1、 -这是xx的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若，则两边分别相加得例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：所以解法二：两边除以，得，则，故因此，评注：已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型
2、（1）有,又得,所以,又,此题也可以用数学xx来求解.二、累乘法1.。 -适用于： -这是xx的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若，则两边分别相乘得，例4 已知数列满足，求数列的通项公式。因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.已知等式可化为：（）（n+1）, 即时，=.本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列an的通项公式.答案：-1.本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项
3、公式.三、待定系数法 适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中）型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型（1）即可求得通项公式.我们
4、看到此方法比较复杂.例6已知数列中，求数列的通项公式。 又是首项为2，公比为2的等比数列，即两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习已知数列中，求通项。2形如：（其中q是常数，且n0,1）若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定
5、系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）：3形如（其中k,b是常数，且）方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ;解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8 在数列中，求通项.（逐项相减法），时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即再由累加法可得. 亦可联立 解出.例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法
6、）原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.4形如（其中a,b,c是常数，且）基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10 已知数列满足，求数列的通项公式。设比较系数得，由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11 已知数列满足，求数列的通项公式。比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求. .四、迭代法 （其
7、中p,r为常数）型例12 已知数列满足，求数列的通项公式。因为，所以又，所以数列的通项公式为。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法 适用于（其中p,r为常数）型 p0，例14. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式.例15 已知数列满足，求数列的通项公式。因为，所以。两边取常用对数得设 （同类型四）由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 已知数列满足，求数列的通项公式。求倒数得为等
8、差数列，首项，公差为，七、换元法 适用于含根式的递推关系例17 已知数列满足，求数列的通项公式。令，则代入得即因为，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。八、数学xx 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学xx加以证明。例18 已知数列满足，求数列的通项公式。由及，得由此可猜测，下面用数学xx证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有，又有把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方
9、法求解。例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。对任意有当n=1时，解得或当n2时，-整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.2、对无穷递推数列例20 已知数列满足，求的通项公式。因为 所以 用式式得则故所以 由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21 已知数列中，求数列的通项公式。递推关系
10、是对应得递归函数为，由得，不动点为-1，类型二：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22. 设数列满足,求数列的通项公式.此类问题常用参数法化等比数列求解.对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.例23 已知数列满足，求数列的通项公式。令，得，则是函数的两个不动点。因为所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。十一。特
11、征方程法 形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为若有二异根，则可令是待定常数）若有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24 已知数列满足，求数列的通项其特征方程为，解得，令，例25、数列满足，且求数列的通项。令，解得，将它们代回得，得,则，数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，十二、基本数列1形如型 等差数列的xx形式，见累加法。2.形如型 等比数列的xx形式，见累乘法。3.形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法（两式相减）得，分奇偶项来分求通项.
