1、2 y ex 的特解的形式y*axex二、解答题（共 18 分每小题 6 分）1求过点 （1,2 y2, 1） 且垂直于直线的平面方程i j k解：设所求平面的法向量为 n ，则 n 1 2 1 1, 2, 3（4 分）1 1 1所求平面方程为x 2 y 3z 0（6 分）2将积分 f （ x, y, z） dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中 是曲面z 2 （ x2 y2 ） 及 z x2 y2 所围成的区域 r z2 r 2 , 0r1, 0（3 分）f （ x, y, z）d vd2 r 2, r sin, z）dz（6 分 ）r drf （r cos计算二重积分Ie（ x2y2 ）d
2、xd y，其中闭区域D4.解e rd（ r 2 ）de r（1 e 4 ）三、解答题（共35 分每题 7 分）1设 z uev ，而 u x2y2 ， v xy，求 d z zz uz vev 2x uev y exy （2x x2 y y3 ）uvev 2 y uev x exy （2 y x3xy2 ） （6 分 ）d z exy （ 2x x2 y y3 ）dx exy （2 y x3xy2 ）d y（7 分）2函数 zz（ x, y） 由方程 ezxyz0所确定，求z ,令 F （x, y, z）ezxyz，则Fxyz,Fyxz,Fzxy,yzxz，3计算曲线积分Lydxx dy ，其
3、中 L 是在圆周 y向弧段（2 分）（5 分）（7 分 ）2x x2 上由 A（ 2, 0） 到点 O（0, 0） 的有添加有向辅助线段 OA，有向辅助线段 OA 与有向弧段 OA 围成的闭区域记为 D ，根据格林公式y dxx dy2dxdyy dx x dyOA4设曲线积分 exf （x） y dxf （x） dy 与路径无关，其中f （x） 是连续可微函数且满足f （ 0） 1，求f （ x） PQexf （x） f （ x） ， 由得即 f （ x）f （ x） ex所以f （ x） e （ 1） dx （ ex e dxdx C ） ex （ x C ） ，代入初始条件，解得 C1，
4、所以 f （x） ex （ x 1） （n!）5判断级数的敛散性n1 （2n）!因为 lim un 1lim（ n1）! 2） 2un（ 2n2）!（2n）!（n 1）2（2n2）（ 2n1）4故该级数收敛四、（7 分）计算曲面积分xdydzydzdx zdxdy ，其中是上半球面z1 x2 y2 的上侧添加辅助曲面1 : z 0, x21 ，取下侧，则在由1 和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得xdyd z ydzd x zdxdyxd yd zydzdxzdxd yydzd xzdxdydv3 12 五、（6 分）在半径为 R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形设三角形各边所对圆心
5、角分别为 x, y, z，则 x y z 2 ，且面积为 A1 R2 （sin xsin ysin z） ，令 F sin xsin z（ xy z 2 ）cos x由cos ycos zx yz 2（4 分）得 x y z此时，其边长为 23 R3R 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大六、（8 分）求级数xn的收敛域，并求其和函数 R liman（n1 ，故收敛半径为 R 1an 1当x 1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当x 1时， 级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为 1, 1） 设和为 S（x） ，即 S（ x），求导得S （ x）xn 11
6、，再积分得 S（x） S （ x）dxln（1 x） ， （ 1 x 1）（8 分）0 1dx七、（5 分）设函数 f （x） 在正实轴上连续，且等式f （t） dtf （t ）d tf （t） d t对任何 x0, y0 成立如果 f （1）3，求 f （x） 等式两边对 y 求偏导得x f （ x y）x f （ y）f （t）d t上式对任何 x0 仍成立令 y1，且因 f （1）3，故有xf （ x）3x（3 分 ）f （t）dt由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得xf （x）f （x）（x0） 即 f （x）故通解为3ln xC 当 x1时， f （1）3 ，故 C3 因此所
7、求的函数为3（ln x1） （5 分 ）八 （5 分）已知 y1xexe2 x ， y2e x ， y3e2 xe x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解 1：由线性微分方程解的结构定理知e2 x 与 e x 是对应齐次方程的两个线性无关的解， xex 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为y y 2 y f （x）将 y xex 代入上式，得 f （ x） ex 2xex ，因此所求的微分方程为y y 2 y ex 2xex解 2：由线性微分方程解的结构定理知 e2 x 与 e x 是对应齐次方程的两个线性无关的解， xex 是非齐次方程的一个特解，故 yC1e2 xC2e x
8、 是所求微分方程的通解，从而有2C1e2 xC2e x ，2ex4C e2 xC e x消去 C1,C2 ，得所求的微分方程为2xex06 高数 B一、填空题（共30 分1 xoy 坐 标 面 上 的 双 曲 线 4x29 y236 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为4x29（ y2z2 ） 36 2设函数 f （ x, y, z）2xz2 ，则 grad f （1, 0,1） （2, 1,2） 3直线 L1 : x4. 设是曲面 z及 zy2 所围成的区域积分，则f （x, y, z）d v 化为柱面坐标系下的三次积分形式是f （r cos , r sin
9、 , z）dz 5. 设 L 是圆周 y2x x2，取正向，则曲线积分ydx x dy26. 幂级数 （ 1）n 1 xn 的收敛半径 R 1 n 1 n7设级数8设周期函数在一个周期内的表达式为x ,0 x则它的傅里叶级数在 x处收敛于9全微分方程 xdxydy10写出微分方程 yy 2 y ex 的特解的形式二、解答题（共42 分每小题分）1求过点 （1, 2, 1） 且垂直于直线ijk设所求平面的法向量为 n ，则 n1, 2, 3所求平面方程为2y3zz（ x, y） 由方程 sin（ x2y 3z）2 y 3z所确定，求z 令 F （ x, y, z） sin（ x3z）3z ，则
10、Fxcos（x1,3cos（x3 计算xyd，其中 D 是由直线 y 1,及 yx 所围成的闭区域解法一：原式xydydxx3 x1 dx（）dx x4x2 1211 .8211解法二： xydxdy y2 y.（同上类似分 ）4计算 1 x2 y2 dxdy ，其中 D 是由 x2 y2 1即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 选极坐标系2 d1 r 2 r dr1 rd （1 r65计算（ y2z2 ）dx2 yzd yx2 dz ，其中是曲线 x t , yt 2 ,z t 3 上由 t到 t1的一段弧t 6 ）2t 52tt 23t 2 dt（ t7（3t） dt t0356判断级数2
11、n1 的敛散性因为1，（1 分 ）7求微分方程 y3y4 y0 满足初始条件 y x 00, y x05的特解特征方程 r 23r0，特征根4,通解为 yC e4 xe x ，4C e4 xC e x ，代入初始条件得C11, C2所以特解e4xe x 三、（8 分）计算曲面积分zdxdy ，其中是上半球面 z1 x2y2 的上侧1，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得xdydz ydzdx zdxdyzdxdy （4 分 ）0 （2 分） （2 分 ）四、（8 分）设曲线积分yf （x）dx 2xf （ x）x2 dy 在右半平面 （x0） 内与路径无关，其中f （x） 可导，且满足
