1、分数乘法的混合运算和简便运算1、分数乘加、乘减混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。没有括号的先算乘法，后算加、减法；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。2、整数乘法的运算定律（乘法交换律、结合律、分配律）对分数乘法同样适用。应用乘法的运算定律，可以使一些计算简便。3、温馨提示：利用乘法分配律计算两个数的和与两个数相乘时，每个加数都应该分别乘这两个数，而不是一个加数乘一个数，一个加数乘另一个数。利用乘法结合律计算几个连续因数积的时候，无论怎样结合，它们的积都是相乘，而不是相加。在分数乘法中，为了计算的简便，不但可以交换两个分数的位置，还可以交换它们的分子或分母的位置。6、形如：的分数可
2、以拆成+的形式。解决问题1、把总量看作是单位“1”的量叫做单位“1”（或标准量）。2、比较量：和单位“1”（标准量）相比较的量叫做比较量。3、（1）单位“1”的量比较量占单位“1”的几分之几=比较量；（2）单位“1”的量单位“1”的量平均分的总份数比较量所占的份数=比较量4、连续求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题的解题关键是清楚每一步中谁是单位“1”，谁是谁的几分之几，同时找准中间量。在已知条件较多的情况时，一定要分清哪些条件与所求的问题有关。找准所求问题以哪个量为单位“1”。解决分数乘法应用题的关键是找准单位“1”，单位“1”乘比较量占单位“1”的几分之几，就等于比较量。7、温馨提示：
3、分数乘法应用题可以按这样的思路解题：读题 找单位“1”的量 找未知量占单位“1”的几分之几 列式：用单位“1”的量未知量占单位“1”的几分之几=未知量8、知道一个部分量占总量的几分之几，求另一个部分量是多少的应用题结构特点：是整体同部分相比较的关系，所求问题和已知几分之几不对应。解题方法：第一种方法是先求出已知是总量几分之几的部分量，再用总量减去这个部分量，求出另一个部分量；第二种方法是求出要求的部分量占总量的几分之几，再运用求一个数的几分之几是多少的方法求出这个部分量。9、已知一个数量比另一个数量多（少）几分之几，求这个数量的解题方法：（1）单位“1”的量单位“1”的量另一个数量比单位“1”
4、多的几分之几=另一个数量。（2）单位“1”的量（1已知数量比单位“1”多的几分之几）=另一个数量。10、温馨提示：在题中出现多个单位“1”时，一定要找准所给分数以哪个量为单位“1”，做到正确对应。11求甲比乙多几分之几，列式为：（甲一乙）乙；求乙比甲少几分之几，列式为：甲。求谁比谁多（少）几分之几，以后面的数为标准量，作除数。倒数的认识1、 倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。2、（1）互为是指相互依存。（2）互为倒数是指倒数是相互依存的，一个数不能称之为倒数。3、求一个数（0除外）的倒数的方法：（1）找真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置；（2）找整数的倒数：先把整数看作分母是1的假
5、分数，再交换分子、分母的位置。（3）求小数倒数的方法：先把小数化成分数，然后交换分子、分母的位置。单独的一个数不能称为倒数，倒数是相互依存的。5、当知道几个质数的倒数的积或和时，把积或和的分母分解质因数，就可求出这几个质数。6、已知一个自然数和它的倒数的和，可以把这个和分成整数和纯小数（或真分数）两部分。整数部分就是这个自然数，纯小数（或真分数）部分就是这个自然数的倒数。7、已知一个自然数和它的倒数的差，求这个自然数，它们的差的分母就是这个自然数。第三单元：分数除法分数除以整数1、分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分
6、数除法的计算法则：（1）分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数。 甲数除以乙数（0除外），等（2）一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 于甲数乘乙数的倒数。分数除法转化为乘法计算时，被除数不能变，只是除数转化为它的倒数。一个数除以分数1、（1）除数大于1时，商小于被除数（被除数不等于0时）；（2）除数小于1时，商大于被除数（被除数、除数都不等于0时）；（3）除数等于1时，商等于被除数。2、温馨提示：在除法转化为乘法计算时，不要忘记把除号变成乘号。在判断商与被除数的大小关系时，在看除数是大于1还是小于1时，必须同时考虑被除数是否是0。小数和分数相除时，可以把小数化成分数再计算，也可以
7、把分数化成小数再计算，前一种方法较简单。计算带分数除法时，先把带分数化成假分数，然后计算。一个整数除以带分数，如果整数为a，带分数为a。计算时，先把带分数化成假分数，再把假分数的分子写成两个数相乘的形式，便于约分、计算。分数除法的混合运算1、分数四则混合运算顺序与整数四则混合运算顺序相同：在一个分数混合运算算式里，如果只含有同一级运算（即只有乘、除法或只有加、减法），按照从左往右的顺序依次计算；如果既有乘、除法，又有加、减法，先算乘、除法（即先算二级运算），再算加、减法（即再算一级运算）；如果有括号的，要先算括号里面的（先算小括号，再算中括号，最后大括号），然后再算括号外面的。2、括号有改变运
8、算顺序的作用。乘除混合运算时，不要先约分，再运算，应该先变除号为乘号，然后再计算。计算分数连除法时，一定要连续地乘除数的倒数，不要只把第一个除数变倒数，而其他除数只变符号不变数。5、两个数的和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以除数，再求它们的和（或差）。即：（ab）c= acbc。一个分数的分子加、减同一个数后得到两个新的分数，两个新分数的平均数就是原分数；一个分数的分母加、减同一个数后得到两个新的分数，那么，先求出两个新分数的倒数的平均数，平均数的倒数就是原分数。1（1）分数除法应用题的特点：单位“1”未知，已知它的几分之几是多少，求单位“1”的实际数量。（2）解简单的已知一个数的几
9、分之几是多少，求这个数的解题方法：方程解法：找出单位“1”，未知量设为x；找出题中的数量关系式；列出方程。算术法：找出单位“1”；找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几：列出除法算式。即已知量已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。算术解法与方程解法的区别：有算术方法解分数除法的实际问题需要逆向思考，即从“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的角度去理解数量关系和算理。用方程解，只要根据分数乘法的意义，顺向思考，就能找到等量关系并列出方程，方程解法易于理解，一些很复杂的问题，用方程解比较简便。2、（1）分数连除应用题的结构特点：题中有3个数量，两个单位“1”，都是未知的；两个已知另一
10、个量占单位“1”的几分之几，一个几分之几对应一个单位“1”；已知的一个数量。先求出一个单位“1”的量，再求另一个单位“1”的量。（2）分数连除应用题的解题方法：设所求单位“1”的量为x，根据等量关系列方程解答。x=已知量。算术解法：用已知量连续除以它们所对应的单位“1”的几分之几。已知量=另一个单位“1”的量。解题关键：找准单位“1”，求出中间量。在具体问题中，有时连续的单位“1”有的是已知的，有的是未知的，就是分数乘除混合运算应用题，要注意找准哪个单位“1”是已知的，哪个单位“1”是未知的。1、 温馨提示：解答分数应用题时，一定要找准单位“1”，看单位“1”是已知还是未知。未知，求单位“1”
11、的量，用除法计算。一个题中，有时单位“1”不止一个，有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”，在另一个条件中有可能就不是单位“1”，解题时要认真比较，找准单位“1”，才能正确解答。5、（1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。（2）解题方法：用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已
12、知量是单位“1”的几分之几。6、 比较量比标准量多（或少）几分之几，求标准量。用方程解，就是：x比较量比标准量多（或少）的几分之几=已知的比较量；用算术法，就是：已知的比较量（1+（多）或一（少）已知几分之几）=标准量（单位“1”的量。）7、 温馨提示：解答分数应用题，在找准单位“1”的同时，还要看清所要求的问题与单位“1”的关系。8、 温馨提示：解答分数应用题时，必须找准已知量与单位“1”的几分之几相对应。多出的几分之几对应的如果是多出的数量，直接计算即可。比和比的应用1、 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。（1）两个数相除用比表示的“比”同谁比谁多（或少）中的“比”含义不同，前一个比表
13、示的两个数之间的关系，后一个比指的是两个相差数的比较。（2）各种赛场听“几比几”的比的含义与本节讲的比也不同，比赛场上的比是记录得分的一种形式，比赛中可以出现“2比0”、“4比0”的情况。（3）三个或三个以上的数也可以用比表示。例如：长方体的长、宽、高的比是5比4比3，这样的比叫做连比。2、求两个数比的比值，就用比的前项除以比的后项。3、比和比值的联系：比和比值都可以有分数形式表示：如：既可以表示35，又可以表示35的比值。 区别：比表示两个数的一种关系，比值是一个数值。比只能写成ab或的形式，比值可以是分数，也可以是小数、整数。4、比、分数、除法三者之间的关系：（1）内在联系：ab=ab=（
14、b0）（2）区别：意义不同；比是表示两个数（或量）的一种关系，除法是一种运算，分数是一个数；读法不同；比只能先读前项；分数只能先读分母；除法则可以先读被除数，也可以先读除数。表示方法不同；作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。结果表示不同。除法一般要求出商；比只有要求计算比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。5、已知比的前项、后项和比值中任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第三项。任何一个比的比值都不带有单位名称。7、已知两个量原来的比和两个量变化后的比，先找出不变的量，也就是单位“1”的量。找出所给已知量占单位“1”的几分
15、之几，求出单位“1”的量。比的基本性质1、 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。字母表示比的基本性质为：ab=n anb（b0，n0），ab=（b0, n0）。比的基本性质对于连比也同样适用。2、把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。3、求比值和化简比是两种不同的运算，它们的区别主要表现为：（1）意义不同：求比值是比的前项除以后项所得的商，化简比是把两个数的比化成最简单的整数比。（2）运算方法不同：求比值是前项除以后项，化简比是根据比的基本性质运算。（3）结果的含义不同：求比值的结果是一个数，化简比的结果是一个比。4、整数比的化简方
16、法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。（1）化简后的比必须为互质数的比，否则比的化简没有完成。（2）最简单的整数比是比的一部分。（3）在以后求两个数或几个数的比时，都要求出最简单的整数比。5、分数比的化简方法：（1）比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。（2）利用求比值的方法也可以化简分数比，但结果必须写成比的形式。6、小数比的化简方法：把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。7、一个比中既有小数，又有分数，可以把小数化成分数，按照化简分数比的方法进行化简；也可以把分数化成小数，按照化简小数比的方
17、法进行化简。比的前项和后项要同时乘或除以一个不为0的数，比值才不变，并不是同加或减一个数。9、带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。化简后的最简比必须有比的前项和后项，即使后项是1也不例外。10、在求几个数的连比时，可以借助中间量用份数表示各量，也可用设数法表示各量等多种方法来解答。比的应用1、按比例分配问题的解题方法：（1）用整数乘、除法解决问题：把一个总数按一定的比来分配，把各部分的比看作份数关系，先求出每一份。解题步骤：求出总份数；求出每一份是多少；求出各部分相应的具体数量。（2）用分数乘法解决问题：把各部分的比转化为总数的几分之几，直接求出总数的几分之几。
18、先根据比求出总份数；再求出各部分量占总量的几分之几；求出各部分的数量。 比例问题并不仅仅有上面的两种解答方法，也可以用比例方法解答；还可以用分数除法的方法解答。在解题过程中选择最适合你的方法。2、两个量的差两个量对应的份数差=每份数 每份数总份数=总数量两个量的差两个量占总量几分之几=总数量解答按比例分配的问题时，要找准分配的总量和分配的比，分配的是哪一个数量。在解答按比例分配问题时，所给出的比如果不是最简比，必须化简成最简的整数比，否则计算结果不正确。5、按比例分配的比有时并不是以比的形式出现，但可以根据具体情况转化为比。三个量时，两两之比要转化为三个量的比，再按比例进行分配。6、有些按比例
19、分配应用题，分配的比是隐藏的，要通过分析、计算才能求出，在分析问题时要多角度思考，从实际问题出发。第四单元：圆认识圆1、 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时，它的另一端就会画出一条封闭的，曲线，这条封闭曲线叫做圆。圆通常用符号“”表示。2、等圆：两个半径相等的圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。3、同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。4、直径和半径的变化方向相同。在同一个圆内或等圆内，半径扩大到原来的几倍，直径也跟着扩大到原来的几倍；半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一。半径扩大到原来的2倍，直径也扩大到原来的2倍。只有在同圆或等圆中，所有的半径才相等，所有
20、直径也相等，同时半径和直径都是线段而不是直线。6、圆的各部分名称：圆中心的一点叫做圆心，圆心一般用字母“0”表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母“r”表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母“d”表示。7、圆的特征：（1）圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。（2）在同圆或等圆内，半径的长度都相等；直径的长度都相等；直径长度是半径长度的2倍，用字母表示是d=2r或r=d28、画圆的方法：（1）绕绳法；（2）实物画法；（3）工具画圆法。9、用圆规画圆的方法：（1）先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）再把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）
21、然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。圆的对称性1、（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。（2）圆有无数条对称轴。（3）半圆只有一条对称轴。（4）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。2、画给定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。任何一个图形的对称轴都是一条直线，而不是线段，圆的对称轴也是直线。在同一平面内，不相同的两个圆不能成轴对称。只有等圆
22、才可能成轴对称。5、一个轴对称图形，对称轴两侧的部分完全相同，如果用此来表示，这两部分的比是11。圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线长叫做圆的周长，周长一般用字母“c”表示。2、圆周率：圆的周长与直径比值叫做圆周率，用字母“”表示。（3.14）3、圆的周长的计算公式：直径圆周率或半径2圆周率。如果用字母表示：c=d=2r4、（1）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍，例如：一个圆的半径扩大3倍，它的周长也扩大3倍。圆的半径、直径缩小到它原来的几分之几，周长也缩小到它原来的几分之几。一个圆的半径缩小到原来的，圆的周长也缩小到原来周长的（2）两个
23、圆的半径之比等于它们的直径之比，也等于它们的周长之比。5、半圆的周长指的是圆周长的一半加一条直径，半圆的周长计算公式是：c半圆=r+d或c半圆=r+2 r6、圆周长的一半是把圆的周长平均分成两份，求一份的长度，圆周长的一半计算公式是：c周长的一半=r或c周长的一半= r d2。任何一个圆的圆周率都是固定不变的值，它不随圆的大小而变化。任意一个半圆的周长都是圆周长的一半加一条直径的长度。9、当一个圆的直径增加a时，它的周长增加a；当半径增加a时，周长增加2a。反之，当周长增加时，用增加的具体数除以就可以求出增加的直径；除以2，求出增加的半径。圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。2
24、、用s表示圆的面积，圆的面积计算公式：s=r23、圆的面积的变化与该圆的半径、直径、周长的关系：（1）如果圆的半径、直径、周长扩大若干倍，圆的面积就扩大该倍数的平方倍。一个圆的半径扩大5倍，圆的面积就扩大52倍，即25倍。（2）圆的半径、直径、周长缩小到它原来的几分之一，面积就缩小到它原来的几分之一的平方。一个圆的半径缩小到它原来的，面积就缩小到原来面积的（）2。即4、如果两个圆的半径之比是12，那么这两个圆的面积之比是：14，即两个圆的面积之比是半径平方之比。5、在计算过程中，要先计算r2，然后再计算和相乘。6、计算圆面积的技巧：中间过程不必求值：较复杂的求圆周长和圆面积的问题，有时借助求出
25、中间数量，中间数量可以不必求具体的数值，而用式子代替，最后再用求比值的方法计算比较简便。计算周长8厘米的圆的面积时：s=（）2=5.1（cm2）。留到最后计算。一般的，计算有关圆的周长和面积时，总会碰到圆周率“”参与计算，如果按照一般的运算顺序，见到“”就计算，不如把“”留到最后取值计算，这样可以化繁为简，且不易出错。在计算圆的面积时，不要把“r2”计算成r2，r2是rr。8、求两个或两个以上图开组合在一起的面积时，要先确定求每个规则图形面积所必备的条件（如圆就是半径，正方形就是边长），再依据公式列式计算。9、当所求的阴影面积为不规则图形时，可以把图形进行分割、切拼，转化为规则几何图形，再求面
26、积。10、圆环各部分名称依次为外圆、内圆和环宽。外圆：圆环中较大的圆叫做外圆。内圆：圆环中较小的圆叫做内圆。环宽：环形的外圆半径和内圆半径之间的部分叫环宽。环宽=外圆半径一内圆半径。11、圆环的面积计算公式：s环=R2-r2=（R2- r2）12、弧：圆上两点间的部分叫做弧。（1）弧的读法：A、B两点之间的弧，读作“弧AB”。 （2）弧的写法：弧的符号是“”，以A、B为端点的弧，记作：AB。（3）弧的分类：大于圆周长一半的弧叫做优弧。小于圆周长一半的弧叫做劣弧。13、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。14、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。15、（1）弧的一部分，知道
27、弧所对的圆心角的度数，就能求出弧的长度，先用圆的周长除以3600，求出10圆心角的长度，再乘弧所对的圆心角度数，就求出了弧长。如果用L表示弧长，n表示圆心角的度数，弧长字母计算公式为L弧=2r360n （2）扇形的周长就是围成扇形的弧长加两条半径的长度。用c表示扇形周长，n表示扇形的圆心角，r是围成扇形的半径。扇形周长计算公式为：c扇=rn180+2r。16、扇形面积的计算公式：s扇=r2n360=r2n17、温馨提示：要根据圆环的意义去判断一个图形是不是环形，在一个大圆内随意剪去一个小圆是不能形成圆环的。18、温馨提示：任何一个圆环，已知内圆直径和环宽，求外圆直径时应加2个环宽；已知外圆直径
28、和环宽，求内圆直径，应减去2个环宽。而不是加、减一个环宽。19、温馨提示：对于一些复杂的组合图形，要仔细观察，看清组合图形，通过分割、连线，可以恰当的变形，化难为易，同时还可以根据容斥原理来解答。第五单元：百分数百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数指的两个数的比，因此百分数也叫百分率或百分比。2、（1）表示一个数是另一个数的千分之几的数叫做千分数，千分数也叫千分率。与百分数一样，千分数也有千分号“”。（2）百分数和分数的内在联系：都可以表示两个量的倍比关系。（3）百分数和分数的区别：意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的
