1、中考数学压轴题之初中数学专题中考数学压轴题专题复习1. （ 2008年四川省宜宾市）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点 A （-1 , 0）、B （0, 3）两点，其 顶点为D.求该抛物线的解析式；（1） 若该抛物线与x轴的另一个交点为 E.求四边形ABDB的面积；（2） BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由 .（注：抛物线 y=ax2+bx+c（a丰0）的顶点坐标为b 4ac b22a 4a2.（08浙江衢州）已知直角梯形纸片 OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为 O（0, 0） , A（10, 0） , B（8,
2、 2. 3） , C（0, 2 3），点 T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为 点A ），折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t，折 叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S;（1） 求/ OAB勺度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；（2） 当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t的取值范围；（3） S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t的值；若不存在，请说明理由3.（08浙江温州）如图，在 Rt A ABC 中,A 90o，AB 6，AC 8，D，E 分别BC于Q，过点是边AB, AC的中点，点P从
3、点D出发沿DE方向运动，过点 P作PQQ作QR / BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ x , QR y .(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3) 是否存在点 P，使 PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x的值; 若不存在，请说明理由.4.( 08山东省日照市)在厶 ABC中，/ A= 90, AB= 4, AO 3, M是AB上的动点(不与 A, B重合)，过M点作MN/ BC交AC于点N.以MN为直径作O O并在。O内作内接矩形 AMPN令 AM= x.(1)用含x的代数式表示 M NP的面积S
4、;(2 )当x为何值时，O O与直线BC相切？(3)在动点M的运动过程中，记 MNP与梯形BCNMt合的面积为y,试求y关于x的 函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图1k5、( 2007浙江金华)如图1，已知双曲线 y= (k0)与直线y=k x交于A, B两点，点 A在x第一象限试解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4 , 2).则点B的坐标为 ;若点A的横坐标为 m,则点B的坐标可表示为 ;k(2)如图2，过原点O作另一条直线 I，交双曲线 y= (k0)于P, C两点，点P在第一x象限说明四边形 APBC一定是平行四边形；设点的横坐标分别为 m, n,四边形APBC
5、可能是矩形吗 ？可能是正方形吗 ？若可能，直接写出 mn应满足的条件；若不可能，请说明理由 y6.（2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知 AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点 P是x轴上的一个动点，连结 AP,并把 AOP绕着点A按逆时针方向旋转 .使边AO与 AB重合.得到 ABD. （ 1）求直线 AB的解析式；（2）当点P运动到点（、3 , 0 ）时，求此时 DP的长及点D的坐标;3）是否存在点卩，使4 OPD勺面积等于，若存在，请求出符合条件的点4P的坐标；若不存在,请说明理由7.（2008浙江义乌）如图1，四边形ABC是正方形，G是CD边上的一
6、个动点（点G与C、D不 重合），以CG为一边在正方形 ABCC外作正方形CEFG连结BG DE我们探究下列图中线段 BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍 然成立，并选取图2证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图 4 6），且AB=a BC=b CE=ka CG=kb（ a b,5为例简要k 0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 说明理由.1(3)在
7、第 题图5中，连结DG、BE，且a=3, b=2, k=，求BE DG2的值.28.(2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形 OAB啲顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上过点B C作直线I .将直线I平移，平移后的直线I与x轴交于点D,与y轴交于点E.(1) 将直线I向右平移，设平移距离 CD为t(t 0)，直角梯形OAB(被直线|扫过的面积(图中阴影部份)为 s , s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线 的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4.1求梯形上底 AB的长及直角梯形 OABC勺面积；2当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；(2) 在第(1)题的条件下，当直线|
8、向左或向右平移时(包括|与直线BC重合)，在直 线AB上是否存在点P,使 PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.9.(2008山东烟台)如图，菱形 ABCD的边长为2, BD=2, E、F分别是边AD, CD上的两个动 点，且满足AE+CF=2.(1)求证： BDEA BCF; (2)判断 BEF的形状，并说明理由；(3)设厶BEF的面积10.(2008山东烟台)如图，抛物线L1 : y抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2 , L2交x轴于C、D两点.为S,求S的取值范围.(1 )求抛物线L2对应的函数表达式;(2)抛物线L1或L2在
9、x轴上方的部分是否存在点 N,使以A, C, M N为顶点的四边形是 平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是抛物线Li上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车了.通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了 120千米.已知运输车速度不变时， 行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.(1 )求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.(2) 若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从 A地到宁波港的运输成本 是每千米元，时间成本是每
10、时 28元，那么该车货物从 A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运 输费用是多少元？(3) A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从 A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过 10车)从A地按外运路线运到 B地的运费需8320 元，其中从 A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与( 2)中相同，从宁波港到 B地的海上运费对一批不超过 10车的货物计费方式是：一车 800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少 20元，问这批货物有几车？12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开， 得到“2 开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸、“16开”纸.已知
11、标准纸.的 短边长为a .(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“ 16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边 AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕 AE ;第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕 AF .则AD: AB的值是 , AD, AB的长分别是 , .(2)“ 2开”纸、“ 4开”纸、“ 8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这 个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.(3) 如图3,由8个大小相等的小正方形构成 “L ”型图案，它的四个顶点E, F, G, H分别在“16开”纸的边 AB, BC, CD, DA上
12、，求DG的长.(4)已知梯形 MNPQ中，MN / PQ，/ M 90, MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“ 4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.13. (2008 山东威海)如图，在梯形 ABCD中, AB/ CD AB= 7，CD= 1，AD= BC= 5.点 MN 分别在边 AD BC上运动，并保持 MIN/ AB, MEL AB NF丄AB垂足分别为 E, F.(1)求梯形 ABCD勺面积；(2)求四边形MEFF面积的最大值.(3)试判断四边形MEF!能否为正方形，若能，求出正方形 MEFN勺面积；若不能，请说明理由.14.( 2008山东
13、威海)如图，点A ( m m+ 1) , B ( m 3,m-1)都在反比例函数 y上的x图象上.(1)求m k的值；y (2)如果 M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点代B, M N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式. Ox(3)选做题：在平面直角坐标系中，点 P的坐标为(5, 0),点Q的坐标为(0, 3),把线段PC向右平 移4个单位，然后再向上平移 2个单位，得到线段 PQ，则点P的坐标为 ，点Q的坐标为 .15.( 2008湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图12,
14、点A、B、C D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点 C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)16.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中C(0,3) 动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿 OC向终点MB x秒时,0(0,0) , A(6,0),3动点P从点A出发以相等的速度沿 AO向终点O运动.当其中一点到达终点时，另一点也 停止运动设点 P的运动时间为t (秒). 图12开动脑筋想一
15、想，相信你能求出经过点 D的“蛋圆”切线的解析式(1)用含t的代数式表示 OP, OQ ;(2) 当t 1时，如图1,将厶OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D 的坐标；(3) 连结AC，将 OPQ沿PQ翻折，得到 EPQ，如图2.问：PQ与AC能否平 行？ PE与AC能否垂直？若能，求出相应的 t值；若不能，说明理由.17.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中， 直线y、3x 、3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yax1 2 3c(a0)经过 A, B, C 点.图1618.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC的边BO在x轴
16、的负半 轴上，边OC在y轴的正半轴上，且 AB 1，OB . 3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD 点A的对应点为点E ,点B的对应点为点 F，点C的对应 点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A, E, D .(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2)求抛物线的函数表达式；(3) 在x轴的上方是否存在点 P，点Q，使以点O, B, P, Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点 P，点Q的坐标；若19.( 2008年四川省巴中市)已知：如图14，抛物线y3x2 3与x轴交于点A，点B ,43与直线y -x b相交于点
17、B，点C，直线yx b与y轴交于点E .4A向B运动(不与A B重合)， B向C运动设运动时间为t秒，(1 )写出直线BC的解析式.(2 )求 ABC的面积.(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从 同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从 请写出MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时， MNB的面积最大，最大面积是多少?20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系 xOy中， OAB的顶点A的坐标为(10, 0), 顶点B在第一象限内，且 AB =3 J5 , sin / OAB迈.5(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过 OC A三点的抛物线的函
18、数表达式；(2) 在(1)中，抛物线上是否存在一点 P,使以P、OC、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若将点O点A分别变换为点 Q( -2k ,0 )、点R (5k, 0)( k1的常数)，设过 QR两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y轴的交点为N,其顶点为 M,记厶QNM的面积为S QMN， QNR勺面积S QNR，求S QMN : S QNR的值.21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中 ABC的边AB在x轴上，且OAOB以 AB为直径的 圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标Xa,Xb是关于X的方程2x
19、 (m 2)x n 1 0 的两根：(1)求m, n的值(2)若/ ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线I对应的一次函数的解析式11过点D任作一直线I分别交射线 CA CB(点C除外)于点M N则 的值是CM CN否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由DNL22.(2008年四川省宜宾市)已知：如图，抛物线y=-x 2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点 A(-1 , 0)、B (0，3)两点，其顶点为 D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为 E.求四边形ABDB的面积；b 4ac b22a 4a AOBM BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果
20、不相似，请说明理由2(注：抛物线 y=ax+bx+c(a丰0)的顶点坐标为23.(天津市2008年)已知抛物线 y 3ax2 2bx c ,(I)若a b 1 , c 1,求该抛物线与x轴公共点的坐标;(川)若a b c 0，且x1(n)若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点， 求c的取值范围;0时，对应的y1 0 ; x2 1时，对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.24.(2008年大庆市)如图，四边形 AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为 a, b ( b 2a),且点 F在AD上(以下问
21、题的结果均可用 a, b的代数式表示).(1 )求 Sa DBF ；(2)把正方形 AEFG绕点A按逆时针方向旋转 45得图，求图中的 SaDBF ；(3)把正方形 AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中， SaDBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.25. （2008 年上海市）已知 AB 2, AD 4, DAB 90o, AD / BC （如图 13）. E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.（1 ）设BE x , ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;（2） 如果以线段 AB为直径的圆与以线
22、段 DE为直径的圆外切，求线段 BE的长；（3） 联结BD，交线段AM于点N，如果以A, N, D为顶点的三角形与 BME相似, 求线段BE的长.图13B 备用图26.（2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站. 由供水站直接铺设管道到另外两处.如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学点 B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点 D 在点M的南偏西60o的2、3 km处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有
23、如下三种方案：方案一：供水站建在点 M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值；方案二：供水站建在乙村（线段 CD某处），甲村要求管道建设到 A处，请你在图中，画 出铺设到点 A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点 M处 的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？甲村C乙村D图M EK:rT:27.(2008年山东省青岛市) 已知：如图，在 Rt ACB中，/ C= 90, AC= 4cm BC= 3cm,点P由B出发沿BA方向向点 A匀
24、速运动，速度为 1cm/s ;点Q由A出发沿AC方向向 点C匀速运动，速度为 2cm/s ;连接PQ若设运动的时间为t (s) ( 0v t v 2)，解答下列问题：(1 )当t为何值时，PQ/ BC?(2)设厶AQP的面积为y ( cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3) 是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt ACB的周长和面积同时平分？若存在，求 出此时t的值；若不存在，说明理由；(4) 如图，连接 PC,并把 PQC沿QC翻折，得到四边形 PQP C,那么是否存在某一时 刻t，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.图Rk 128.( 2008年江
25、苏省南通市)已知双曲线y 与直线y X相交于A B两点.第一象限x 4k上的点M( m n)(在A点左侧)是双曲线 y 上的动点.过点B作BD/ y轴于点D.过NXk(0，- n)作NC/ x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.X(1)若点D坐标是(8，0)，求A、B两点坐标及k的值.(2) 若B是CD的中点，四边形 OBCE勺面积为4,求直线CM的解析式.(3)设直线 AM BM分别与y轴相交于 P、Q两点，且 M* pMP MB= qMQ求p q的值.29.(2008年江苏省无锡市) 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点
26、安装一个这种转发装置，使这些装置转 发的信号能完全覆盖这个城市.问：(1)能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？(2)至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求： 请你在解答时，画出必要的示意图， 并用必要的计算、推理和文字来说明你的理 由(下面给出了几个边长为 30km的正方形城区示意图，供解题时选用)图1图2图3图4压轴题答案1. 解：( 1 )由已知得：c3解得1 b c0c=3,b=2抛物线的线的解析式为 yx2 2x 3(2) 由顶点坐标公式得顶点坐标为(1 ， 4)所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x
27、=1 对称，所以E(3,0)设对称轴与 x 轴的交点为 F所以四边形ABDE的面积=S aboS梯形BOFDS DFEAO BO 1(BO DF) OF 1EF DF22 21111 3 -(34) 1-24222=9(3)相似如图,BD= BG2DG2,1212,2BE.BO2 oe23232DE=,DF2 EF222422,5所以BD2 BE220,DE220即:BD2 BE所以AOB DBE90 ,且AOBOBDBE2，所以AOB: DBE .2. (1)/ A, B两点的坐标分别是A(10, 0)和 B(8,- tan OAB2、33 ,10 8 OAB602,3),当点A在线段AB上
28、时, A TA是等边三角形,2 2DE ,所以BDE是直角三角形二 TP (10 t)sin60OAB 60 , 且 TP TA ,TA=TA ,f(101),AAP-AT2- S S atp 丄A P TP 3(10 t)2,2 82材3当A与B重合时，AT=AB= 4 ,sin 60x所以此时6 t 10.当点A在线段AB的延长线，且点 P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形 (如图(1)，其中E是TA与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8点T的坐标是(2 , 又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6 , 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时， 2
29、t(3)S 存在最大值。当 6 t 10时，S 于(10 t)2，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小,当t=6时，S的值最大是 2.3.当2 t 6时，由图Oi，重叠部分的面积S S atp Saeb AEB的高是 A Bsin60 ,3 2石(10 t)1(10 t 4)2 于-(t2 4t 28) -(t 2)2 4.38 8当t=2时，S的值最大是4、3 ;O当0 t 2 ,即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图O ,其中E是TA与CB 的交点，F是TP与CB的交点)，/ EFT FTP ETF，四边形 ETAB是等腰形， EF=ET=AB=411- S EF OC 4 2 3 4 322综上所述，S的最大值是4、. 3，此时t的值是0 t 2.3.解：(1) Q A Rt , AB 6, AC 8, BC 10 Q点D为AB中点，Q DHB A 90o,1 BD -AB 2B B 3 BHD BAC ,DH BDBD312, DHgAC8AC BCBC105(2) QQ
