1、第三讲 行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开? 【分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间,现在从甲到乙花费了时间155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回
2、开2. 甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为10080=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟 而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时,有50+40,解得. 所以小张驾驶的摩托车减速是
3、在他出发后小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需10050=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需10040=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了的路程,即行驶了100千米的路程,距出发小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒? 【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为9010=9米/秒,逆风速度为7010=7米/秒 则无风速度=米/秒所以无风的时候跑100米，需1008=12.5秒.4.
4、 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图， 有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时设AB长千米,有,解得=25所以A,B两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B两个港
5、口,水由A流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A向B行驶,各自不停地在A,B之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B两个港口之间的距离. 【分析与解】 设AB两地的路程为单位“1”,则： 甲、乙两人在A、B往返航行，均从A点同时同向出发,则第次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2； 甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2； 甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出
6、发,则第次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2-1)； 甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2-1) 有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”. (一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了23个AB长度，乙走了21个AB长度，设甲走了2个AB的长度,则乙走了2-个AB的长度,有 ，解得，即第二次迎面相遇的地点距A点AB的距离.(二)第二次甲追上乙时，有甲行走(为整数，1)个AB
7、的长度，则乙行走了个AB的长度，有，化简得，显然无法满足为整数，1； 第二次甲追上乙时，有甲行走(y为整数，1)个AB的长度，则乙行走了个AB的长度，有，化简有，有，. 即第二次甲追上乙时的地点距B点AB的距离，那么距A也是AB的距离 所以，题中两次相遇点的距离为(AB，为40千米，所以AB全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B地、乙到达A地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小
8、时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B、A两地.接着两船再分别从B、A两地往AB中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和. 有:甲静水速度+水速=乙静水速度水速. 还有从开始到甲第一次到达B地，乙第一次到达A地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的 甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速 从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB的路程,而从返航到第二次
9、相遇两船共行驶了AB的路程,需时间802=40分钟 有4倍水速=,有水速=375米/小时=0.375千米/小时即河水的流速为每小时0.375千米7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走7045=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程 甲行走一圈需70分钟，所以乙需702545=126分钟即乙走一圈的时间是126分钟8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的
10、直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长 【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+圈的路程 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即1003=300米 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回
11、头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了；乙跑第二圈时速度提高了已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点的跑道长度 有甲回到出发点时，乙才跑了的跑道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了圈 所以还剩下的跑道长度，甲以4的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差圈，所以
12、，这条椭圆形跑道的长度为米10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒? 【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100(5-4)=100秒 此时甲跑了1005=500米，乙跑了1004=400米 而实际上甲跑500米，所需的时间为100+410=140秒，所以140150秒时甲都在逆时针距A点500处 而乙跑400米所需的时间为100+310=130秒，所以130140秒时乙走在逆时针距B点400处显然从开始计算1
13、40秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C. 当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的. 即AC=400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2
14、倍 那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300(2-1)2=600米，加上开始跑的l圈400米所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米 甲追上乙16米所需时间为16(3-2)=16秒，此时甲行了316=48米，乙行了216=32米 甲、
15、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边，从而看见乙而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为23=秒所以经过16+=16秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇并且只能在AB顺时针的半跑道上易知小跑道AB逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上
16、AB的顺、逆时针路程均是200米我们将甲、乙的行程状况分析清楚 当甲第一次到达B时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处 而当乙第一次到达B点时，所需时间为2004=50秒,此时甲跑了506=300米,在B点300-200=100米处 乙跑出小跑道到达A需1004=25秒,则甲又跑了256=150米,在A点左边(100+150)-200=50米处 所以当甲到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇 从乙再次到达A处开始计算,还需(400-50)(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共
17、跑了1106=660米14如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少? 【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.有甲从P到达AB中点O所需时间为.乙从P到达AB中点O所需时间为.有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：=且有PD=DC-PC=1-
18、PC,代入有,解得PC=. 所以PM=MC=,DP=. 现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为. 有甲从M到达N点所需时间为；乙从M到达N点所需时间为.有，解得.即AN=.所以ANBN15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置 先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程有，有 然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF的距离 有，即5ED2DF 联立，解得 于是,得到如下的位置关系： -=6087(平方米)
