1、初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导 言初中数学知识点梳理沪教市北综合版为编者依据沪教版初中数学和市北初级中学资优生培训教材初中数学的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版初中数学侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版初中数学拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（）”部分为市北版的加深内容，练习带“（）”部分也为市北版内容。 第二章 分数一、知识结构二、重点和难点重点：掌握好两个分数大小比较的方法，会进行分数与小数的互化，会正确、简便
2、地进行分数与分数、分数与小数的四则混合运算。难点：两个分数的大小比较，分数、小数四则混合运算。第一节 分数的意义和性质2.1分数与除法 用分数表示除法：可以用分数表示正整数除法的商。分数实质上就是两个正整数相除的商的另外一种形式，它的分子就是被除数，分母就是除数，分数线相当于除号。用文字表示为：被除数-除数被除数除数 ，用字母表示为： p q （p、q为正整数），其中p为分子，q为分母。 除数不能是零，分数的分母不能为零。 分数与除法的关系：两个整数相除，商可以用分数表示；反之，分数也可以看作两个整数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。 分数与正整数的除法的关系是双向的。 除法是一种
3、运算，分数是一种数。例1：用分数表示图中阴影部分的面积。 （ ） （ ） （ ）练习2.1()1、 把5米长的铜管平均截成8段，每段长是_米，每段占全长的_。（用分数表示）2、 5厘米是1厘米的_（填几分之几）；5厘米是1米的_（填几分之几）。3-44- 33、 把一张正方形纸片连续对折三次得到的图形的面积是原正方形面积的_。4、 在数轴上画出分数 ， 所对应的点。 0 1 2 35、在数轴上方空格里填上适当的整数或分数。 0 1 2 3 46、如图，将长方形ABCD平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份、4份，试问阴影部分面积是长方形ABCD面积的几分之几？ A B C
4、 D7、小红用20分钟走了1千米路，平均每分钟走几米？平均每分钟走了全程的几分之几？2.2 分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等，即： 注意： 分数的大小不变； 分子、分母进行同一种运算，只能是乘或除； 分子、分母乘或除以的是相同的数，而且必须是同时运算； 分子、分母乘或除以的数不能是0。约分和最简分数 约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分。 约分的方法：a. 用分子和分母的公因数（1除外）同时去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。b. 约分时，用分子、分母的最大公因数去约，约到最简分数，比较简
5、单。 最简分数：分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数（分子和分母互素的分数）。最简分数通常通过约分的方法来得到。 最简分数的判定：分子、分母的公因数若只有1，则这个分数是最简分数。3-4例1：请写出三个与 大小相等的分数。3-4344432423343解： ，即：12169123-46-8 18( )( )45例2：在下面的括号里填上适当的数。915 1218 6( )（ ）618( 30 )( 27 )45解：915 1218 6( 9 )（ 4 ）6例3：把下面的各分数约分：28422436 2 2-328422-32436 2 4 解： 3 6 3例4：用最简分数表示下列单位换算的结果
6、。 36分是1小时的几分之几？ 320是1千克的几分之几？3-53660解： 3660 825320 1000 3201000 答：练习2.2()1、一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化吗？如果分子不变，分母除以5呢？( ) ( )4+( ) 724-72、填空： ( ) ( )16 - 6 18-( )1218 ( ) ( )15( ) 36 - 241536 36483、与分数 相等，且分母小于48的分数有_个。3-45、 一个分数，它的分母是27，化成最简分数是 ，这个分数原来是_。6、 分母是12的最简真分数有_。7、 一学校四月份用水150吨，比三月份节约了30吨，
7、四月份用水是三月份的_(几分之几)。8、 把下列结果用最简分数表示： 24分钟是1.2小时的几分之几？ 750毫升是1升的几分之几？ 600克是1千克的几分之几？ 10小时是1昼夜的几分之几？9、 一辆汽车1小时行37千米，平均每分钟行多少千米？10、 两地相距60千米，小王骑自行车从甲地到乙地 需要7小时，小王平均每小时骑车子多少千米？每行1千米需多少小时？2.3 分数的大小比较 同分母：分母相同的两个分数，分子大的分数大。 同分子：分子相同的两个分数，分母小的分数大。 异分母异分子：把分母或分子通分，化成分母或分子相同但大小不变的两个分数来进行比较。 通分：将异分母（异分子）分数分别化成与
8、原分数大小相等的同分母（同分子）的分数，这个过程叫做通分。几个分母（分子）的最小公倍数即是它们的同分母（同分子）。 分母（分子）通分的一般步骤： 求公分母（公分子）求几个分母（分子）的最小公倍数； 根据分数的基本性质，将每个分数化成分母（分子）相同的分数。 分数比较大小的方法：() 分母/分子通分法：通分法是分数大小比较的基本方法，可根据分母或分子求最小公倍数的难易程度确定选用分母通分法还是分子通分法。 分母通分法：以两个分母的最小公倍数为公分母，把两个分数化为分母相同但大小不变的分数，分子大的分数大。 分子通分法：以两个分子的最小公倍数为公分子，把两个分数化为分子相同但大小不变的分数，分母小
9、的分数大。 倒数比较法：对分母、分子通分比较复杂，而分子分母的排列规律又比较相似的，可以采用倒数比较法，通过比较倒数的大小，来判别原分数的大小。 注意：用倒数比较法时，倒数越大，原分数越小；倒数越小，原分数越大。 作差（和）比较法：如果两个分数接近一个整数，我们可以把这两个分数写成这个整数减去（加上）一个分数的形式，通过比较它们各自减去（加上）的这个分数的大小，来判别原分数的大小。 注意：a. 用作差（和）比较法时，减去（加上）的分数越大，原分数越小（大）；减去（加上）的分数越小，原分数越大（小）。b. 用作差（和）比较法时，这些分数必须具备能改写成整数减去（加上）一个分数的形式。例1：比较下
10、面每组分数的大小。 和 1和1 和 、和解： 方法一：分母通分法12和21的最小公倍数是84，则：=，=，因为，所以。方法二：分子通分法7和13的最小公倍数是91，则：=，=，因为，所以。 方法一：分母通分法5，7 = 351=1，1=1，因为11，所以11方法二：作差（和）比较法1=2，1=2因为，所以11。 分子通分法=因为所以。 分母通分法4、20、8=40，=，=，=因为，所以。例2：写出一个大于且小于的最简分数。解：4、5=20，=，=，根据分数基本性质，把和的分子和分母分别乘2，得：=，=因为，所以是大于且小于的最简分数。例3：比较和的大小。()解：倒数比较法的倒数=10，的倒数=
11、10，因为1010所以。例4：比较和的大小。()解：作差（和）比较法=1，=1因为，所以。练习 比较分数的大小。 和 和 和 、和 你能写出一个比大，比小的最简分数吗？ 试比较：和哪个分数大？练习2.3()1、比较下列分数的大小：( )； ( )； ( ) 。2、在、中，最小的一个分数是（ ）。3、写出所有介于与之间的分母为44的最简分数（ ）。4、若将分数、和的分子都化为3后，得到的结果是：，求x。5、我们可以用下面的方法比较两个分数的大小（对角相乘法）：分别用每一个分数的分子去乘另一个分数的分母，哪个分子乘得的积大，这个分数就大。比如：比较与的大小。因为25133，所以。请用这种方法比较两
12、个分数的大小：_；_。6、观察： 你能总结出什么规律？ 比较与的大小。7、四个分数、哪个分数最大？哪个分数最小？8、比较和的大小。9、比较下列每组分数的大小。 和； 和；和。第二节 分数的运算2.4分数的加减法 分数的加减法： 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。即：。 异分母分数相加减，先通分成同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。即：。 注意： 为运算简便，公分母一般取最小公倍数； 结果要化简到最简分数； 整数加法的结合律和交换律同样适用于分数的加法运算。 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。 真分数都小于1. 假分数：分子大于或者等于分母的分数，叫做假分数。 假分数都
13、大于等于1. 带分数：正整数与真分数相加所形成的分数叫做带分数。带分数是假分数的另一种表达形式。 带分数由整数和真分数两部分组成， 读法：几又几分之几。2读作二又五分之三。 带分数都大于1。真分数 1分数 带分数 1 假分数 1 整数 假分数和带分数的互化方法： 假分数化成带分数的方法：分子除以分母，若能被整除，则假分数化成整数；若不能被整除，所得的商作带分数的整数部分，余数作带分数的分子，分母不变。 带分数化成假分数的方法：整数部分乘以分母所得的积再加上原分子所得的和化作假分数的分子，原分母不变。 带分数加减运算的两种方法： 方法一：将它们的整数部分和真分数部分分别进行加减运算，再将所有的结
14、果合并起来并进行简化。 方法二：将带分数化为假分数再进行加减运算，运算结果要简化。 带分数运算注意事项： 两个带分数加法运算时，如果两个真分数相加后结果变成假分数，应将假分数变成真分数，即分子减去分母后作为分子，整数部分加1； 两个带分数减法运算时，如果被减数的分数部分比减数的分数部分小时，应从被减数的整数部分提出1，化成假分数和原来被减数的分数部分合并，再进行分数部分的减法运算。例1：计算： ； 54； 63； 97； 21； 2； (2)()。解： =。 54=54=9=10。 63=53=2。 97=97=87=1。 21=21=11=。 2=2()=2()=21=1。 (2)()=2=
15、2()=21=1。例2：一个数减去2，再加上3等于1，求这个数。解：设这个数为x，则可列出等式：x23=1，x=123，x=43，x=，所以这个数为。例3：若是假分数，是真分数，求整数m的值。解：因为是假分数，是真分数，所以1且1，即3m6，因为m是整数，所以m的值为3，4，5。练习 填空：2读作( )；五又八分之三写作( )。 将下列带分数化为假分数： 3=( )； 4=( )。 将下列假分数化为带分数： =( )； =( )。练习2.4()1、填空： =_； 1=_； 43=_； 52=_； 32=_； 2=_； 1=_； =_。2、化为带分数是_。3、化2为假分数是_。4、以7为分母的真
16、分数是_。5、比分数小的最大整数是_。6、下列说法中正确的是（ ）。A. 假分数的值大于1 B. 真分数一定是最简分数C. 假分数一定不是整数 D. 假分数的值一定不小于17、计算： = 2= 21= 311= 21= 748= 5(31)= 342= 31= 35=8、解方程： x2=3 x=2 3x=9、计算：12.5分数的乘法 分数的乘法：两个分数相乘，分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，即:。 带分数的乘法：如果乘数是带分数，先化成假分数，再进行运算。 分数乘法的意义： 分数整数：可以看作是求几个相同分数和的简便运算； 整数分数：可以看作是求这个整数的几分之几； 分数分数：如，
17、即在分数的基础上，以为总体，将其平均分成n份，取其中的m份，其结果为。 乘法规律：在乘法里，乘数大于1，积大于被乘数；乘数等于1，积等于被乘数；乘数小于1，积小于被乘数（被乘数不为0）。例1：计算： 9 32 74 9 3解：9=11 1 2 32=8 1 74=(731)= 73=3=3 9=(91)= 8=6练习 已知一个数的是，求这个数。 一桶牛奶的恰好为15千克，那么它的是多少千克？2.6分数的除法 倒数：1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。 0没有倒数。 互为倒数的两个数的乘积为1。 分数除法的运算法则：甲数除以乙数（乙数不为零），就等于甲数乘以乙数的倒数，即： 。 被除
18、数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算。例1：求3的倒数。解：3=，所以它的倒数是。例2：计算： 31； 21； ； 2.254.26.3(2.10.71.5)解： 31=2。 21=4。 = 2.254.26.3(2.10.71.5) 1.5 6 3=27 1 1 1例3：已知一个数的是，求这个数。解：方法一：设所求数为x，根据题意可列方程：x=，x=，所以这个数是。方法二：一个数的是，则这个数为：=，所以这个数是。例4：解下列方程： x =3； x=3解： =3 x ，x =3，x =。 x =3，x =3，x =。练习2.5()1、0.3的倒数是_。2、3的倒数的倒数是_。3、3里包
19、含_个。4、任何不等于0的数乘以它的倒数，所得的积是_。任何正数成语一个真分数，所得的积一定_原数（填“”、“”或“”）。5、下列各式中表达正确的是（ ）。A真分数的倒数一定是假分数 B假分数的倒数一定是真分数C任何不等于0的数的倒数都大于这个数 D正整数的倒数一定是真分数6、计算： 45= 105= 12= 81= 32= 23= 412= 131=7、一根竹竿长3米，垂直插入河底泥中米，露出水面米，这条河水深多少米？8、计算： = = 71=2.7分数与小数的互化 规律：一个分数总可以化为有限小数或无限循环小数。 有限小数：一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其它素因数，那么这
20、个分数就可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数，只能化成无限循环小数。 循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 循环小数的循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。 分数化成小数的方法：直接用分子除以分母，除不尽时，可以表示为循环小数或按照要求按“四舍五入”法保留几位小数。 有限小数化成分数的方法：小数可以直接写成分母是10,100,1000的分数，原来有几位小数，就在1后面写成几个零作为分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。 混循环小数化成分数的
21、方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9,9后面的数字是0,9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。如：0.=，0.=，0.3=例1：在分数，中，能化为有限小数的有_。解：有，共3个。练习计算：0. 0.0.0.练习2.6()1、将分数化为小数是_，分数化为小数是_。2、比较下列两组数的大小：_0.05，3_3.376。3、将小数0.12化为最简分数是_。4、将化为循环小数是_。5、比较大小：0.57_0.572。6、将下列分数化为有限小数或循环小数。 = = =7、将下列小数
22、化为最简分数。 2.14= 3.235= 3.=0.7=8、计算：0.0.1250.0.1，结果写成分数形式。9、真分数化为循环小数是什么？请你找出其中的规律，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少？2.8分数、小数的四则混合运算 分数、小数混合运算法则： 运算顺序：同级运算，按照从左到右的顺序计算；不同级运算，先乘除，后加减；含括号的运算，先算小括号，再算中括号，最后再算大括号。 运算方法（分数、小数互化的一般原则）：a. 一般情况下，同时化为小数或者同时化为分数后再计算。分数能化成有限小数的，化成小数计算比较简单；分数不能化成有限小数时，则把小数化成分数再计算。b. 在进行分数、小数混合计算时，题目含分数或小数哪个个数多，就保留哪个，把个数少的转化成个数多的那种形式。：分数、小数乘除混合运算法则： 带分数化为假分数以方便计算； 某数除以一个数等于某数乘以这个数的倒数； 乘除混合运算顺序从左到右； 能够约分的先约分。 注意事项：
