1、层次分析法的应用承诺书我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我 们的参赛报名号为： 3742参赛组别（研究生或本科或专科） ：本科参赛队员 （签名 ）
2、 ：队员 1：柯先庆队员 2：鲁松队员 3：李国强编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：3742竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：幸福感的评价与量化模型摘要本文针对身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活以及自我价值实现等因素对人们幸 福感的影响，分别运用三种不同的模型建立衡量人们幸福感的量化模型。模型一采用灰色关联分析方法，主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联 系是否紧密。经过分析求解得到五个隐变量影响程度由强至弱依次是物质保障 （0.446）、身心健康（0 232）、社会幸福感（0 . 17）、自我价值的实现
3、（0.093）、家庭生活（0.059）。模型二先是用贴近度对数据进行处理，再运用层次分析法对幸福指数各因素进行权 重分析，得自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身 心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。模型三运用指数拟合方法对同一地区的教师和学生的幸福指数进行分析。 得到社会地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影 响教师的幸福的主要因素。而健康满意度，生活满意度，学习环境满意度，自我满意度， 教师满意度师是影响学生幸福的主要因素。最后对各个模型的优缺点和推广进行了讨论分析。关键字：幸福感灰色关联分析贴近度层次分析拟合一、问题重述
4、1.1问题背景 幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断， 又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。 它表现为在生活满意度基础上产 生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。美 国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福 指数。如果说GDP GNF是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一一 个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与 GDP-样重要，一方面，它可以监控经济社 会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说 , 作为最重要的非经济 因素，它是社会运行状况和民众
5、生活状态的 “晴雨表” ，也是社会发展和民心向背的 “风 向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型， 可参看附件的参考论文。1.2涉及材料背景 吴启富等利用结构方程模型，通过路径分析，测定了影响北京市居民幸福感的五个 隐变量及其影响强度， 分别为身心健康 （053） 、物质条件 （0509）、家庭生活 （0 298） 、 社会幸福感 （0 143）和自我价值的实现 （0 014） 。1.3问题提出 根据附表数据，建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指 数的数学模型；查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的 数学模型，并
6、找出影响他们幸福感的主要因素；你所建立的评价体系和模型，能否推广 到更加普遍的人群，试讨论之；根据所建模型得出的结论，给相关部门写一封短信，阐 明你对幸福的理解和建议。2.1对“幸福感”的定性及定量分析“幸福感”仅仅是一个宽泛的概念，因此在实际生活中需要将幸福感转化为有参考价 值的数据时，往往需要利用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。本文在评估幸 福感时，正是应用了这种方法。通过三种不同的思路，分别建立模型。第一种方法是通 过改进的灰色关联计算出各个指标与幸福感的关联程度和萨缪森公式建立幸福指数的 数学模型。第二种方法是基于层次分析方法的优点和幸福指数影响因素分析的特点分析 各指标对幸福
7、感的影响立幸福指数的数学模型。 第三种方法是从统计学的角度并利用拟 合思想建立幸福指数的数学模型。2.2参考角度1计算各个指标对幸福感的影响程度，与定性分析做比较。2.比较三种方法建立的幸福指数建立的数学模型，选择更好的幸福指数的数学模型， 并对建立的模型进行比较讨论是否能推广到一般的人群与对结果分析得出对幸福 的理解和建议。2.3基本假设1调查问卷是科学的，包括了影响幸福感的基本指标。2调查问卷调查是随机的，且面向群众广。3调查问卷每项假设为非常、比较、一般、比较不、很不。4等级量化均为 5、 4、 3、 2、 1。三、符号说明 m :为影响幸福感显性指标的个数； n :表示影响幸福感隐性指
8、标的个数；k :表示程度等级；A(k):表示人群中幸福感程度的百分比；h$(k):表示i影响指标的各等级程度的百分比；H $：幸福量化值；hs,:表示第i个影响幸福感的指标；表示显性指标对幸福感影响的权向量；c,:表示第i个指标对幸福感拟合的倍数参数；a,:表示第i个指标对幸福感拟合的指数参数；rj:表示影响幸福感指标的灰色关联值；冷：表示显性变量对效用的调节系数；v :表示隐形性指标对幸福感影响的权向量；-i :表示第i个指标的贴近度。四、模型的建立与求解4.1 模型一一通过多种方法建立相应的模型来分析各个因素之间的关系。灰色关联分析方法8(22-57)9(31-47) 具有独特的优势，它主
9、要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，对样本量的多少和数据分布的规律性没有特殊要求， 而且计算量小，易于实现。鉴于本文的研究问题，所以采用相对关联度进行分析。4.1.1模型建立第一步，确定分析序列。设幸福感等级的统计频率为参考序列，记为A=Ak =1,2,，c， 设各个指标为比较序列，记为 hSi二hqk=1,2，q(i=1,2，,m)。c第二步，标准化，即对原始数据进行无量纲化和初值化处理。 A k = A k A k，1qhs(k )=hs(k )/瓦hs(k )，则处理后相应的参考序列与比较序列分别为 x(k )和hs(k )。1第三步，计算关联系数。；j k =m.in
10、 min|A k -hSi k |+pmaxmax|A k -x, k |1 k 1 k 为序列A|A (k 卜hs (k )|+pmax max|A (k 卜h$ (k )|和hsdk在等级k的关联系数。式中|A(k)-hSi(k)|=Vj(k )称为在K点A(k )和hs(k )的绝对差；m.in min|A 0 k -hSi k |=、min 称为最小绝对差； max max|A k -hSi k |=、max称i k i k为最大绝对差；p称为分辨系数。第四步，计算关联度并对其进行排序。参考序列与比较序列的关联度为序列在各时刻关1 m联系数的均值，记作 r广丄a ；i k i=1,2，
11、m。1 m y第五步，计算指标的灰色关联度，并进行归一化处理得到效用调节系数 :,，萨缪森公式 建立幸福指数的数学模型 日厂丄(【hs)(均是量化值)。表1指标体系6隐变量变量名显变量身心健康h1hs1自己目前的身心健康状况hs2工作/生活压力hs3业余生活丰富hs4自信程度hs5生活态度物质保障h2hs6对自己目前经济收入满意hs7对自己目前住房条件满意hs8对目前社会经济发展状况满意hs9公共交通很便捷hs10对所在地公共安全满意hs11所在城市的生活节奏hs12所在城市的环境社会关系h3hs13邻里关系hs14同事关系hs15朋友(或同学)关系家庭生活h4hs16自己与家庭成员之间的关系
12、自我价值实现h5hs17在事业上的发展前途hs18在工作/学业上有成就感4.1.2模型求解据以上理论，选自己幸福程度作为参考数列，选幸福指数各指标程度的频数作为比较数 列。经计算各个程度较数列的绝对差值和 ；i (k)值,在此基础上根据上式运用 MATLAB学软件计算ri,结果如下表2表2关联度计算结果指标hs1hs2hs3hs44hs5hs6hs7hs8hs9关联度0.52740.57530.55530.68420.64600.68040.83040.87450.8106指标hs10hs11hs12hs13hs14hs15hs16hs17hs18关联度0.86520.81440.84630.
13、72940.73080.73200.75530.62700.5770经过归一化处理后，得到五个隐变量对幸福指数影响程度的标准系数估计值，按照影响 程度由强至弱依次是物质保障(0.446)、身心健康(0 . 232)、社会幸福感(0 . 17)、自我 价值的实现(0.093)、家庭生活(0.059)。为了进一步了解影响幸福指数的具体因素， 下面从隐变量入手，分析每个显变量对隐变量和幸福指数 7的影响情况。1.身心健康。在影响身心健康的众多因素中，排在第一位的是对自己的自信程度(0 . 6482)，下面依次是生活态度(0 . 6460)，工作和生活压力(0 . 5753)，业余生活丰 富(0 .
14、5553)，自己目前的身心健康状况(0 . 5274)。排在前三位的都是属于心理健康， 可见在身体和心理健康的对比上，民众普遍认为心理健康对幸福指数影响更为显著。2. 物质保障。对目前社会经济发展状况满意(0 . 8745)在物质保障中是影响最大的，其 次分别是对所在地公共安全满意(0 . 8652)，所在城市的环境(0 . 84634)，对自己目前 住房条件满意(0 . 8304)，所在城市的生活节奏(0 . 8144)，公共交通很便捷(0.8106)， 对自己目前经济收入满意(0.6804)。从关联系数可以看出，社会经济发展状况对一个 人的幸福感影响最大。主要原因在于，在竞争激烈的当今社会
15、，居民的社会保障体系还不太完善，加上对生活质量要求高，所以城市的经济发展状况是制约物质和精神生活的 关键因素。3. 社会关系。朋友或同学关系友好(0. 7320)，对社会幸福感来说是最重要的，其他几 个因素按影响系数由大到小依次是同事关系(0 . 7308)，邻里关系(0 . 7294)。影响因素 都是指良好的人际关系，这与现实也是相符合的。良好的人际关系能缓解工作生活方面 的压力，增强自信心，自然也就提高社会幸福感，最终影响幸福指数的大小。4 .自我价值的实现。个人价值实现中最具影响力的是在事业上的发展前途 (0. 6270)，以及在工作或学业上有成就感(0.5770)。居民对事业发展有较高
16、的预期，说明对未来 是积极乐观的，保持一种愉悦的心情，自然会提高幸福指数。5.家庭生活。自己与家庭成员之间的关系(0 . 7553)。幸福的家庭生活就是有一个稳定 的家，理解支持自己的家人，与家人之间的关系和睦必然会促进幸福感的提高。4.2模型二层次分析法1(224-244)是一种定性与定量相结合、系统化、层次化的分析法。基 于本文的数据都是主观感受的数据和幸福感地特点， 所以利用层次分析法对幸福感进行 分析，并结合贴近度对数据进行处理。4.2.1模型建立贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标,有限域U一非常比较，一般比较不,很不？ 设为Ux!,x2,x3, x4,x,令幸福感为A ,各个幸福
17、指标为hs。5/： lA(xk) hsi(xk) 1(1).选取改进的贴近度2(102-111)公式“ A,hSi二特 (1,2,. . . 送 lA(Xk) MhSi(Xk)】k=1计算各个指标与幸福感的贴近度。表3关联度计算结果指标hs1hs2hs3hs4hs5hs6hs7hs8hs9贴近 度0.06990.84340.76360.53550.707250.28950.84850.84590.8891指标hs10hs11hs12hs13hs14hs15hs16hs17hs18贴近 度0.707250.6770.54570.5290.59560.89820.76830.68540.8739找
18、出贴近度的最大值M与最小值m, M二1njax8 m), m = m).选取正整数p = 9，利用公式 匚巴计算出贴进度分成p组的组距，并利用择近原则得到正互反评P判矩阵勺11 a1m A=丨匕 :利用根法求出正互反矩阵的最大特征根和特征向量，即a af m1 mm /aa1m列向量归一化bnb1m、按行求和归一化:1A =:r:TB =: +*:T:T知amm JgbmmIC11 J1 D11扎1(/A八)m从而得到各个指标对幸福感的权重，及得到权向量，。4.2.2模型求解根据以上各指标的贴近度，我们对各个因素(hs6,hs8,hs10,hs9,hs7,hs5,hs14,hs13,hs11,
19、hs12,hs18,hs4,hs17,hs15,hs16,hs2, hs3,hs1 )建立如下判断矩阵：1 11111 3 4 1 4 1 4 1 丄 1 1 1 丄966134631412138563141555 2 6 5 2 6 6 3 5 3 251412147848128512131342141151414525157115121412162512589691961424551412147858128512331342111113525152111114545524211111112121311111137487337385753111111111111111111485985249
20、59686511412161512341415411613151312146181515191182155127191451818119145191163182164145-A2由MATLAB 7.8.0进行编程整理，得:w=(hS h2hS3 ,hs4 ,hS5 hS ,hyhS8 hS9 ,hSO hS1hSl2hS3 hS4 hS5 hS6hS7 hS8卜102 3,9.1, 50193.3,2.3,9.5,8.7,13.7,3.4,2.4,0.9,0.9,1.4,14,5,6.4,2.6,1.也max = 18975对判断矩阵进行一致性检验:C i _ /-max -mm 1C.I.
21、=0.0556C.R. : 0.0556 ： 0.1所以满足一致性要求。（其中C.I.表示一致性指标，R.I.表示平均随机一致性指标， C.RV0.1表示矩阵一致性是可以接受的） 根据显变量的权向量.经过均化衡处理得到隐变量的权向量为_2 TW/ = 10 （6.33,5.98,1,41,1.35,10.4）计算指标的权重，并进行归一化处理得到效用调节系数:i，均值期望公式建立幸福指数 的数学模型Hs=hsw（均是量化值）4.2.3结果分析通过对影响民众幸福感的各因素的权重的分析，根据幸福感指标体系，我们得之， 自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物 质保
22、障、社会关系、家庭生活。4.3模型三根据查找资料和数据分析得到教师的幸福指数与自我实现价值， 工资与福利待遇，工作压力，和学生的关系，社会地位，工作集体关系，业余活动，身体健康等 因素有关。而学生的幸福指数与健康满意度，生活满意度，家庭满意度，友谊满意 度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度，专业满意度，成绩满意度，经济 满意度，社会实践满意度等因素有关。我们可以利用指数拟合找到影响他们的主要 因素。合是指已知某函数的若干离散函数值 f1,f2, , ,fn，通过调整该函数中若干待定系数f（入1,入2,入n），使得该函数与已知点集的差别 （最小二乘意义）最小。利用拟合分别建立某一地区教师和
23、学生的幸福指数的数学模型， 并找出影响他们幸福感的主要因素。4.3.1模型建立设y是总体幸福感分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例， xi为各个指标分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例，在 MATLAB3（142-144）4中拟合负指数模型 得到参数值Ci,ai（H 1,2 ,m）m _ . aj x进行相乘处理：y 一 |丨cei =1,2.mmIn Ci -ajXj开n次根号可得：y = e14.3.2教师模型求解表4 某地区关于教师幸福感调查10项目很满意7满意、一般不满意很不满意感觉幸福（y）2.47%46.06% 31.04% 7.63% 2.80%自
24、我价值实现（x1）6.61%47.93%32.23%6.61%6.61%工资与福利待遇（x2）2.48%21.49%33.06%23.14%19.83%工作压力（怡）4.13%20.66%47.11%20.66%7.44%与学生的关系（X4）12.40%47.93%31.40%7.44%0.83%社会地位 （xs）9.09%46.28%37.19%4.13%3.31%工作集体关系（冷）9.92%51.24%37.19%1.65%0.00%业余活动（x7）4.96%28.10%40.50%19.83%6.61%身体健康（xs）5.79%14.05%41.32%32.23%6.61%（1）运用MA
25、TLA拟合每个指标的模型参数（见表5）表5指标x1x2x4x5xx7x8值Ci7.2858.28112.557.3926.0887.4178.895915.6值ai-0.0392-0.03986-0.2111-0.03904-0.04378-0.03615-0.03561-0.011768 7 cucu 0.0392x1 * *“ u c 0.01176x8(2)进行相乘处理，得到y二7.2585e *15.6e(3)开8次根号可得：_ _ 0.004975X! + 0.0049825X2 + 0.00263875x3 + 0.00488x4 + 0.0054725x5 + 0.0045187
26、5X(；+ 0.00445125x7 -+0.00147x8y = 8.78e4)将ai进行归一化处理记为：b指标x1x2%xx5xx7x8bi0.0858710.0873170.4624320.085520.0959040.0791890.0780070.025761（5） 将幸福与各指标进行量化，记非常，比较，一般，比较不，很不为5,4,3,2,1，8Zbixi得到幸福指数的计算公式：Hs二8.78 1（6） 经过分析，将bi 0.05的指标作为对幸福感影响的主要因素。所以社会地位、工资 与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸 福的主要因素。4.3.3学生模型求解项目很满意7满意、一般不满意很不满意总体满意度（y）8.40%37.80%32.30%15.40%6.20%健康满意度（X1）12.4%31.5%35.3%15.9%4.9%生活满意度（X2）13.7%33.4%29.1%16.2%7.5%家庭满意度（x 3）51.3%33.7%13.3%1.7%0.0%友谊满意度（X 4）20.0%58.0%20.0%2.0%0.0%学习环境满意度（X5）13.5%27.5%39.4%14.3%5.4%
