1、考点】牛吃草问题 【难度】 3 星 【题型】填空关键词】对比思想方法解析】 本 题非常类似于“牛吃草问题” ，如将题目改为： 在地铁车站中， 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时， 如果每秒向上迈 一级台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采 用牛吃 草问题 的方法 ， 电梯 20 15 5 秒内 所 走的阶数 等于小 强多走 的阶数 ： 2 15 1 20 10阶，电梯的速度为 10 5 2阶/ 秒，扶梯长度为 20 （1 2） 60 （阶）。 【答案】 60级【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行
2、驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级梯级，女孩每 秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【考点】牛吃草问题 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】对比思想方法【解析】 本 题与牛吃草问题类似， 其中扶梯的梯级总数相当于原有草量； 而自动扶梯运行的 速度则相当于草的增长速度。 并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的 速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 （女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时 间）（女孩走的时间男孩走的时间） （2 300 3 100） （300 100） 1.5 ，自
3、动扶梯的 梯级总数女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间2300 1.5 300 600 450 150 （级）所以自动扶梯共有 150 级的梯级。 【答案】 150级【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶 的扶梯上， 男孩每秒向上走 1 梯级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50秒到 达楼上，女孩用 60 秒到达楼上。该楼梯共有多少级？【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度： （50 1 60 3 2） （60 50） 1 。 自动扶梯的梯级总数： 50 （1 1） 100 （ 级）【答案】 100级【例 2】
4、小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每 小时行 15 千米， 3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35千米， 1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米， 分钟能追上。【考点】牛吃草问题 【难度】 3 星 【题型】填空【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在 3 1 2 小时内走了 15 3 35 1 10千米，那么小明的速度为 10 2 5（ 千米 /时） ，追及距离为315 5 3 30 （千米） 汽车去追的话需要： 30 45 5 （小时） 45（分钟）4【答案】 45分钟【例 3】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在
5、速度的 2 倍追赶乙车， 5 小时后 甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车， 3 小时后甲车追上乙车， 那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？ 【考点】牛吃草问题 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】 分析知道甲车相当于 “牛”，甲追赶乙的追及路程相当于 “原有草量” ，乙车相当于“新生长的草” 设甲车的速度为“ 1”，那么乙车 5 3 2 小时走的路程为 2 5 3 3 1，所以乙的速度为 1 2 0.5，追及路程为： 2 0.5 5 7.5 如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5 1 0.5 15（ 小时 ）【答案】 15 小时解析】 可
6、以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量， 骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是： （600 14 800 7） （14 7） 400 （米/分） ，开始相差的 路程为： （600 400） 14 2800（米），所以中速车速度为： 2800 8 400 750（ 米 分 ） 答案】 750 米/ 分例 5】 甲、乙、丙三车同时从 A 地出发到 B 地去甲、乙两车的速度分别是每小时 60 千米和每小时 48千米有一辆卡车同时从 B 地迎面开来，分别在它们出发后 6 小时、 7 小时、 8 小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度考点】牛吃草问题 【难度】 3 星 【题型】解答 关
7、键词】对比思想方法解析】 相 遇问题可以看成是草匀速减少的过程， 全程看成是原有草量， 卡车速度看成是草 匀速减少的速度。所以卡车速度为： （60 6 48 7） （7 6） 24 （千米 / 时），全 程： （60 24） 6 504 （千米），丙车速度为： 504 8 24 39（千米 /时） 答案】 39千米 / 小时巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是 每分钟 20 米和每分钟 16 米在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在 他们出发后 6分钟、 7分钟、8分钟先后与小新、 正南、妮妮相遇， 求妮妮的速度 考点】牛吃草问题 【难度】 3 星
8、 【题型】解答 关键词】对比思想方法解析】 当小新和风间相遇时，正南落后小新 6 20 16 24 （米 ） ，依题意知正南和风间 走这 24 米需要 7 6 1（分钟） ，正南和风间的速度和为： 24 1 24（米分 ），风 间的速度为： 24 16 8（米分 ） ，学校到公园的距离为： 24 7 168（米）所以 妮妮的速度为： 168 8 8 13 （米分 ）答案】 13米/ 分钟例 6】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。 第一个桶距水缸有 1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好 把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米，那么
9、小方要多少次才能把它装满（假设小方 走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】解答解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了 2 4 1 3 5 米路，所以 从杯中流出的速度是 1 5 0.2（杯 / 米），于是 1 桶水原有水量等于 3 3 0.2 2.4 杯水，所以小方要 2.4 （1 3 0.2） 6 次才能把第三个桶装满。答案】 6 次例 7】 有一个水池， 池底存了一些水， 并且还有泉水不断涌出。 为了将水池里的水抽干， 原计划调来 8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了 9 台抽水机，这样比原计划节省了 8 小
10、时。工程师们测算出，如果最初调来 10台抽水机，将会比原计划节省 12 小时。这样，将水池的水抽干后， 为了保持池中始终没有水， 还应该至少留下 台抽水机。【考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】填空 【关键词】对比思想方法，陈省身杯，五年级【解析】 设每台抽水机每小时抽 1个单位的水，原计划需要 t 小时抽完，则原计划 8个小时 抽的水量为 8t ，9 台抽水机时抽水量为 9（t 8） ， 10台抽水机时抽水量为 10（t 12） 所 以 ， 8 个 小 时 的 出 水 量 为 8t 9（t 8） 72 t ， 12 个 小 时 的 出 水 量 为 8t 10（t 12） 120 2t
11、 ，而泉水的出水速度是一定的， 所以 120 2t 1.5 （72 t） ， 解得 t 24，所以每小时出水量为 （72 24） 8 6 ，所以需要留下 6 台抽水机。【答案】 6 台抽水机模块二、“牛”的数量发生变化【例 8】 有一牧场， 17 头牛 30 天可将草吃完， 19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛 吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头 牛吃草 （ 草均匀生长 ）？【考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】解答【解析】 设 1 头 牛 1 天 的 吃 草 量 为 “ 1 ”， 那 么 每 天 生 长 的 草 量 为 17 30 19
12、 24 30 24 9 ，原有草量为： 17 9 30 240 现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加 4 2 8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为240 8 8 9 40（ 头）【答案】 40头【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 15 个工 人砌砖墙， 14 天可以把砖用完，如果派 20 个工人， 9 天可以把砖用完，现在派 若干名工人砌了 6 天后，调走 6 名工人，其余工人又工作 4 天才砌完，问原来有 多少工人来砌墙？【解析】 开 工前运进的砖相当于“原有
13、草量” ，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的 草”，工人砌砖相当于“牛在吃草” 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“ 1”，那么每 天运来的砖为 15 14 20 9 14 9 6 ，原有砖的数量为： 15 6 14 126现在派若干名工人砌了 6 天后，调走 6 名工人，其余工人又工作 4 天才砌完，如果不调走 6 名工人，那么这些工人共砌 10 天可砌完 126 6 10 6 4 210，所以原有工人 210 10 21 名【答案】 21名【例 10】 一片草地，可供 5 头牛吃 30 天，也可供 4 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天， 又增加了 2 头牛一起吃，还可以再
14、吃几天？【考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法【解析】 设 1 头 牛 1 天 的 吃 草 量 为 “ 1 ”， 那 么 每 天 生 长 的 草 量 为 4 40 5 30 40 30 1，原有草量为： 5 1 30 120 如果 4 头牛吃 30 天，那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量，此时原有草量还剩 120 90 30，而牛的头数变为 6，现在就相当于：“原有草量 30，每天生长草量 1， 那么 6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为： 30 6 1 6 （天）答案】 6 天【例 11】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同
15、数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙， 6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人， 10 天可以把砖用完，现在派 120名工人砌了 10天后，又增加 5名工人一起砌， 还需要再砌几天可以把砖用完？ 【考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】解答【解析】 开 工前运进的砖相当于“原有草量” ，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的 草”，工人砌砖相当于“牛在吃草” 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“ 1”，那么每 天 运 来 的 砖 为 160 10 250 6 10 6 25 ， 原 有 砖 的 数 量 为 ：250 25 6 1350 如果 120名工人砌 10天，将会砌掉 10
16、天新运来的砖以及 950原有的砖，还剩 1350 950 400 的原有的砖未用，变成 120 5 125人来砌砖，还需要： 400 125 25 4（ 天） 【答案】 4 天【巩固】 食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 个工人 加工食品 30 天可以把面粉用完，如果派 4 个工人， 40 天可以把面粉用完，现在 派 4 名工人加工了 30 天后，又增加了 2 名工人一起干，还需要几天加工完？【解析】 开 工前运进的面粉相当于“原有草量” ，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生 长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草” 设 1名工人 1 天用掉面粉的量为 “1”
17、，那么每天运来的面粉量为 4 40 5 30 40 30 1， 原有面粉量为： 5 1 30 120 如果 4 名工人干 30天，那么将会加工掉 30 天新运来的面 粉量以及 90 原有的面粉量，原有还剩 120 90 30 未加工，而后变成 6 名工人，还需要 30 6 1 6（ 天）可以加工完【答案】 6 天模块三、多块地的“牛吃草问题”【例 12】 东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这 片牧场可供 18头牛吃 16天，或者供 27 头牛吃 8天在东升牧场的西侧有一块 6000 平方米的牧场，可供多少头牛吃 6天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草
18、量为“ 1”，那么 2000 平方米的牧场上 16 8 8 天生长的草量 为18 16 27 8 72，即每天生长的草量为 72 8 9那么 2000 平方米的牧场上 原有草量为： 18 9 16 144 则 6000 平 方 米 的 牧 场 每 天 生 长 的 草 量 为 9 6000 2000 27 ； 原 有 草 量 为 ：144 6000 2000 432 6 天 里 ， 该 牧 场 共 提 供 牧 草 432 27 6 594 ， 可 以 让 594 6 99（ 头）牛吃 6天【答案】 99头牛【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍 30 头牛 12
19、 天能吃完甲草地上的草， 20 头牛 4 天能吃完乙草地上的草问几头牛 10 天能同 时吃完两块草地上的草？解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 “ 1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍，把甲草地 分成面积相等的 3 块，那么每块都与乙草地的面积相等 由于 30 头牛 12 天能吃完 甲草地上的草，相当于每块上的草由 10 头牛 12 天吃完那么条件转换为“ 10 头 牛 12 天能吃完乙草地上的草， 20 头牛 4 天也能吃完乙草地上的草” ，可知每天乙草地长草量为 10 12 20 4 124 5 ，乙草地原有草量为：20 560；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5 4 20
20、，原有草量为：60 4240要10 天同时吃完两块草地上的草，需要240 10 20 44（ 头）牛答案】 44头牛例 13】 有一块 1200 平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛吃 10 天，另有一块 3600 平方米的牧场，每平方米的草 量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？ 【考点】牛吃草问题 【难度】 4 星 【题型】解答 【关键词】对比思想方法【解析】 设 头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10 头牛 20 天 10 20200 ：原有草量 20 天生长的草量15 头牛
21、 10 天 15 10150 ：原有草量 10 天生长的草量 从上易发现： 1200平方米牧场上 201010 天生长草量 20015050， 即 1 天生长草量 50 10 5；那么 1200 平方米牧场上原有草量： 200520100 或 150510100。 则 3600 平方米的牧场 1 天生长草量 5（ 36001200） 15； 原有草量： 1001200） 300.75 头牛里，若有 15 头牛去吃每天生长的草，剩下 60 头牛需要 300 605（天）可将原有 草吃完，即它可供 75 头牛吃 5 天。【答案】 5 天【例 14】 有三块草地，面积分别为 5公顷、 15公顷和 2
22、4公顷 草地上的草一样厚，而且 长得一样快 第一块草地可供 10头牛吃 30 天，第二块草地可供 28头牛吃 45 天问：第三块草地可供多少头牛吃 80 天？【解析】 （法 1）设 1头牛 1天吃草量为“ 1”，第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，说明 1公顷 草地 30天提供 10 30 5 60份草；第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，说明 1公顷 草地 45 天提供 28 45 15 84 份草；所以 1 公顷草地每天新生长的草量为84 60 45 30 1.6份，1公顷原有草量为 60 1.6 30 1224 公顷草地每天 新生长的草量为 1.6 24 38.4；24 公顷草地
23、原有草量为 12 24 288 那么 24 公 顷草地 80 天可提供草量为： 288 38.4 80 3360 ，所以共需要牛的头数是： 3360 80 42（ 头）牛（法 2）现在是 3块面积不同的草地， 要解决这个问题， 也可以将 3块草地的面积统一起来 由 于 5,15,24 120 ，那么题中条件可转化为： 120 公顷草地可供 240 头牛吃 30 天，也可供 224 头牛吃 45 天设 1 头牛 1 天的吃草量为“ 1”，那么 120 公顷草地每天新生长的草量为224 45 240 30 45 30 192 ，120 公顷草地原有草量为 240 192 30 1440 120 公
24、顷草地可供 1440 80 192 210（头）牛吃 80天，那么 24 公顷草地可供 210 5 42（头）牛 吃 80 天【答案】 42头牛【巩固】 三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是 3 公顷、10 公顷和 24公顷第一块牧场饲养 12 头牛，可以维持 4周；第二块牧场饲养 25 头牛，可以维持 8 周问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持 18周？【解析】 设 1 头牛 1 周吃草量为“ 1”第一块牧场饲养 12 头牛，可以维持 4 周，相当于 1 公顷牧场可供 4 头牛吃 4 周；第二块牧场饲养 20 头牛，可以维持 8 周，相当于 1 公顷牧场可供 2.
25、5头牛吃 8 周那么 1 公顷牧场 1 周新生长的草量为 2.5 8 4 4 8 4 1，1 公顷牧场原有草量为 4 1 4 12 24 公顷牧场每 天新生长的草量为 1 24 24 ，原有草量为 12 24 288 ，若想维持 18 周，需要饲 养： 288 18 24 40（ 头 ） 牛【答案】 40头牛【巩固】 17 头牛吃 28 公亩的草， 84 天可以吃完； 22 头牛吃同样牧场 33 公亩的草 54 天可 吃完，几头牛吃同样牧场 40 公亩的草， 24 天可吃完？ （ 假设每公亩牧草原草量相 等，且匀速生长 ）【解析】 设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草， 22 头牛 54 天吃掉
26、 54 22 1188 份，说明每公亩牧场 54天提供 1188 33 36份牧草； 17头牛 84天吃掉17 84 1428份，说明每公亩牧 场 84 天提供 1428 28 51份牧草每公亩牧场 84 54 30天多提供 51 36 15 份 牧草 ，说明每公亩牧场每天的牧 草生长 量为 15 30 0.5份，原有草量 为 51 0.5 84 9 份如果是 40 公亩的牧场，原有草量为 9 40 360份，每天新长出 0.5 40 20份， 24天共提 供牧草 360 20 24 840份，可供 840 24 35 头牛吃 24 天【答案】 35头牛【巩固】 有三片牧场，场上草长得一样密，
27、而且长得一样快它们的面积分别是 31 公顷、3 10公顷和 24公顷已知 12头牛 4星期吃完第一片牧场的草， 21头牛 9星期吃完 第二片牧场的草，那么多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草 ?【解析】 由于三片牧场的公顷数不一致， 给计算带来困难， 如果将其均转化为 1 公顷时的情 形原条件： 31 公顷 12 头牛 4 星期10 公顷 21 头牛 9 星期转化：相当于把 31 公顷草地分割成 31 块，每块一公顷， 有 3.6 头牛来吃， 所以吃的时间不 33变，相当于把 10 公顷草地分割成 10 块，每块一公顷，有 2.1 头牛来吃，所以吃的时间不变1 公顷 3.6 头牛 4 星期 3.6 414.4 ：1 公顷原有草量 4 星期 1公顷新生草量 1 公顷2.1 头牛 9 星期 2.1 9 18.9 ：1 公顷原有草量 9 星期 1 公顷新生草量 分析得： 1 天 1公顷新生草量（ 18.9 14.4 ）（ 9 4） 0.9 ； 1公顷原有草量 14.4 0.9 4 10.8 ； 24公顷 1天新生草量 0.9 24 21.6 ；24 公顷原有草量 10.8 24259.2 ； 若想 18 星期吃完需要： 259.2 1821.6 36（头）牛【答案】 36头牛
