1、福建省福州市中考数学复习第三章函数第五节二次函数的简单综合题课时2二次函数与几何图形综合训练课时2二次函数与几何图形综合姓名：_班级：_限时：_分钟角度问题1(2018广东省卷)如图，已知顶点为C(0，3)的抛物线yax2b(a0)与x轴交于A、B两点，直线yxm过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求函数yax2b(a0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得MCB15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2(2018天津)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(1，0)已知抛物线yx2mx2m(m是常数)顶点为P.()当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；()若点P在x轴下方，
2、当AOP45时，求抛物线对应的函数解析式；()无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当AHP45时，求抛物线对应的函数解析式面积问题3(2018黄冈)已知直线l：ykx1与抛物线yx24x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k2时，求OAB的面积4(2018陕西)已知抛物线L：yx2x6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标，并求ABC的面积；(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L，且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C，要使ABC和ABC的面积相等
3、，求所有满足条件的抛物线的函数表达式5(2018厦门质检)已知二次函数yax2bxt1，t0.(1)当t2时，若二次函数图象经过点(1，4)，(1，0)，求a，b的值；若2ab1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线ykxp(k0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由(2)若点A(1，t)，B(m，tn)(m0，n0)是二次函数图象上的两点，且SAOBn2t，当1xm时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围特殊三角形存在性问题6(2018山西)综合与探究如图，抛物线yx2x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，
4、BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值7(2018河南)如图，抛物线yax26xc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线yx5经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时，过抛物线上一动点P(不与
5、点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标 第7题图 备用图8(2018泉州质检)已知：二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于点A、B(3，0)，顶点为C(1，2)()求该二次函数的解析式；()如图，过A，C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A，C分别平移到点D，E处，若点F在这个二次函数的图象上，且DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；()试确定实数p，q的值，使得当pxq时，py.参考答案1解： (1)将(0
6、，3)代入yxm，得m3.(2)将y0代入yx3，得x3.B(3，0)将(0，3)，(3，0)分别代入yax2b，得，解得yx23.(3)存在，分以下两种情况：若M在BC上方，设MC交x轴于点D，则ODC451560.ODOCtan30.设直线DC为ykx3，代入(，0)，得k.联立方程组解得M1(3，6)若M在BC下方，设MC交x轴于点E，则OEC451530，OEOCtan603.设直线EC为ykx3，代入(3，0)，得k.联立方程组解得M2(，2)综上所述，M的坐标为(3，6)或(，2)2解： ()抛物线yx2mx2m经过点A(1，0)，01m2m，解得m1.抛物线对应的函数解析式为yx
7、2x2.化为顶点式为y(x)2.顶点P的坐标为(，)()抛物线yx2mx2m的顶点P的坐标为(，)由点A(1，0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方， AOP45，过点P作PQx轴于点Q，则POQOPQ45，可知PQOQ，即，解得m10，m210.当m0时，点P不在第四象限，舍去m10.抛物线对应的函数解析式为yx210x20.()由yx2mx2m(x2)mx2可知，当x2时，无论m取何值，y都等于4.得点H的坐标为(2，4)过点A作ADAH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则DEAAGH90，DAH90，AHD45，ADH45，AHAD.DAEHAGAHGHAG9
8、0，DAEAHG.ADEHAG.DEAG1，AEHG4.可得点D的坐标为(3，1)或(5，1)当点D的坐标为(3，1)时，可得直线DH的解析式为yx.点P(，)在直线yx上，()，解得m14，m2.当m4时，点P与点H重合，不符合题意，m.当点D的坐标为(5，1)时，可得直线DH的解析式为yx.点P(，)在直线yx上，()，解得m14(舍)，m2.m.综上，m或.故抛物线解析式为yx2x或yx2x.3(1)证明：联立化简可得：x2(4k)x10，(4k)240，直线l与该抛物线总有两个交点；(2)解：当k2时，y2x1，过点A作AFx轴于F，过点B作BEx轴于E，如解图联立解得：或A(1，21
9、)，B(1，12)AF21，BE12.易求得：直线y2x1与x轴的交点C为(，0)OC.SAOBSAOCSBOCOCAFOCBEOC(AFBE)(2112).4解： (1)令y0，得x2x60.解得x3或x2.A(3，0)，B(2，0)令x0，得y6.C(0，6)AB5，OC6.SABCABOC5615.(2)由题意，得ABAB5.要使SABCSABC，只要抛物线L与y轴交点为C(0，6)或C(0，6)即可设所求抛物线L：yx2mx6，yx2nx6.又知，抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同，.解得m7，n1(n1舍去)抛物线L：yx27x6，yx27x6或yx2x6.5解： (1)当t2时，二
10、次函数为yax2bx3.把(1，4)，(1，0)分别代入yax2bx3，得解得即a1，b2.解法一：2ab1，二次函数为yax2(2a1)x3.当x2时，y1；当x0时，y3.二次函数图象一定经过点(2，1)，(0，3)因为经过这两点的直线的表达式为ykxp(k0)，所以把(2，1)，(0，3)分别代入，可求得该直线表达式为yx3.即直线yx3始终与二次函数图象交于(2，1)，(0，3)两点解法二：当直线与二次函数图象相交时，有kxpax2(2a1)x3.整理可得ax2(2ak1)x3p0.可得(2ak1)24a(3p)若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则0.化简可得4a24a(kp2
11、)(1k)20.无论a取任意不为零的实数，总有4a20，(1k)20，当kp20时，总有0.可取p1，k3.对于任意不为零的实数a，存在直线y3x1始终与函数图象交于不同的两点(2)把A(1，t)代入yax2bxt1，可得ba1.A(1，t)，B(m，tn)(m0，n0)，则直线AB的解析式为y(x1)t，令x0，解得yt0，则SAOB(t)(m1)，又SAOBn2t，(mttn)n2t，解得m3.A(1，t)，B(3，tn)n0，所以ttn.当a0时，二次函数图象的顶点为最低点，当1x3时，若点A为该函数图象最高点，则yAyB，分别把A(1，t)，B(3，tn) 代入yax2bxt1，得ta
12、bt1，tn9a3bt1.ttn，abt19a3bt1.可得2ab0.即2a(a1)0.解得a.所以0a.当a0时，由ttn，可知若A，B在对称轴的异侧，当1x3时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是点A；若A，B在对称轴的左侧，因为当x时，y随x的增大而增大，所以当1x3时，点A为该函数图象最低点；若A、B在对称轴的右侧，当时，y随x的增大而减小，当1x3时，点A为该函数图象最高点，则1.即1.解得a1.所以1a0.综上，0a或1a0.6.解：(1)由y0，得x2x40.解，得x13，x24.点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(4，0)由x0，得y4，点C的坐标为C(0，4)(2)Q1(，4
13、)，Q2(1，3)(3)过点F作FGPQ于点G，则FGx轴，由B(4，0)，C(0，4)，得OBC为等腰直角三角形OBCQFG45，GQFGFQ.PEAC，12.FGx轴，23.13.FGPAOC90，FGPAOC.，即.GPFGFQFQ.QPGQGPFQFQFQ.FQQP.PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，QMMB4m，PMm2m4.QPPMQMm2m4(4m)m2m.QFQP(m2m)m2m.0，QF有最大值且当m2时，QF有最大值7解：(1)直线yx5交x轴于点B，交y轴于点C，B(5，0)，C(0，5)抛物线yax26xc过点B，C，抛物线的解析式为yx26x5.(2)OBOC5
14、，BOC90，ABC45.抛物线yx26x5交x轴于A，B两点，A(1，0)，AB4.AMBC，AM2，PQAM，PQBC，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQAM2，过点P作PDx轴交直线BC于点D，则PDQ45，PDPQ4.设P(m，m26m5)，则D(m，m5)分两种情况讨论如下：()当点P在直线BC上方时，PDm26m5(m5)m25m4，m11(舍去)，m24.()当点P在直线BC下方时，PDm5(m26m5)m25m4，m3，m4.综上，点P的横坐标为4或或.M(，)或(，)8解： ()二次函数的顶点为C(1，2)，设二次函数的解析式为ya(x1)22.把B(3，
15、0)代入得a(31)220，解得a.二次函数的解析式为y(x1)22. ()由(x1)220得x13，x21，点A(1，0)过点C作CHx轴于点H，如解图，点C(1，2)，CH2，OH1，又AO1，AH2CH，145，AC2.在等腰RtDEF中，DEDFAC2，FDE90，245，EF4，12，EFCHy轴由A(1，0)，C(1，2)可求得直线AC对应的函数解析式为yx1.由题意设点F(其中m1)，则点E(m，m1)，EF(m1)m24，解得m13，m23(舍去)点F(3，6)，()当y时，(x1)22，解得x14，x22.抛物线y(x1)22，根据抛物线的性质可知，当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y的最小值为2.pxq，py，可分三种情况讨论当pq1时，由增减性得：当xp4时，y最大，当xq时，y最小p42，不合题意，舍去；当p1q时，(i)若(1)pq(1)，由增减性得：当xp4时，y最大，当x1时，y最小2p，不合题意，舍去；(ii)若(1)pq(1)，由增减性得：当xq2时，y最大，当x1时，y最小p2，符合题意，p2，q2.当1pq时，由增减性得：当xq2时，y最大，当xp时，y最小p，把xp，yp代入y(x1)22，得p(p1)22，解得p1，p21(不合题意，舍去)p，q2.综上，或
