1、a，则CECDaa ； 如答图2，当AEAC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，ACAEa.ADC90，即ADCE，DECDa，CECD2aa2.即CECD图1 图2图3（3）点P在运动中保持APD90点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧如答图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大在RtQDC中，QC CPQCQP 1，即线段CP的最大值是1.2问题探究（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BMCN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点
2、M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动连接AM和BN，交于点P，求APB周长的最大值；问题解决（3）如图3，AC是边长为2的菱形ABCD的对角线，ABC60.点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动连接AM和BN，交于点P.求APB周长的最大值图1 图2图3（1）AMBN.证明：ABBC，ABMBCN90BMCN，ABMBCN，BAMCBN.CBNABN90ABNBAM90APB90，AMBN.（2）如答图1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，AEB90，作EFPA于F，作EGPB交PB延长线于G，连接EP.答图1EFP
3、FPGG90四边形EFPG是矩形，FEGAEB90AEFBEG.EAEB，EFAG90AEFBEG，EFEG，AFBG，四边形EFPG是正方形，PAPBPFAFPGBG2PF2EF.EFAE，EF的最大值为AE2 APB周长的最大值为44 （3）如答图2，延长DA到K，使得AKAB，则ABK是等边三角形，连接PK，取PHPB，连接BH.答图2ABBC，ABMBCN，BMCN，ABMBCN，BAMCBN，APNBAMABPCBNABN60APB120AKB60AKBAPB180A，K，B，P四点共圆，BPHKAB60PHPB，PBH是等边三角形，KBAHBP，BHBP，KBHABP.BKBA，K
4、BHABP，HKAP，PAPBKHPHPK，当PK的值最大时，APB的周长最大，当PK是ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，PAB的周长最大值为2 4.3（2016贵阳）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD），把AB，AC,2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_2ADEF.（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB
5、，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明图1图2 图3 （1）解：28.【解法提示】AD是BC边上的中线，BDCD在BDE和CDA中， BDECDA（SAS），BEAC6.在ABE中，由三角形的三边关系得ABBEAEABBE，106106，即416，2EM，BECF（3）解：BEDFEF.理由如下：如答图2，延长AB至点N，使BNDF，连接CN.ABCD180NBCABC180NBCD在NBC和FDC中， NBCFDC（SAS），CNCF，NCBFCDBCD140，ECF70BCEFCD70ECN70ECF.在NCE和FCE中，NCEFCE（SAS），E
6、NEF.BEBNEN，BEDFEF.4（2018湖北）问题：如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为_BCDCEC_；探索：如图2，在RtABC与RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45.若BD9，CD3，求AD的长图1图2图3（1）BCDCEC【解法提示】BACDAE90BACDACDAEDAC，即BADCAE.在BA
7、D和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE，BCBDCDECCD，即BCDCEC（2）BD2CD22AD2.如答图1，连接CE.由（1）得BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90CE2CD2ED2.在RtADE中，ADAE，DAE90DE22AD2.BD2CD22AD2.答图1答图2（3）如答图2，作AEAD，使AEAD，连接CE，DE.BACCADDAECAD，BADCAE，CEBD9.ADC45，EDA45EDC90DE6 DAE90ADAEDE6.5（1）问题发现：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF45，连接EF，则EFBEDF，试说明理由；（2）类比引
8、申：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BAD90，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，若B，D都不是直角，则当B与D满足等量关系_BD180_时，仍有EFBEDF；（3）联想拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，且DAE45，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程图1图2图3（1）如答图1.ABAD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合ADCB90FDG180，即点F，D，G共线，则DAGBAE，AEAG，FAGFADGADFADBAE904545EAF，即EAFFAG.在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EFFG
9、BEDF. 图1 图2（2）BD180【解法提示】ABAD，如答图2，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，BAEDAG.BAD90，EAF45BAEDAF45DAGDAF45EAFFAG.ADCB180，即点F，D，G共线在AFE和AFG中，AFEAFG（SAS），EFFG，即EFBEDF.故BADC180答图3（3）BD2CE2DE2.推理过程：如答图，把ACE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，连接DF，则FABCAE.BAC90，DAE45BADCAE45FABCAE，FADDAE45在ADF和ADE中，ADFADE（SAS），DFDE.CABF45DBF90BDF是
10、直角三角形，BD2BF2DF2，BD2CE2DE2.6（2018衡阳）如图，在RtABC中，C90，ACBC4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式（1）如答图1，连接BP.答图1在RtACB中，ACBC4，C90A
11、B4点B在线段PQ的垂直平分线上，BPBQ.AQ t，CPt，BQ4t，PB242t2 ，（4t）216t2，解得t84或84 （舍去），当t（84）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上（2）存在如答图2，当PQQA时，易知APQ是等腰直角三角形，AQP90则有PAAQ，4tt，解得t存在如答图3，当APPQ时，易知APQ是等腰直角三角形，APQ90，则有AQAP，t（4t），解得t2.综上所述，当ts或2 s时，APQ是以PQ为腰的等腰三角形图2 图3（3）如答图4，连接QC，作QEAC于E，作QFBC于F.则QEAE，QFEC，可得QEQFAEECAC4，答图4SSQNCSPCQCNQFPCQEt（QEQF）2t（0t4）. 7（2018娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOC，OBOD，过O点作EFBD，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：AOECOF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由（1）证明：OAOC，OBOD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAOFCO.在AOE和COF中，AOECOF（ASA）（2）解：四边形BEDF是菱形理由如下：AOECOF，AECF.ADBC，DEBF.DEBF，四边形BEDF是平行四边形OBOD，EFBD，EBED，四边形BEDF是菱形
