
4、为零，阶子式均为零，中所有中所有又由又由1 rA关组，关组，的列向量的一个极大无的列向量的一个极大无列是列是所在的所在的因此因此ArDr.r所以列向量组的秩等于所以列向量组的秩等于).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证定理定理1 1 .0 rDr阶子式阶子式并设并设.1个列向量都线性相关个列向量都线性相关中任意中任意知知 rA也等于它的行向量组的秩。也等于它的行向量组的秩。矩阵的秩等于它的列向量组的秩，矩阵的秩等于它的列向量组的秩，第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新.极大无关组极大无关组行即是行向量组
5、的一个行即是行向量组的一个所在的所在的极大无关组，极大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的则则，的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDAD rrr但所含向量个数相同；但所含向量个数相同；）极大无关组不唯一）极大无关组不唯一（,1结论结论 说明说明 .2关组是等价的关组是等价的）向量组与它的极大无）向量组与它的极大无（如阶梯形矩阵如阶梯形矩阵 00000310003011040101 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 是线性无关的，是线性无关的，向量组向量组维单位坐标向量构成的维单
6、位坐标向量构成的因为因为neeeEn,:21解解.的秩的秩一个极大无关组及一个极大无关组及的的，求，求作作维向量构成的向量组记维向量构成的向量组记全体全体nnnRRRn 例1例1个向量都线性相关，个向量都线性相关，中的任意中的任意知知的推论的推论节定理节定理又根据又根据1)2(41.3 nR n.nRRE nn的秩等于的秩等于的一个极大无关组，且的一个极大无关组，且是是因此向量组因此向量组 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 线性无关的线性无关的向量组向量组s ,21定理定理2 2 .),(21sRs 充要条件是充要条件是推论推论
7、1 1 线性相关的线性相关的向量组向量组s ,21.),(21sRs 充要条件是充要条件是推论推论2 2 线性无关的线性无关的维向量组维向量组个个nnn ,21).,(,0|21sAA 其中其中充要条件是充要条件是 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 定理定理3 3 说明说明:关组的方法关组的方法求向量组的秩与极大无求向量组的秩与极大无初等变换初等变换给我们提供了利用矩阵给我们提供了利用矩阵定理定理3 矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变不改变(部分或全部部分或全部)列列 向量向量之间的线性关系；之间的线性关系；矩阵的矩阵的初等
8、列变换初等列变换不改不改 变变(部分或全部部分或全部)行向量行向量之间的线性关系。之间的线性关系。第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 求向量组的秩、极大无关组的步骤求向量组的秩、极大无关组的步骤.（1）向量组）向量组 12,s 作列向量构成矩阵作列向量构成矩阵A。（2）AB初等行变换初等行变换（行最简形矩阵）（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数的非零行的行数（3）求出）求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组（4）A中与中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为
9、即为A的极大无关组。的极大无关组。第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 例例3：向量组：向量组 12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT 求向量组的秩和求向量组的秩和 一个极大无关组。一个极大无关组。解：解：7135421132151711184011A 1517121132713541184011 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 1517109111003644430637770151
10、710911100000300000B()3r A又因为又因为B的的1，2，5列是列是B的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组 所以，所以，125,是是 12345,的一个极大无关组。的一个极大无关组。考虑：考虑：是否还有其他的极大无关组？是否还有其他的极大无关组？135,145,与与 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新.的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组ABAB.,:,:1010sraaAAbbBBsr 要证要证的一个最大无关组为的一个最
11、大无关组为向量组向量组，的一个最大无关组为的一个最大无关组为设向量组设向量组 证证定理定理3 3 .00组线性表示组线性表示组能由组能由表示，表示，组线性组线性组能由组能由组线性表示，组线性表示，组能由组能由因因AAABBB.00组线性表示组线性表示组能由组能由故故AB使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),(ijsrkK 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 srsrsrkkkkaabb111111),(),(），），有非零解（因有非零解（因简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果rsKRKxxxKsrrsr )()0(0 1有非
12、零解，有非零解，从而方程组从而方程组0),(1 Kxaas有非零解，有非零解，即即0),(xbbr.0srsrB 不能成立，所以不能成立，所以线性无关矛盾，因此线性无关矛盾，因此组组这与这与 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新.rsBA和和的秩依次为的秩依次为与向量组与向量组设向量组设向量组证证.等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1 ,同时成立同时成立与与故故srrs 示，示，表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即.rs 所以所以).()(),()(BRCRARCRB
13、ACnssmnm ，则，则设设推论推论2 2 用其列向量表示为用其列向量表示为和和设矩阵设矩阵AC 证证).,(),(11snaaAccC ，而而)(ijbB 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 snsnsnbbbbaacc111111),(),(由由).()(ARCR 因此因此),()(,TTTTTBRCRABC 由上段证明知由上段证明知因因的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，的列向量组能由的列向量组能由知矩阵知矩阵AC).()(BRCR 即即 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量
14、空间 杨建新杨建新;,)1(21线性无关线性无关r .,2)(21线性表示线性表示中任一向量都可由中任一向量都可由rV 那末，向量组那末，向量组 就称为向量就称为向量 的一个基，的一个基，r,21V定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 r,21 VVr ,二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 定理定理5 设设W 是是 nR 的子空间，的子空间，则则 （1）W的任何一个基所含向量的个数相同。的任何一个基所含向量的个数相同。（2）若）若W中有
15、一个基含有中有一个基含有r个向量，则个向量，则W中的任意中的任意 个向量必线性相关的。个向量必线性相关的。记为记为 dimWrW的基中所含向量的个数的基中所含向量的个数r称为子空间称为子空间W的维数，的维数，第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 R,xVrrr 12211 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量维向量空间，因此它没有基空间，因此它没有基 说明说明 （4）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一 个基，则个基，则 可表示为可表示为 r,21VV （2）若把向量空间）若把向量空间
16、看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基 就是向量组的极大无关组就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的的维数就是向量组的 秩秩.VVV （3）如果）如果V是向量空间，是向量空间，V的任何的任何r个线性无关个线性无关 的向量都是的向量都是V的一个基的一个基 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新,221212122),(321 aaaA.,3321的一个基的一个基是是验证验证Raaa设矩阵设矩阵 例4例4.,3213321线性无关线性无关只要证只要证的一个基的一个基是是要证要证aaaRaaa 分析：分析：解：解：221|21227
17、0,122A.,321线性无关线性无关所以所以aaa 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 6.3 维数维数 基基 坐标坐标 下的下的坐标坐标，记为，记为 （3）坐标坐标 设设 为线性空间为线性空间 V 的一组基，的一组基，12,n,V则数组则数组 ，就称为，就称为 在基在基 12,n 12,na aa1 12212,nnnnaaaa aaR若若 12(,).Tna aa有时也形式地记作有时也形式地记作 1212(,)nnaaa 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 6.
18、3 维数维数 基基 坐标坐标 注意注意 向量向量 的坐标的坐标 12(,)na aa是被向量是被向量 和基和基 12,n 唯一确定的即向量唯一确定的即向量 在基在基 下的坐标唯一的下的坐标唯一的.12,n 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？标如何改变呢？在在 n n 维空间维空间 V V中，任意中，任意 n n 个线性无关的向量都可个线性无关的向量都可 以作为以作为V V的一组基对于不同的基，同一个向量的坐的一组基对于不同的基，同一个向量的坐 标是不同
19、的标是不同的 二、基变换与坐标变换二、基变换与坐标变换 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新,2121的两组基的两组基是是与与设设nnnR 它们是等价向量组，故它们是等价向量组，故 Pnn),(),(2121 其中其中P是是n阶矩阵，阶矩阵，nn ,2121到到称为由称为由的的过渡矩阵过渡矩阵，由上式可知由上式可知P可逆。可逆。下的下的与与在基在基设向量设向量nn ,2121,坐标分别为坐标分别为 nnyyyYxxxX2121,(1)第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新
20、则由则由 nnxxx 22111212,nnxxxnnyyy 22111212,nnyyy 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 nnyyyP2121 nnyyy2121 由坐标的唯一性得：由坐标的唯一性得：nnyyyPxxx2121即得即得(1)式式(2)式分别称为式分别称为基变换公式基变换公式和和坐标变换公式坐标变换公式。(2),1XPYPYX 或或 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新.,52,100110011)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(,321
21、3213213213的表达式的表达式下下在基在基并求并求所得到的新基所得到的新基通过过渡矩阵通过过渡矩阵求由基求由基中中在在 例6例6 A RTTT例例5 见见P121例例3 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 解解 由题设有由题设有设欲求的新基为设欲求的新基为,321 ),(100110011),(),(),(32211321321321 A.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321所求的新基所求的新基是是所以所以TTT 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建
22、新 1231(,)25 52110011001152111321Axxx 则则,),(321321 xxx ,532521100110111 .532321 故故 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 基基的子空间的维数和一组的子空间的维数和一组求求例7例73R 0|3213321xxxRxxxW教材教材P123 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 5344,9565,112331022121bba a 已知已知例8例8);,(),()1(2121bbLaaL证明证明的
23、一个基及维数。的一个基及维数。求求),()2(2121bbaaL 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 证明证明 5913351146204532),(2121bbaa 0000000023103511 初等行变换初等行变换 ,2),(2121bbaaR 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新,2121线性无关线性无关线性无关，向量组线性无关，向量组而向量组而向量组bbaa的极大无关组，的极大无关组，都是向量组都是向量组与向量组与向量组故向量组故向量组21212121,bbaabbaa 等价，等价，与与从而向量组从而向量组2121,bbaa。所以所以),(),(2121bbLaaL。所以所以2),(dim2121bbaaL的一个基，的一个基，空间空间都是向量都是向量或者向量组或者向量组因为向量组因为向量组),(,21212121bbaaLbbaa 第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 第三章第三章 n n维向量空间维向量空间 杨建新杨建新 有问题可通过有问题可通过Email询问询问:
